കരണപദ്ധതി

കരണപദ്ധതി
കർത്താവ്	പുതുമന സോമയാജി
രാജ്യം	ഭാരതം
ഭാഷ	സംസ്കൃതം
വിഷയം	Astronomy/Mathematics
പ്രസിദ്ധീകരിച്ച തിയതി	1733 CE (?)

പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപ്പദ്ധതി, പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ രചിക്കപ്പെട്ട, കേരളീയ ഗണിത-ജ്യോതിശാസ്ത്ര സരണിയിലെ ഒരു പ്രധാന ഗ്രന്ഥമാണ്. സൃഷ്ടിയുടെ രചനാ കാലഘട്ടം അനിശ്ചിതത്വത്തിലാണ്. ഈസ്റ്റ് ഇന്ത്യാ കമ്പനിയിലെ ഉദ്യോഗസ്ഥനായ സി എം വിഷ് 1834-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഒരു പ്രബന്ധത്തിൽ ഈ കൃതി ^[1] യൂറോപ്യൻ പണ്ഡിതരുടെ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെടുത്തി. പത്ത് അധ്യായങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്ന ഈ ഗ്രന്ഥം സംസ്കൃതത്തിൽ ശ്ലോകരൂപത്തിലാണ്. ആറാമത്തെ അധ്യായത്തിൽ ഗണിത സ്ഥിരാങ്കമായ π യുടെ മൂല്യത്തിനായുള്ള ശ്രേണി വിപുലീകരണങ്ങളും ത്രികോണമിതി സൈൻ, കോസൈൻ, വിപരീത ടാൻജെന്റ് ഫംഗ്ഷനുകൾക്കുള്ള വികാസങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ^[2]

ഘടന

ഇന്ത്യൻ ജ്യോതിശാസ്ത്ര പാരമ്പര്യത്തിൽ, കരണ ഗ്രന്ഥങ്ങൾ അടിസ്ഥാനപരമായി കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മാനുവലുകളാണ്, കൂടാതെ ഗ്രഹ രേഖാംശങ്ങളും മറ്റ് അനുബന്ധ അളവുകളും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ലളിതമായ അൽഗോരിതങ്ങൾ കൊണ്ടുവരുന്നതിൽ അവ പലപ്പോഴും ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള ചാതുര്യം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, കരണപദ്ധതി ഒരു കരണ പാഠമല്ല. പകരം, ഒരു നിശ്ചിത യുഗത്തിനായി ഒരു വാചകം തയ്യാറാക്കുമ്പോൾ ആവശ്യമായ അനുയോജ്യമായ അൽഗോരിതങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രത്തെയോ യുക്തിയെയോ അത് ചർച്ച ചെയ്യുന്നു. ഈ കൃതി പഞ്ചാംഗ നിർമ്മാതാവിനെയല്ല, മറിച്ച് മാനുവൽ നിർമ്മാതാവിനെയാണ് അഭിസംബോധന ചെയ്യുന്നത്. വാക്യ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ സൈദ്ധാന്തിക അടിത്തറയാണ് കരണപ്പദ്ധതി അവതരിപ്പിക്കുന്നത്, അവിടെ ഗ്രഹത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ രേഖാംശങ്ങൾ ഖണ്ഡം, മണ്ഡ്രുവാല, ദൃഢവലയം തുടങ്ങിയ ചില സഹായ സങ്കൽപ്പങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നേരിട്ട് കണക്കാക്കുന്നു. വാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ സ്മൃതി വാക്യങ്ങൾ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന നിശ്ചിത ഇടവേളകളിൽ യഥാർത്ഥ രേഖാംശത്തിലെ മാറ്റങ്ങളുടെ പട്ടിക മൂല്യങ്ങൾക്കൊപ്പം. ചെറിയ സംഖ്യകളുടെ അനുപാതങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന, ഗ്രഹങ്ങളുടെ ചലനനിരക്കുകളിലേക്കും അവയുടെ അപാകതകളിലേക്കും ഒപ്റ്റിമൽ ഏകദേശങ്ങൾ നേടുന്നതിനുള്ള തുടർച്ചയായ ഭിന്നസംഖ്യ വിപുലീകരണത്തിന്റെ ഒരു സാങ്കേതികതയായ വല്ല്യുപസംഹാര രീതിയെക്കുറിച്ചും പാഠം ചർച്ചചെയ്യുന്നു. ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചരിത്രത്തിൽ താൽപ്പര്യമുള്ള എല്ലാവർക്കും ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരു കൂട്ടാളിയായി കേരള സ്കൂളിന്റെ മുൻകാല കൃതികളിൽ പരാമർശിച്ചിട്ടില്ലാത്ത π യ്‌ക്കായി ഒരു പുതിയ ഫാസ്റ്റ് കൺവേർജന്റ് സീരീസും ഇത് അവതരിപ്പിക്കുന്നു. രേഖാചിത്രങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ നടപടിക്രമങ്ങളും അവയുടെ യുക്തിയും വിശദീകരിക്കുന്ന വിശദമായ കുറിപ്പുകൾക്കൊപ്പം എഴുത്തിന്റെ വിവർത്തനം രചയിതാക്കൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.http://dr.iiserpune.ac.in:8080/xmlui/handle/123456789/4467

കരണപ്പദ്ധതിയുടെ രചയിതാവും തീയതിയും

കരണപ്പദ്ധതിയുടെ രചയിതാവിനെക്കുറിച്ച് വ്യക്തമായ ഒന്നും അറിയില്ല. കാരണപദ്ധതി പത്താം അധ്യായത്തിലെ അവസാന ശ്ലോകം രചയിതാവിനെ ശിവപുര എന്ന ഗ്രാമത്തിൽ താമസിക്കുന്ന ഒരു ബ്രാഹ്മണനായി വിവരിക്കുന്നു. ഇന്ത്യയിൽ കേരളത്തിലെ ഇന്നത്തെ തൃശ്ശൂരിന് ചുറ്റുമുള്ള പ്രദേശമാണ് ശിവപുര.

സോമയാജി ജീവിച്ചിരുന്ന കാലഘട്ടവും അനിശ്ചിതത്വത്തിലാണ്. ഇക്കാര്യത്തിൽ നിരവധി സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ട്.

കരണപദ്ധതിയുടെ അവസാന ശ്ലോകത്തിൽ വരുന്ന ചില വാക്കുകൾ കടപയാദി സമ്പ്രദായത്തിൽ കലിയുഗത്തിലെ ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്ന അദ്ദേഹത്തിന്റെ വ്യാഖ്യാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, കരണപദ്ധതിയെക്കുറിച്ച് ആദ്യമായി എഴുതിയ പാശ്ചാത്യനായ സി.എം.വിഷ്, ഈ പുസ്തകം 1733 സി. കരണപദ്ധതിയുടെ രചയിതാവിന്റെ ചെറുമകൻ ജീവിച്ചിരിപ്പുണ്ടെന്നും തന്റെ പ്രബന്ധം എഴുതുമ്പോൾ എഴുപതാം വയസ്സിലായിരുന്നുവെന്നും വിഷ് അവകാശപ്പെട്ടിരുന്നു. ^[1]
ഗോവിന്ദഭട്ടയുടെ ഗണിത സൂചക ഗ്രന്ഥത്തിലെ ഒരു വാക്യത്തിൽ പുതുമന സോമയാജിയെ പരാമർശിച്ച്, രാജ രാജ വർമ്മ 1375 നും 1475 നും ഇടയിൽ കരണപദ്ധതിയുടെ രചയിതാവിനെ പ്രതിഷ്ഠിച്ചു. ^[3]
കരണപദ്ധതിയുടെ ഒരു ആന്തരിക പഠനം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഈ കൃതി നീലകണ്ഠ സോമയാജിയുടെ (1465-1545 CE) തന്ത്രസംഗ്രഹത്തിന്റെ സമകാലികതയോ അതിന് മുമ്പുള്ളതോ ആണെന്നാണ്. ^[4]

പുസ്തകത്തിന്റെ സംഗ്രഹം

പുസ്തകത്തിന്റെ വിവിധ അധ്യായങ്ങളിലെ ഉള്ളടക്കങ്ങളുടെ ഒരു ഹ്രസ്വ വിവരണം ചുവടെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

അധ്യായം 1 : ഒരു മഹായുഗത്തിൽ ഗ്രഹങ്ങളുടെ ഭ്രമണവും വിപ്ലവവും; ഒരു മഹായുഗത്തിലെ സിവിൽ ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണം; സൗരമാസങ്ങൾ, ചാന്ദ്ര മാസങ്ങൾ, ഇടവേള മാസങ്ങൾ; കൽപവും നാല് യുഗങ്ങളും അവയുടെ ദൈർഘ്യവും, കലിയുഗത്തിന്റെ വിശദാംശങ്ങൾ, മലയാള കാലഘട്ടത്തിൽ നിന്നുള്ള കലിയുഗത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ, കലി ദിവസങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ; ഗ്രഹങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥവും അർത്ഥവുമായ സ്ഥാനം; സംഖ്യാ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കുള്ള ലളിതമായ രീതികൾ; ഗ്രഹങ്ങളുടെ ശരിയായതും ശരാശരിയുമായ സ്ഥാനങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ; ഗ്രഹങ്ങളുടെ ഭ്രമണപഥത്തിന്റെ വിശദാംശങ്ങൾ; വ്യത്യസ്‌ത ഗ്രഹങ്ങളുടെ വിവിധ പരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കേണ്ട സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ.

അദ്ധ്യായം 2 : കലിയുഗവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പാരാമീറ്ററുകൾ, ഗ്രഹങ്ങളുടെ സ്ഥാനങ്ങൾ, അവയുടെ കോണീയ ചലനങ്ങൾ, ചന്ദ്രനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന വിവിധ പാരാമീറ്ററുകൾ.

അധ്യായം 3 : ചന്ദ്രന്റെ ശരാശരി കേന്ദ്രവും ചന്ദ്രനുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ അക്ഷാംശ രേഖാംശത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ചന്ദ്രന്റെ വിവിധ പാരാമീറ്ററുകളും.

അധ്യായം 4 : ചൊവ്വയുടെ പെരിജിയും അപ്പോജിയും, ചൊവ്വയ്ക്ക് വിവിധ അവസരങ്ങളിൽ നൽകേണ്ട തിരുത്തലുകൾ, ചൊവ്വ, ബുധൻ, വ്യാഴം, ശുക്രൻ, ശനി എന്നീ ക്രമത്തിലുള്ള സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ, ഈ എല്ലാ ഗ്രഹങ്ങളുടെയും പെരിജിയും അപ്പോജിയും, അവയുടെ സംയോജനം, അവയുടെ സംയോജന സാധ്യതകൾ .

അധ്യായം 5 : ഗ്രഹങ്ങളുടെ വിപ്ലവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള കൽപത്തിന്റെ വിഭജനം, ഈ കൽപത്തിന്റെ കാലഘട്ടത്തിലെ വിപ്ലവങ്ങളുടെ എണ്ണം, ഈ കൽപത്തിന്റെ ആരംഭം മുതൽ ഭൂമിയുടെ സിവിൽ, സൗരദിനങ്ങളുടെ എണ്ണം, ഇതിനുള്ള മന്വന്തരങ്ങളുടെ എണ്ണവും മറ്റ് വിശദാംശങ്ങളും കല്പ, നാല് യുഗങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ വിശദാംശങ്ങൾ.

അധ്യായം 6 : വിവിധ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് കണക്കുകൂട്ടൽ; ചുറ്റളവുകളുടെയും വ്യാസങ്ങളുടെയും വിഭജനം; ഒരു സർക്കിളിന്റെ വിവിധ പാരാമീറ്ററുകളുടെയും അവയുടെ ബന്ധങ്ങളുടെയും കണക്കുകൂട്ടൽ; ഒരു വൃത്തം, ആർക്ക്, കോർഡ്, അമ്പ്, കോണുകൾ, വിവിധ പാരാമീറ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള അവയുടെ ബന്ധം; കടപ്പയാദി സമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഘടകങ്ങളെല്ലാം ഓർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.

അധ്യായം 7 : ചന്ദ്രന്റെയും സൂര്യന്റെയും എപ്പിസൈക്കിളുകൾ, ഗ്രഹങ്ങളുടെ അപ്പോജിയും പെരിജിയും; ഗ്രഹങ്ങൾ ഉള്ള രാശിചിഹ്നത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള അടയാളം കണക്കുകൂട്ടൽ; റൈസിംഗ്, സെറ്റിംഗ്, അപ്പോജി, പെരിജി എന്നിവയുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന കോർഡ്; ഒരു മാസത്തിന്റെ അവസാന സമയം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി; എല്ലാ ഗ്രഹങ്ങൾക്കുമുള്ള എപ്പിസൈക്കിളുകളുടെയും അപ്പോജിയുടെയും കോർഡുകൾ, അവയുടെ ഹൈപ്പോടെനസ്.

അധ്യായം 8 : ഭൂമിയിലെ വിവിധ സ്ഥലങ്ങൾക്കുള്ള അക്ഷാംശ രേഖാംശം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ; അക്ഷാംശത്തിന്റെയും രേഖാംശത്തിന്റെയും ആർ-സൈൻ, ആർ-കോസൈൻ, അവയുടെ ആർക്ക്, കോർഡ്, സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വൈവിധ്യം.

അധ്യായം 9 : ആൽഫ ഏരീസ് ചിഹ്നത്തിന്റെ വിശദാംശങ്ങൾ; ശരിയായ കോണീയ മൂല്യങ്ങളിൽ ഗ്രഹങ്ങളുടെ സ്ഥാനങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ; നക്ഷത്രങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ, വിവിധ ഗ്രഹങ്ങൾ, സൂര്യൻ, ചന്ദ്രൻ, മറ്റ് നക്ഷത്രങ്ങൾ എന്നിവയുടെ അക്ഷാംശ രേഖാംശവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന പാരലാക്സ്.

അധ്യായം 10 : ഗ്രഹങ്ങളുടെ ഷാഡോകളും ഷാഡോകളുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള വിവിധ പാരാമീറ്ററുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും; ഗ്രഹ സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യതയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ.

അനന്തമായ ശ്രേണി ഭാവങ്ങൾ

കരണപദ്ധതിയിലെ ആറാം അധ്യായം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി വളരെ രസകരമാണ്. സ്ഥിരമായ π എന്നതിനായുള്ള അനന്തമായ ശ്രേണി എക്സ്പ്രഷനുകളും ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾക്കുള്ള അനന്ത ശ്രേണി വിപുലീകരണങ്ങളും ഇതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ പരമ്പരകൾ തന്ത്രസംഗ്രഹത്തിലും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അവയുടെ തെളിവുകൾ യുക്തിഭാസയിൽ കാണാം.

π നുള്ള സീരീസ് എക്സ്പ്രഷനുകൾ

പരമ്പര 1

The first series is specified in the verse

   vyāsāccaturghnād bahuśaḥ pr̥thaksthāt tripañcasaptādyayugāhr̥ tāni
   vyāse caturghne kramaśastvr̥ṇam svaṁ kurjāt tadā syāt paridhiḥ susuksmaḥ

which translates into the formula

   π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

പരമ്പര 2

A second series is specified in the verse

   vyāsād vanasamguṇitāt pr̥thagāptaṁ tryādyayug-vimulaghanaiḥ
   triguṇavyāse svamr̥naṁ kramasah kr̥tvāpi paridhirāneyaḥ

and this can be put in the form

   π = 3 + 4 { 1 / ( 3³ - 3 ) + 1 / ( 5³ - 5 ) + 1 / ( 7³ - 7 ) + ... }

പരമ്പര 3

A third series for π is contained in

   vargairyujāṃ vā dviguṇairnirekairvargīkṛtair-varjitayugmavargaiḥ
   vyāsaṃ ca ṣaḍghanaṃ vibhajet phalaṃ svaṃ vyāse trinīghne paridhistadā syāt

which is

   π = 3 + 6 { 1 / ( (2 × 2² - 1 )² - 2² ) + 1 / ( (2 × 4² - 1 )² - 4² ) + 1 / ( (2 × 6² - 1 )² - 6² ) + ... }

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പരമ്പര വികാസങ്ങൾ

The following verse describes the infinite series expansions of the sine and cosine functions.

   cāpācca tattat phalato'pi tadvat cāpāhatāddvayādihatat trimaurvyā
   labdhāni yugmāni phalānyadhodhaḥ cāpādayugmāni ca vistarārdhāt
   vinyasya coparyupari tyajet tat śeṣau bhūjākoṭiguṇau bhavetāṃ

These expressions are

   sin x = x - x³ / 3! + x⁵ / 5! - ...
   cos x = 1 - x² / 2! + x⁴ / 4! - ...

Finally the following verse gives the expansion for the inverse tangent function.
[
   vyāsārdhena hatādabhiṣṭaguṇataḥ koṭyāptamaādyaṃ phalaṃ
   jyāvargeṇa vinighnamādimaphalaṃ tattatphalaṃ cāharet ] Error: {{Lang}}: invalid parameter: |3= (help)

The specified expansion is

   tan⁻¹ x = x - x³ / 3 + x⁵ / 5 - ...

റഫറൻസുകൾ

↑ ^1.0 ^1.1 Charles Whish (1834), "On the Hindu Quadrature of the circle and the infinite series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four Sastras, the Tantra Sahgraham, Yucti Bhasha, Carana Padhati and Sadratnamala", Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland, vol. 3, no. 3, Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland, pp. 509–523, doi:10.1017/S0950473700001221, JSTOR 25581775
↑ Datta, Bibhutibhushan; A.N. Singh (1993). "Uses of series in India". Indian Journal of History of Science. 28 (3): 103–129.
↑ Rajaraja Varma Vadakkumkuur. History of Sanskrit Literature in Kerala (1–6 Volumes). Vol. 1. p. 529.
↑ ഉദ്ധരിച്ചതിൽ പിഴവ്: അസാധുവായ <ref> ടാഗ്; Bag എന്ന പേരിലെ അവലംബങ്ങൾക്ക് എഴുത്തൊന്നും നൽകിയിട്ടില്ല.

വെങ്കടേശ്വര പൈ ആർ, കെ രാമസുബ്രഹ്മണ്യൻ, എം എസ് ശ്രീറാം, എം ഡി ശ്രീനിവാസ്, പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപഠി, വിശദമായ ഗണിതശാസ്ത്ര കുറിപ്പുകളോടുകൂടിയ വിവർത്തനം, എച്ച്ബിഎ (2017), സ്പ്രിംഗർ (2018) എന്നിവർ സംയുക്തമായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.

കൂടുതൽ പരാമർശങ്ങൾ

രണ്ട് വ്യാഖ്യാനങ്ങളോടെ കരണ-പദ്ധതിയെക്കുറിച്ചുള്ള തുറന്ന ലൈബ്രറി റഫറൻസ്. [1]
ഇന്ത്യൻ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഓഫ് ഹിസ്റ്ററി വിഭാഗം അസിസ്റ്റന്റ് പ്രൊഫസറായ ഡോ. കെ രാമസുബ്രഹ്മണ്യന്റെ "പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണ-പദ്ധതിയുടെ വിമർശനാത്മക പഠനവും ഗണിതശാസ്ത്ര കുറിപ്പുകളോടുകൂടിയ ഇംഗ്ലീഷ് വിവർത്തനം തയ്യാറാക്കലും" എന്ന പേരിൽ ഇന്ത്യൻ നാഷണൽ സയൻസ് അക്കാദമി 2007-08-ൽ ഒരു പ്രോജക്റ്റ് ആരംഭിച്ചു. ടെക്നോളജി, പവായ്, മുംബൈ 400076. [2] (2010 ജനുവരി 13-ന് ശേഖരിച്ചത്)

[Whish-1] 1.0 ^1.1 Charles Whish (1834), "On the Hindu Quadrature of the circle and the infinite series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four Sastras, the Tantra Sahgraham, Yucti Bhasha, Carana Padhati and Sadratnamala", Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland, vol. 3, no. 3, Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland, pp. 509–523, doi:10.1017/S0950473700001221, JSTOR 25581775

[http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_1/20005b5c_103.pdf-2] Datta, Bibhutibhushan; A.N. Singh (1993). "Uses of series in India". Indian Journal of History of Science. 28 (3): 103–129.

[3] Rajaraja Varma Vadakkumkuur. History of Sanskrit Literature in Kerala (1–6 Volumes). Vol. 1. p. 529.

[Bag-4] ഉദ്ധരിച്ചതിൽ പിഴവ്: അസാധുവായ <ref> ടാഗ്; Bag എന്ന പേരിലെ അവലംബങ്ങൾക്ക് എഴുത്തൊന്നും നൽകിയിട്ടില്ല.

[1]

[2]

[3]

[4]