−1 (സംഖ്യ)

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, 1 എന്ന സംഖ്യയുടെ സങ്കലന വിപരീതമായ സംഖ്യയാണ് −1. അതായത്, −1ന് എതിരായുള്ള 1നോടൊപ്പം −1 കൂട്ടുമ്പോൾ 0 ലഭിക്കുന്നു. നെഗറ്റീവ് രണ്ടിനും (−2) 0-നും ഇടയിലുള്ള നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് −1.

← −2 −1 0 →
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → List of numbers — Integers ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Cardinal	−1, മൈനസ് ഒന്ന്, negative one
Ordinal	−1st (നെഗറ്റീവ് ഒന്ന്)
അറബിക്	−١
ചൈനീസ് സംഖ്യാസമ്പ്രദായം	负一，负弌，负壹
ബംഗാളി	−১
ബൈനറി (ബൈറ്റ്)	S&M: 1000000012 2sC: 111111112
ഹെക്സാഡെസിമൽ (ബൈറ്റ്)	S&M: 0x10116 2sC: 0xFF16

eiπ = −1 എന്ന ഓയ്‌ലർ സമവാക്യവുമായി നെഗറ്റീവ് ഒന്നിന് ബന്ധമുണ്ട്.

സോഫ്റ്റ്‌വെയറുകളുടെ നിർമ്മാണത്തിൽ, −1നെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു സാധാരണ വിലയായും ഒപ്പം ഉപയോഗപ്രദമായ വിവരങ്ങളില്ലാത്ത സംഖ്യയായും സൂചിപ്പിച്ചുവരുന്നു.

പ്രോഗ്രാമിങ് ഭാഷകളിൽ, ഒരു അറേയിലെ അവസാന ഇനത്തെയോ അതിന് മുൻപുള്ള ഇനത്തെയോ സൂചിപ്പിക്കാൻ −1 ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആദ്യ ഇനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന സംഖ്യ പൂജ്യമോ ഒന്നോ ആകുന്നതനുസരിച്ചാണ് −1 ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

പോസിറ്റീവ് ഒന്നുമായി സാമ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് ഒന്നിന് വ്യത്യസ്തമായ ധർമ്മങ്ങളാണുള്ളത്.

ബീജഗണിത സവിശേഷതകൾ

−1നെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് ആ സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നം മാറ്റുന്നതിന് തുല്യമാണ്. ഈ കാര്യം ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് നിയമം ഉപയോഗിച്ചും പോസിറ്റീവ് 1, ഗുണനത്തിന്റെ അനന്യകമാണെന്ന തത്ത്വമുപയോഗിച്ചും തെളിയിക്കാൻ സാധിക്കും. x എന്ന രേഖീയ സംഖ്യയെടുത്താൽ,

$x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

ഇവിടെ, xനെ 0 പ്രാവശ്യം ഗുണിക്കുന്നതിന്റെ ഉത്തരം 0 ആണെന്ന തത്ത്വം ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്.

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,$

0, 1, −1, i, and −i in the complex or cartesian plane

മറ്റൊരു തരത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ,

$x+(-1)\cdot x=0\,$

അതായത് (−1) · x, അല്ലെങ്കിൽ −x, സംഖ്യാപരമായി xന് എതിരായുള്ള ന്യൂനസംഖ്യയാണ്.

−1ന്റെ വർഗ്ഗം

−1ന്റെ വർഗ്ഗം അഥവാ, −1നെ −1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ കിട്ടുന്നത്, 1 ആയിരിക്കും. ഇതേ രീതിയിൽ, ഏത് രണ്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെയും ഗുണനഫലം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

ഈ ഫലത്തിന്റെ ബീജഗണിതരൂപത്തിനായി, താഴെയുള്ള സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാൻ കഴിയും.

$0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

ഇവിടെ ആദ്യഭാഗം മുകളിലുള്ള ഫലത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഭാഗം 1ന്റെ എതിരെയുള്ള ന്യൂനസംഖ്യയാ​ണ് −1 (അല്ലെങ്കിൽ 0ൽ നിന്ന് 1 കുറച്ചതാണ് −1) എന്ന തത്ത്വത്തിൽനിന്ന് രൂപപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് നിയമം ഉപയോഗിച്ചാൽ താഴെ പറയുന്ന രീതിയിൽ കാണാൻ സാധിക്കും.

$0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

ഇതിൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം 1, ഗുണനത്തിന്റെ അനന്യകമാണ് എന്ന തത്ത്വത്തിൽനിന്ന് രൂപപ്പെട്ടതാണ്. എന്നാൽ അവസാന സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 1 എന്ന സംഖ്യ കൂട്ടുന്നു.

$(-1)\cdot (-1)=1$

മുകളിലുള്ള സമകവാക്യങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെയും രേഖീയ സംഖ്യകളെയും പൊതുവായി സൂചിപ്പിക്കുന്ന അമൂർത്ത ബീജഗണിതത്തിലെ ആശയമായ വലയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

−1 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലം

മിശ്രസംഖ്യയായ i ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് i² = −1 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാൻ സാധിക്കും. ഇതിനെ −1 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലമായും കണക്കാക്കാം. i കൂടാതെ x ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് x² = −1 എന്ന സമവാക്യം ശരിയാകുന്ന ഒരേയൊരു മിശ്രസംഖ്യ -i ആണ്. ക്വാറ്റേർണിയനുകളുടെ ബീജഗണിതത്തിൽ, x² = −1 എന്ന സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ തെളിവുകളുണ്ട്.

നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കൃതികരണം

പൂജ്യമല്ലാത്ത രേഖീയ സംഖ്യകളുടെ കൃതികരണം, നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചും ചെയ്യാൻ സാധിക്കും. ഒരു സംഖ്യയെ −1 കൃത്യങ്കമാക്കിക്കൊണ്ട് കൃതികരണം ചെയ്യുന്നത് ആ സംഖ്യയുടെ വ്യുൽക്രമത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും എന്ന് അർത്ഥമുള്ള x⁻¹ = 1/x എന്ന സമവാക്യം രൂപീകരിച്ചാൽ തുടർന്ന് ഈ സമവാക്യം വികസിപ്പിച്ച് a, b എന്നീ ഏത് രണ്ട് രേഖീയ സംഖ്യകളെടുത്താലും x^ax^b = x^{(a + b)} എന്ന സമവാക്യം രൂപീകരിക്കാൻ സാധിക്കും.

നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കൃതികരണത്തെ വലയത്തിന്റെ സവിശേഷതകളുപയോഗിച്ചും വികസിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. ഇതുവഴി x⁻¹ എന്നത് x ന്റെ ഗുണന വിപരീതമാണെന്നും കണ്ടെത്താം.

ഇതു കൂടാതെ f⁻¹(x) എന്നത് f(x)ന്റെ വിപരീതമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ sin⁻¹(x) എന്നത് ആഴ്സൈൻ ഫങ്ഷനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

കമ്പ്യൂട്ടറുകളിൽ

ഭൂരിഭാഗം കമ്പ്യൂട്ടർ സിസ്റ്റങ്ങളിലും നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ രണ്ടിന്റെ പരിപൂരകങ്ങളായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള സിസ്റ്റങ്ങളിൽ, −1 നെ വലിയ പാറ്റേണുകൾ കൊണ്ടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണമായി, 8-ബിറ്റ് സൈൻഡ് പൂർണ്ണസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് −1 നെ ബിറ്റ്‌സ്ട്രിങ് 11111111 ഉപയോഗിച്ചോ ഹെക്സാഡെസിമലിൽ "FF" ഉപയോഗിച്ചോ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

പ്രോഗ്രാമിങ് ഭാഷകൾ

ചില പ്രോഗ്രാമിങ് ഭാഷകളിൽ, വിവര ഇനങ്ങളെ ഇൻഡക്സ് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ, ഒരു അറേയിലെ അവസാന ഇനത്തെയോ അതിന് മുൻപുള്ള ഇനത്തെയോ സൂചിപ്പിക്കാൻ −1 ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആദ്യ ഇനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന സംഖ്യ പൂജ്യമോ ഒന്നോ ആകുന്നതനുസരിച്ചാണ് −1 ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ആദ്യ ഇനത്തെ 0 കൊണ്ടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നതെങ്കിൽ -1, അവസാന ഇനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ആദ്യ ഇനത്തെ 1 കൊണ്ടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നതെങ്കിൽ -1 അവസാനത്തേതിന് മുൻപുള്ള ഇനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.