കേരളീയഗണിത സരണി

കേരളീയ ഗണിതം ചരിത്രത്തിനു നൽകിയ സംഭാവനകൾ വളരെയേറെയാണ്‌. 14 മുതൽ 18 വരെ നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ ഭാരതത്തിൽ നിന്നിരുന്ന ഗണിതപാരമ്പര്യത്തിന്റെ പ്രധാന കേന്ദ്രം കേരളമായിരുന്നു^{[അവലംബം ആവശ്യമാണ്]}.എ.ഡി.7-ാം നൂറ്റാണ്ട് മുതൽ 700 കെല്ലത്തോളം മങ്ങിയ ശേഷമാണ് ഈ ഉയർത്തെഴുന്നേല്പ്. പടിഞ്ഞാറൻ നാടുകളിൽ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട കലനശാസ്ത്രത്തിന്റേയും(Calculus) അനന്തശ്രേണിയുടേയും(Infinite Series) ആശയത്തിനു തുടക്കമിട്ടത് നിളയുടെ ഇരുപുറവുമായി കിടക്കുന്ന ഒരു ഇടത്തായിരുന്നു^{[അവലംബം ആവശ്യമാണ്]}.

ചരിത്രവും വികാസവും

നാലാം നൂറ്റാണ്ടിൽ കേരളത്തിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ജ്യോതിഷപണ്ഡിതനും ജ്യോതിശാസ്ത്രവിദഗ്ദ്ധനുമായ വരരുചി കടപയാദി സംഖ്യാപദ്ധതി പ്രയോഗത്തിൽ വരുത്തി.

കേരളഗണിതത്തിൽ പ്രാമാണികഗ്രന്ഥങ്ങളയി കരുതിയിരുന്നത് ലീലാവതിയും ആര്യഭടീയവും ആണ്. എ.ഡി 8ആം നൂറ്റാണ്ടിനോടടുത്ത് കൊടുങ്ങല്ലൂരിൽ ശങ്കരനാരായണൻ എന്ന ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ മേൽനോട്ടത്തിൽ ഒരു വാനനിരീക്ഷണകേന്ദ്രം ഉണ്ടായിരുന്നു. ഇതിനെ തുടർന്ന് പരഹിതം എന്ന ഗണന സമ്പ്രദായം കേരളത്തിൽ രൂപം കൊണ്ടു. പരഹിതം ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ അനുചിതമായി വന്നു. ഗ്രഹങ്ങളുടെ സ്ഥാനനിർണ്ണയവും യഥാർത്ഥസ്ഥാനവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം, ഗ്രഹങ്ങളുടെ സമയവ്യത്യാസം എന്നിവ ചില പോരായ്മകളായിരുന്നു. ഇതിനു പരിഹാരമായി എ.ഡി പതിനാലാം നൂറ്റാണ്ടിൽ കേരളീയഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ 2 മാർഗ്ഗങ്ങൾ നിർദ്ദേശിച്ചു:

ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ സമൂലമായി പരിഷ്കരിക്കുക
ഗ്രഹഗതിയെ സം‌ബന്ധിച്ച് നിലവിലുള്ള സങ്കല്പങ്ങൾ പുനരവലോകനം ചെയ്യുക എന്നിങ്ങനെ

ജ്യോത്പത്തി എന്ന പേരിൽ ഭാരതത്തിൽ വികാസം പ്രാപിച്ച ശാഖയാണ് ത്രികോണമിതി. കേരളീയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ, നീലകണ്ഠ സോമയാജി എന്നിവർ അക്ഷാംശം ഗണിക്കുന്നതിനും ഗണസ്ഥാനനിർണ്ണയം, ചലനം മുതലായ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തതാണ് ഈ ശാഖ. ജ്യാ എന്ന പദം അറബികൾ വഴി പാശ്ചാത്യരാജ്യങ്ങളിലെത്തിച്ചേരുകയും അവിടെ സൈൻ എന്ന പേരുസ്വീകരിക്കുകയും ചെയ്തു. ജ്യാ പട്ടിക(Sine series), പവർ ശ്രേണി എന്നിവ ഇവർ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു.

വ്യാസം ഉപയോഗിച്ച് വൃത്തപരിധി കണ്ടെത്തുവാനായി അനന്തശ്രേണി വികസിപ്പിച്ചു. ഇതിനു വഴിവെച്ച ചില ഘടകങ്ങൾ ഇവയാണ് വൃത്തപരിധിക്കും വ്യാസത്തിനും പൊതുപരിമാണമില്ല എന്ന വസ്തുത പൂർണ്ണമൂല്യം കണ്ടെത്താൻ സാധിക്കില്ല എന്നകണ്ടെത്തലിനു വഴിയൊരുക്കി.

കേരളത്തിലെ ജ്യോതിശാസ്ത്ര-ഗണിത പഠനങ്ങൾ തുടങ്ങിവെച്ചത് സംഗമഗ്രാമത്തിലെ മാധവൻ ആണ്. പരമേശ്വരൻ, നീലകണ്ഠ സോമയാജി, ജ്യേഷ്ഠദേവൻ, അച്യുത പിഷാരടി, മേല്പത്തൂർ നാരായണ ഭട്ടതിരി, അച്യുത പണിക്കർ എന്നിവരാണ് ആ പരമ്പരയിലെ മറ്റു പ്രധാനികൾ. പതിനാലും പതിനാറും ശതാബ്ദത്തിനിടയിൽ അവർ പല കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളും നടത്തി. മേല്പത്തൂർ നാരായണ ഭട്ടതിരി (1559-1632) ഈ സരണിയിലെ അവസാന കണ്ണിയായി കരുതുന്നു. ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾക്കു പരിഹാരം കണ്ടെതത്താനായി അവർ സ്വന്തമായി പല ഗണിതതന്ത്രങ്ങളും അവിഷക്കരിച്ചിരുന്നു. അവരുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കണ്ടുപിടിത്തം (series expansion for trigonometric functions) നീലകണ്ഠൻ സംസ്കൃതത്തിൽ എഴുതിയ തന്ത്രസംഗ്രഹ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. അതിന്റെ വ്യാഖ്യാനമായി ഒരു അജ്ഞാത കർത്താവ് എഴുതിയ തന്ത്രസംഗ്രഹ-വാക്യ എന്ന പുസ്തകത്തിലും ഇത് വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇതിലെ തത്ത്വങ്ങൾ തെളിവില്ലാതെയാണ് ആണ് എഴുതിയിരുന്നത്. എന്നാൽ ഒരു ശതാബ്ദത്തിനു ശേഷം ജ്യേഷ്ഠദേവൻ മലയാളത്തിൽ രചിച്ച യുക്തിഭാഷ (c.1500-c.1610) എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ അവയുടെ (series for sine, cosine, and inverse tangent) തെളിവുകൾ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്. അതുപോലെ തന്ത്രസംഗ്രഹത്തിന്റെ ഒരു വ്യാഖ്യാനത്തിലും തെളിവുകൾ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട് ^[1] യൂറോപ്പിൽ കലനം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനു രണ്ടു ശതാബ്ദങ്ങൾക്കു മുൻപേ അവർ ജ്യാമിതീയശ്രേണികൾ കൂടാതുള്ള അനന്തശ്രേണികൾക്ക് (power series) ആദ്യമായി രുപംനല്കി ^[2]. എന്നാൽ അവർ അവകലനത്തിനോ സമാകലത്തിനോ രുപംനല്കിയില്ല. അവരുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ കേരളത്തിനു വെളിയിൽ അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു എന്നതിനു തെളിവുകൾ ഇല്ല ^[3]^[4]^[5]^[6]

അതുല്യപ്രതിഭകൾ

ഹരിദത്തൻ

ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ജീവിതകാലം ഏഴാംശതകത്തിലായിരുന്നു. ആര്യഭടസിദ്ധാന്തങ്ങളും ജ്യോതിർനിരീക്ഷണങ്ങളും തമ്മിലുള്ള പൊരുത്തക്കേടുകൾ സൈദ്ധാന്തികമായി ഇദ്ദെഹം പരിഹരിച്ചു. ഈ പരിഷ്കാരമാവട്ടെ പരിഹിതം എന്ന പേരിൽ ഒരു പുതിയ ഗണിതപദ്ധതിയായി അംഗീകരിയ്ക്കപ്പെട്ടു. ഇന്ന് ലഭ്യമായ ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ഒരു ഗ്രന്ഥമാണ് ഗ്രവിചാരനിബന്ധനം.

ഗോവിന്ദഭട്ടതിരി

എ.ഡി.1237-1295 ആണ് ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ കാലഘട്ടം. ഗണിതത്തിലും ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിലും അഗാധമായ പാണ്ഡിത്യം ഇദ്ദെഹത്തിനുണ്ടായിരുന്നു.

സംഗ്രമഗ്രാമമാധവൻ

എ.ഡി 1340-1425 ആണ് ജീവിതകാലം. സംഗ്രമഗ്രാമമാധവനാണ് കേരളീയഗണിതത്തിൽ അനന്തം എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിച്ചത്. അപരിമിതശ്രേണികൾ മുഖേന സമവൃത്തത്തിന്റെ പരിധി കണക്കക്കുവാനുള്ള വഴി ആവിഷ്കരിച്ചു. ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രധാനപ്പെട്ട 2 ഗ്രന്ഥങ്ങൾ വേന്വാരോഹം, സ് ഫുട ചന്ദ്രാബ്ധി എന്നിവയാണ്. തിഥിയും നക്ഷത്രവും പിശകില്ലാതെ ഗണിയ്ക്കുന്നതിനു വേണ്ടി ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന ഗ്രന്ഥങ്ങളാണിവ. ഗോളഗണിതത്തിൽ പ്രാമാണികനായിരുന്ന ഇദ്ദേഹത്തെ ഗോളവിദ് എന്ന ബിരുദപ്പേര് നൽകി ആദരിച്ചിരുന്നു.

വടശ്ശേരി പരമേശ്വരൻ

എ.ഡി 1360-1460ൽ ആണ് ജീവിച്ചിരുന്നത്. എഴുത്തുകാരൻ, വ്യാഖ്യാതാവ്, ജ്യോതിർനിരീക്ഷകൻ, അദ്ധ്യാപകൻ എന്നീ നിലകളിൽ ഇദ്ദേഹം പ്രഗൽഭനായിരുന്നു. കൃത്യത ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ മുഖമുദ്രയാണ്. സ്വന്തം സ്ഥലം വെളിപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ആ സ്ഥലത്തെ അക്ഷാംശ-രേഖാംശങ്ങൾ കൂടി ഇദ്ദേഹം സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നു. ഈ കൃത്യത പരഹിതം പരിഷ്കരിച്ച് ദൃഗ്‌ഗണിത പദ്ധതി ആവിഷ്കരിയ്ക്കുന്നതിലെയ്ക്ക് നയിച്ചു. നിരവധി ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ പ്രധാനപ്പെട്ടവ ദൃഗ്‌ഗണിതം(1431), ഗോളദീപിക(1443), ഗ്രഹണമണ്ഡനം, ഗ്രഹണന്യായ ദീപിക ഇവയാണ്.

നീലകണ്ഠൻ

തിരൂരിനടുത്ത് ആണ് ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ജനനം. ആര്യഭടീയപദങ്ങളെ ആധാരപ്പെടുത്തി അന്നോളം കേരളത്തിൽ ലഭ്യമായിരുന്ന എല്ലാ ഗണിതസിദ്ധാന്തങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളിച്ച് ഒരു സ്വതന്ത്രഗ്രന്ഥം നിർമ്മിച്ചു. പ്രധാനഗ്രന്ഥങ്ങൾ ആര്യഭടീയ ഭാഷ്യം, തന്ത്രസംഗ്രഹം, സിദ്ധാന്ത ദർപ്പനം, ഗോളസാരം,ച ന്ദ്രഛായാ ഗണിതം, ഗ്രഹനിർണ്ണയം ഇവയാണ്.

ജ്യേഷ്ഠദേവൻ

നീലകണ്ഠസോമയാജിയിൽ നിന്ന് പ്രചോദനമുൾക്കൊണ്ട് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഒരു സമകാലീനനഅയിരുന്നു ജ്യേഷ്ഠദേവൻ. അക്കാലത്ത് പ്രചാരത്തിലുണ്ടായിരുന്ന ഗ്രന്ഥങ്ങളെല്ലാം പഠിച്ച് അവയിലെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ സ്വന്തം ധിഷണാശക്തിയുപയോഗിച്ച് തേച്ചുമിനുക്കലുകൾ നടത്തി മാതൃഭാഷയിൽ യുക്തിഭാഷ എന്ന ഗ്രന്ഥം നിർമ്മിച്ചു. മാതൃഭാഷയിൽ സാങ്കേതികവിദ്യ പകരാനാവും എന്ന് തെളിയിയ്ക്കുകയാണ് അദ്ദേഹം ചെയ്തത്. ഇദ്ദേഹം പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഇപ്രകാരം അവതരിപ്പിച്ചിരിയ്ക്കുന്നു. "ഭുജവർഗ്ഗവും കോടിവർഗ്ഗവും കൂട്ടിയാൽ കർണ്ണവർഗ്ഗമാവും". പരങ്ങോട്ട് നമ്പൂതിരി എന്ന പേരിലും ഇദ്ദേഹം അറിയപ്പെടുന്നു. 1639ൽ ആണ് യുക്തിഭാഷയുടെ രചനാകാലം എന്ന് വിശ്വസിയ്ക്കുന്നു.

അച്യുത പിഷാരോടി

ജ്യേഷ്ഠദേവന്റെ ശിഷ്യരിൽ പ്രധാനിയാണ് അച്യുതപിഷാരോടി. ഏതാണ്ട് 1650ൽ ആണ് ജനനം എന്ന് കരുതുന്നുസ്വതന്ത്രമായി ഇദ്ദേഹം ആവിഷ്കരിച്ചതൊന്നും കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ല. എന്നാൽ സംഗ്രമഗ്രാമ മാധവന്റെ വേണ്വാരോഹത്തിന്റെ വ്യാഖ്യാനം ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ പാണ്ഡിത്യത്തിന്റെ തെളിവായി കാണുന്നു.

പുതുമന സോമയാജി

തൃശ്ശൂരിനടുത്ത ശിവപുരം ഗ്രാമത്തിൽ ഏതാണ്ട് 1700നോടടുത്താണ് ജനനം എന്ന് കരുതുന്നു. പ്രധാനപ്പെട്ട സംഭാവന കരണപദ്ധതിയാണ്.

സംഭാവനകൾ

നൂറ്റാണ്ടുകളായി കേരളീയ ഗണിതകാരന്മാർ വ്യാപരിച്ചിരുന്ന രണ്ടു പ്രധാനപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ അനിശ്ചിത സമവാക്യങ്ങളും (Indeterminate Equations) വൃത്തസംസ്കാരവും(Rectification of Circle) ആയിരുന്നു. വൃത്തസംസ്കാരത്തെകുറിച്ച് (വൃത്തവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗണിതക്രിയകളെക്കുറിച്ച്) ലോകോത്തരമായ സംഭാവനകൾ നൽകാൻ ഈ കാലഘട്ടത്തിൽ ഇവർക്ക് സാധിച്ചു.

ഗണിതവിശ്ലേഷണം(Mathematical Analysis),അനന്തതയെ സംബന്ധിച്ച സിദ്ധാന്തങ്ങൾ(Theory of Infinite Process) എന്നിവയ്ക്ക് തുടക്കം കുറിച്ചു.

ത്രികോണമിതിയിലെ അനന്തശ്രേണികൾ കണ്ടുപിടിച്ചു.

പൈ ഒരു അപരിമേയസംഖ്യയാണു് എന്നതിന് തെളിവ് നൽകി.

കലനശാസ്ത്രത്തിന് തുടക്കം കുറിച്ചു.

എന്നാൽ ഇത്രയേറെയും സംഭാവനകൾ നൽകിയെങ്കിലും വേണ്ടവിധേന ഇവയൊന്നും പ്രചരിപ്പിയ്ക്കപ്പെട്ടില്ല. പാശ്ചാത്യരാജ്യങ്ങളിൽ കണ്ടുപിടിയ്ക്കപ്പെടുന്നതിന് ഏകദേശം 200 വർഷങ്ങൾക്ക് മുൻപുതന്നെ ഇവയെല്ലാം ഭാരതീയഗണിതത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നു. ഈ കാലഘട്ടത്തിനു സംഭവിച്ച ഏറ്റവും വലിയ പരാജയം പൂർണ്ണമായി തെളിവുകളൊന്നും ആവിഷ്കരിയ്ക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്ക് നൽകാൻ ശ്രമിച്ചില്ല എന്നതാണ്. പൈ എന്ന സംഖ്യയുടെ കാര്യത്തിൽ തന്നെ ഇത് ഒരു അപരിമേയസംഖ്യ എന്നതിൽ കവിഞ്ഞ് ഈ സംഖ്യകൾക്കുള്ള പൊതുന്യായങ്ങൾ നൽകാൻ കഴിഞ്ഞില്ല. പോളിനോമിയലുകളെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്ക് തുടക്കം കുറിച്ചുവെന്നല്ലാതെ അതേ ദിശയിൽ മുന്നോട്ട് പോകാനോ വർഗ്ഗശ്രേണികളെ(Power Series) ആവിഷ്കരിയ്ക്കാനോ ശ്രമിച്ചില്ല. വിഖ്യാതന്മാരായ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രകാരാണെന്നിരിയ്ക്കലും കെപ്ലർ നിയമങ്ങളിലേയ്ക്ക് എത്തിച്ചേരാൻ സാധിച്ചില്ല.

അനന്തശ്രേണിയും കലനവും

അനന്തശ്രേണികളുടെയും കലനത്തിന്റെയും പഠനമേഖലകളിൽ കേരളീയ ഗണിതജ്ഞന്മാരുടെ സംഭാവനകൾ നിരവധിയാണ്.അതിലൊന്ന് താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയശ്രേണിയാണ്

{\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots

for

|x|<1

^[7]

എന്നാൽ ഈ സൂത്രവാക്യം പത്താം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇറാഖിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന അൽ ഹാസൻ (ഇബ്ന് അൽ ഹായ്തം) (965-1039) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രഞജ്ഞന്റെ കൃതികളിൽ കണ്ടിട്ടുണ്ട് .^[8]

കേരള സരണി ഗണിതീയ ആഗമനം (mathematical induction) എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സൂത്ര വാക്യത്തിന് തെളിവ് അവതരിപ്പിച്ചു:

1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}

for large n. ഇതും അൽ ഹാസന് അറിയാമായിരുന്നു .^[1]

അവകലനവും സമാകലനവും ആവിഷ്കരിക്കുന്നതിനു മുൻപ് തന്നെ, അവർ സമാനമായ പരികല്പനകൾ ഉപയോഗിച്ച് $\sin x$ , $\cos x$ , and $\arctan x$ എന്നിവക്കുള്ള (Taylor-Maclaurin) അനന്തശ്രേണികൾ ആവിഷ്ക്കരിച്ചു.^[9]

തന്ത്രസംഗ്രഹ-വാക്യത്തിൽ ഈ അനന്തശ്രേണി പദ്യ രൂപത്തിൽ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. അത് ഒരു സമവാക്യ രൂപത്തിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:^[1]

r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,

where

y/x\leq 1.

r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdot

r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,

where, for

r=1

,

അത് സാധാരണ രൂപത്തിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

and

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots

(കേരള സരണി "ഫാക്ടോറിയൽ" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നില്ല.)

വൃത്ത ചാപത്തിന്റെ നീളം കാണുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് കേരള സരണി ഇവ തെളിയിച്ചു. (അക്കാലത്ത് ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെ (Leibniz) വിസ്തീർണം കാണുന്ന രീതി ആവിഷകരിച്ചിട്ടുണ്ടായിരുന്നില്ല.)^[1] അവർ $\arctan x$ -ന്റെ ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് $\pi$ -ന് ഒരു അനന്തശ്രേണി കണ്ടുപിടിച്ചു. ഇതു പിൽക്കാലം Gregory series എന്ന പേരിൽ അറിയുവാൻ ഇടയായി.^[1]

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots

അനന്തശ്രേണികളുടെ ഫയിനൈറ്റ് അപ്പ്രൊക്സിമേഷന്റെ കുറവിന് (error) അവർ നൽകിയ സുത്രവാക്യം ശ്രദ്ധേയമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ശ്രേണിയുടെ കുറവ് $f_{i}(n+1)$ , ( n ഒറ്റ സംഖ്യയും i = 1, 2, 3) ആണെങ്കിൽ:

{\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)

where

f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.

അവർ ${\frac {1}{n^{3}-n}}$ -ന്റെ വികസിത രൂപം ഉപയോഗിച്ച് $\pi$ :^[1]-ന് അതി വേഗം കൺവെർജ് ചെയയുന്ന ഈ ശ്രേണി കണ്ടെത്തി:

{\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots

ഈ ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് $\pi$ -ന് ഒൻപതു ദശാംശം വരെ ശരിയായ ഈ അനുപാതമായി സൂചിപ്പിച്ചു: $104348/33215=3.141592653$ ^[1]. അവർ സീമ (Limit) എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച് ഈ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടുപിടിച്ചു.^[1] കേരള സരണിയിലെ ഗണിതജ്ഞർ ചില ത്രികോണമിതീയ ഫലനങ്ങളെ (trigonometric functions) അവകലനം ചെയ്യാനുള്ള രീതി കണ്ടുപിടിച്ചു.^[10] എന്നാൽ ഫലനം എന്ന ആശയമോ ലോഗരിതം, എക്സ്പൊനെന്‌ഷ്യൽ എന്ന ഫലനങ്ങളോ അന്ന് അറിയപ്പെട്ടിരുന്നില്ല. കേരള സരണിയുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെ പറ്റി ആദ്യമായി (1835) വിശദമായി എഴുതിയത് സി.എം. വിഷ് (C. M. Whish) എന്ന ഇംഗ്ലീഷുകാരൻ ആണ്. J. Warren-ന്റെ 1825 യിലെ കലാ സങ്കലിത ^[11] യിൽ കേരളത്തിലെ ജ്യോതി ശാസ്ത്രജ്ഞർ അനന്ത ശ്രേണി കണ്ടുപിടിച്ചതായി പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുണ്ട്. വിഷ് കേരളത്തിലെ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞർ "laid the foundation for a complete system of fluxions" എന്നാണ് എഴുതിയത്. അതുപോലെ അവരുടെ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഉള്ള "fluxional forms and series to be found in no work of foreign countries."എന്നും എഴുതി^[12]എന്നാൽ വിഷ്-ന്റെ ലേഖനത്തിന് പ്രചാരം ലഭിച്ചില്ല. കേരള സരണിയുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ ഒരു ശതാബ്ദത്തിനു ശേഷം സി. രാജഗോപാലും സഹപ്രവർത്തകരും കൂടെ വെളിച്ചത്തു കൊണ്ടുവന്നു. അവരുടെ രണ്ടു ലേഖനങ്ങളിൽ യുക്തിഭാഷയിൽ ആർക് ടാൻ (arctan) ശ്രേണിക്ക് കൊടുതത്തിട്ടുള്ള ഉപപത്തി വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്,^[13]^[14]. യുക്തിഭാഷയിൽ സൈൻ (sine) കോസൈൻ (cosine) ഘാതശ്രേണികൾക്കുള്ള (Power Series) ഉപപത്തിയുടെ വിവരണം ഒരു ലേഖനത്തിൽ കൊടുത്തിട്ടുണ്ട്. ^[15] രണ്ടു ലേഖനങ്ങളിൽ ആർക് ടാൻ (arctan), സൈൻ (sine), കോസൈൻ (cosine) ശ്രേണികൾ തന്ത്രസംഗ്രഹയിൽ നിന്ന് പദ്യ രൂപത്തിൽ ഉദ്ധരിക്കുകയും അവ ഇംഗ്ലീഷിലേക്ക് പരിഭാഷ ചെയ്യുകയും ചെയ്തു.^[16]^[17]

കേരള സരണിയുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ യൂറോപ്പിൽ എത്തിച്ചേരാനുള്ള സാധ്യത

ഈ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ വ്യാപാരികളും ജെസ്വിറ്റ് മിഷനറികളും (Jesuit missionaries) വഴി യൂറോപ്പിൽ എത്തിച്ചേരാൻ സാധ്യത ഉണ്ടെന്ന് 1979-ൽ എ.കെ. ബാഗ്‌ അഭിപ്രായം പ്രകടിപ്പിച്ചു. ^[18] കേരളത്തിന്‌ ചൈന, അറേബ്യ, യുറോപ് എന്നിവിടങ്ങളുമായി നിരന്തരം വാണിജ്യ മുഖേനയുള്ള അടുപ്പം ഉണ്ടായിരുന്നു. ചില പണ്ഡിതർ പറഞ്ഞിട്ടുള്ളതു പോലെ ഇങ്ങനെ ആശയവിനിമയത്തിനുള്ള ഉപാധികളും അതു സംഭവിക്കാനുള്ള സമയ ദീര്ഘവും ഉള്ളതു കാരണം യുറോപ്പിൽ ഈ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ എത്തിച്ചേരാൻ സാധ്യത ഉണ്ട്^[19]^[20]. എന്നാൽ കേരള സരണിയുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ യൂറോപ്പിൽ എത്തിച്ചേർന്നു എന്നു അനുമാനിക്കാൻ ഗ്രന്ഥങ്ങൾ മുഖേനയുള്ള തെളിവുകൾ ഒന്നും തന്നെയില്ല.^[20] ഉദാഹരണത്തിന് ഡേവിഡ്‌ ബ്രെസ്സൗഡ് (David Bressoud) ഇങ്ങനെയാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത് "there is no evidence that the Indian work of series was known beyond India, or even outside of Kerala, until the nineteenth century."^[9]^[21]അറേബ്യയിലേയും ഭാരതത്തിലേയും ഗണിതജ്ഞർ പതിനേഴാം ശതാബ്ദത്തിന് മുന്പ് നടത്തിയ പല കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളും ഇപ്പോൾ കലനത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗമായി കണക്കാക്കുന്നുണ്ട്. ^[10] എന്നാൽ ഐസക്‌ ന്യൂട്ടണും ഗോട്ട് ഫ്രീദ് ലൈബ്നിറ്റ്സും ചെയ്തതു പോലെ വിഭിന്നങ്ങളായ ആശയങ്ങളെ ഏകീകരിച്ച് അവകലനം സമാകലനം എന്ന് രണ്ട് ശാഖകൾക്ക് രൂപം കൊടുക്കാനും, അവയിൽ നിന്ന് കലനം എന്ന വിശിഷ്ടമായ ഉപകരണം ഉണ്ടാക്കാനും അവർക്കു സാധിച്ചില്ല ("combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between the two, and turn calculus into the great problem-solving tool we have today.")^[10] ന്യൂട്ടൺന്റെയും ലൈബ്നിറ്റ്സിന്റെയും കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെപ്പറ്റി വളരെ വിശദമായ രേഖകൾ ഉണ്ട്. അവയിൽ നിന്ന് അവരുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ അവരുടെ തന്നെ ആണെന്നത് നിസ്സംശയമാണ്.^[10] എന്നാൽ അവരുടെ മുൻഗാമികൾക്ക് അറേബ്യയിലേയും ഭാരതത്തിലേയും ഗണിതജ്ഞരുടെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെക്കുറിച്ച് അറിയാമായിരുന്നോ എന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംശയമുണ്ട്‌ ("including, in particular, Fermat and Roberval, learned of some of the ideas of the Islamic and Indian mathematicians through sources of which we are not now aware.")^[10] ഇത് ഇപ്പോൾ സജീവമായ ഒരു ഗവേഷണ വിഷയമാണ്‌. ഈ ഗവേഷണം സ്പെയിനിലെയും (Spain) മഘ്രെബിലെയും (Maghreb) പുരാതന ഗ്രന്ഥശേഖരങ്ങളിലും പാരിസിലെ (Paris) Centre national de la recherche scientifique എന്നിവിടങ്ങളിൽ നടക്കുന്നു.

ഇതും കാണുക

കുറിപ്പുകൾ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 Roy, Ranjan. 1990. "Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291-306.
↑ (Stillwell 2004, p. 173)
↑ (Bressoud 2002, p. 12) Quote: "There is no evidence that the Indian work on series was known beyond India, or even outside Kerala, until the nineteenth century. Gold and Pingree assert [4] that by the time these series were rediscovered in Europe, they had, for all practical purposes, been lost to India. The expansions of the sine, cosine, and arc tangent had been passed down through several generations of disciples, but they remained sterile observations for which no one could find much use."
↑ Plofker 2001, p. 293 Quote: "It is not unusual to encounter in discussions of Indian mathematics such assertions as that "the concept of differentiation was understood [in India] from the time of Manjula (... in the 10th century)" [Joseph 1991, 300], or that "we may consider Madhava to have been the founder of mathematical analysis" (Joseph 1991, 293), or that Bhaskara II may claim to be "the precursor of Newton and Leibniz in the discovery of the principle of the differential calculus" (Bag 1979, 294). ... The points of resemblance, particularly between early European calculus and the Keralese work on power series, have even inspired suggestions of a possible transmission of mathematical ideas from the Malabar coast in or after the 15th century to the Latin scholarly world (e.g., in (Bag 1979, 285)). ... It should be borne in mind, however, that such an emphasis on the similarity of Sanskrit (or Malayalam) and Latin mathematics risks diminishing our ability fully to see and comprehend the former. To speak of the Indian "discovery of the principle of the differential calculus" somewhat obscures the fact that Indian techniques for expressing changes in the Sine by means of the Cosine or vice versa, as in the examples we have seen, remained within that specific trigonometric context. The differential "principle" was not generalized to arbitrary functions—in fact, the explicit notion of an arbitrary function, not to mention that of its derivative or an algorithm for taking the derivative, is irrelevant here"
↑ Pingree 1992, p. 562 Quote:"One example I can give you relates to the Indian Mādhava's demonstration, in about 1400 A.D., of the infinite power series of trigonometrical functions using geometrical and algebraic arguments. When this was first described in English by Charles Whish, in the 1830s, it was heralded as the Indians' discovery of the calculus. This claim and Mādhava's achievements were ignored by Western historians, presumably at first because they could not admit that an Indian discovered the calculus, but later because no one read anymore the Transactions of the Royal Asiatic Society, in which Whish's article was published. The matter resurfaced in the 1950s, and now we have the Sanskrit texts properly edited, and we understand the clever way that Mādhava derived the series without the calculus; but many historians still find it impossible to conceive of the problem and its solution in terms of anything other than the calculus and proclaim that the calculus is what Mādhava found. In this case the elegance and brilliance of Mādhava's mathematics are being distorted as they are buried under the current mathematical solution to a problem to which he discovered an alternate and powerful solution."
↑ Katz 1995, pp. 173–174 Quote:"How close did Islamic and Indian scholars come to inventing the calculus? Islamic scholars nearly developed a general formula for finding integrals of polynomials by A.D. 1000—and evidently could find such a formula for any polynomial in which they were interested. But, it appears, they were not interested in any polynomial of degree higher than four, at least in any of the material that has come down to us. Indian scholars, on the other hand, were by 1600 able to use ibn al-Haytham's sum formula for arbitrary integral powers in calculating power series for the functions in which they were interested. By the same time, they also knew how to calculate the differentials of these functions. So some of the basic ideas of calculus were known in Egypt and India many centuries before Newton. It does not appear, however, that either Islamic or Indian mathematicians saw the necessity of connecting some of the disparate ideas that we include under the name calculus. They were apparently only interested in specific cases in which these ideas were needed. ... There is no danger, therefore, that we will have to rewrite the history texts to remove the statement that Newton and Leibniz invented calculus. Thy were certainly the ones who were able to combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between them, and turn the calculus into the great problem-solving tool we have today."
↑ Singh, A. N. (1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics". Osiris. 1: 606–628. doi:10.1086/368443.
↑ Edwards, C. H., Jr. 1979. The Historical Development of the Calculus. New York: Springer-Verlag.
↑ ^9.0 ^9.1 Bressoud, David. 2002. "Was Calculus Invented in India?" The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). 33(1):2-13.
↑ ^10.0 ^10.1 ^10.2 ^10.3 ^10.4 Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163-174.
↑ Current Science Archived 2010-12-23 at the Wayback Machine.,
↑ Charles Whish (1835), Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland
↑ Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1949). "A Neglected Chapter of Hindu Mathematics". Scripta Mathematica. 15: 201–209.
↑ Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1951). "On the Hindu proof of Gregory's series". Scripta Mathematica. 17: 65–74.
↑ Rajagopal, C.; Venkataraman, A. (1949). "The sine and cosine power series in Hindu mathematics". Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science). 15: 1–13.
↑ Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1977). "On an untapped source of medieval Keralese mathematics". Archive for the History of Exact Sciences. 18: 89–102.
↑ Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1986). "On Medieval Kerala Mathematics". Archive for the History of Exact Sciences. 35: 91–99.
↑ A. K. Bag (1979) Mathematics in ancient and medieval India. Varanasi/Delhi: Chaukhambha Orientalia. page 285.
↑ Raju, C. K. (2001). "Computers, Mathematics Education, and the Alternative Epistemology of the Calculus in the Yuktibhasa". Philosophy East and West. 51 (3): 325–362.
↑ ^20.0 ^20.1 Almeida, D. F.; John, J. K.; Zadorozhnyy, A. (2001). "Keralese Mathematics: Its Possible Transmission to Europe and the Consequential Educational Implications". Journal of Natural Geometry. 20: 77–104.
↑ Gold, D.; Pingree, D. (1991). "A hitherto unknown Sanskrit work concerning Madhava's derivation of the power series for sine and cosine". Historia Scientiarum. 42: 49–65.

അവലംബം

Bressoud, David (2002), "Was Calculus Invented in India?", The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.), 33 (1): 2–13, JSTOR 1558972.
Gupta, R. C. (1969) "Second Order of Interpolation of Indian Mathematics", Ind, J.of Hist. of Sc. 4 92-94
Hayashi, Takao (2003), "Indian Mathematics", in Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, vol. 1, pp. 118-130, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages, ISBN 0-8018-7396-7 {{citation}}: Cite has empty unknown parameter: |publication-year= (help).
Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 pages, ISBN 0-691-00659-8.
Katz, Victor J. (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.), 68 (3): 163–174, JSTOR 2691411.
Parameswaran, S., ‘Whish’s showroom revisited’, Mathematical gazette 76, no. 475 (1992) 28-36
Pingree, David (1992), "Hellenophilia versus the History of Science", Isis, 83 (4): 554–563, doi:10.1086/356288, JSTOR 234257
Plofker, Kim (1996), "An Example of the Secant Method of Iterative Approximation in a Fifteenth-Century Sanskrit Text", Historia Mathematica, 23 (3): 246–256, doi:10.1006/hmat.1996.0026.
Plofker, Kim (2001), "The "Error" in the Indian "Taylor Series Approximation" to the Sine", Historia Mathematica, 28 (4): 283–295, doi:10.1006/hmat.2001.2331.
Plofker, K. (July 20 2007), "Mathematics of India", in Katz, Victor J. (ed.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 pages (published 2007), pp. 385–514, ISBN 0-691-11485-4 {{citation}}: Check date values in: |date= (help)CS1 maint: date and year (link).
C. K. Raju. 'Computers, mathematics education, and the alternative epistemology of the calculus in the Yuktibhâsâ', Philosophy East and West 51, University of Hawaii Press, 2001.
Roy, Ranjan (1990), "Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha", Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.), 63 (5): 291–306, JSTOR 2690896.
Sarma, K. V. and S. Hariharan: Yuktibhasa of Jyesthadeva : a book of rationales in Indian mathematics and astronomy - an analytical appraisal, Indian J. Hist. Sci. 26 (2) (1991), 185-207
Singh, A. N. (1936), "On the Use of Series in Hindu Mathematics", Osiris, 1: 606–628, doi:10.1086/368443, JSTOR 301627
Stillwell, John (2004), Mathematics and its History (2 ed.), Berlin and New York: Springer, 568 pages, ISBN 0-387-95336-1.
Tacchi Venturi. 'Letter by Matteo Ricci to Petri Maffei on 1 Dec 1581', Matteo Ricci S.I., Le Lettre Dalla Cina 1580–1610, vol. 2, Macerata, 1613.

External links

The Kerala School, European Mathematics and Navigation, 2001.
An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
Indian Mathematics: Redressing the balance, MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
Keralese mathematics Archived 2018-05-29 at the Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
Possible transmission of Keralese mathematics to Europe Archived 2018-01-03 at the Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics archive, 2002.
Neither Newton nor Leibnitz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala Archived 2006-08-06 at the Wayback Machine., 2005.
"Indians predated Newton 'discovery' by 250 years" phys.org, 2007

കേരളീയ ഗണിത-ജ്യോതിശാസ്ത്ര സരണി

[roy-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 Roy, Ranjan. 1990. "Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America) 63(5):291-306.

[2] (Stillwell 2004, p. 173)

[3] (Bressoud 2002, p. 12) Quote: "There is no evidence that the Indian work on series was known beyond India, or even outside Kerala, until the nineteenth century. Gold and Pingree assert [4] that by the time these series were rediscovered in Europe, they had, for all practical purposes, been lost to India. The expansions of the sine, cosine, and arc tangent had been passed down through several generations of disciples, but they remained sterile observations for which no one could find much use."

[4] Plofker 2001, p. 293 Quote: "It is not unusual to encounter in discussions of Indian mathematics such assertions as that "the concept of differentiation was understood [in India] from the time of Manjula (... in the 10th century)" [Joseph 1991, 300], or that "we may consider Madhava to have been the founder of mathematical analysis" (Joseph 1991, 293), or that Bhaskara II may claim to be "the precursor of Newton and Leibniz in the discovery of the principle of the differential calculus" (Bag 1979, 294). ... The points of resemblance, particularly between early European calculus and the Keralese work on power series, have even inspired suggestions of a possible transmission of mathematical ideas from the Malabar coast in or after the 15th century to the Latin scholarly world (e.g., in (Bag 1979, 285)). ... It should be borne in mind, however, that such an emphasis on the similarity of Sanskrit (or Malayalam) and Latin mathematics risks diminishing our ability fully to see and comprehend the former. To speak of the Indian "discovery of the principle of the differential calculus" somewhat obscures the fact that Indian techniques for expressing changes in the Sine by means of the Cosine or vice versa, as in the examples we have seen, remained within that specific trigonometric context. The differential "principle" was not generalized to arbitrary functions—in fact, the explicit notion of an arbitrary function, not to mention that of its derivative or an algorithm for taking the derivative, is irrelevant here"

[5] Pingree 1992, p. 562 Quote:"One example I can give you relates to the Indian Mādhava's demonstration, in about 1400 A.D., of the infinite power series of trigonometrical functions using geometrical and algebraic arguments. When this was first described in English by Charles Whish, in the 1830s, it was heralded as the Indians' discovery of the calculus. This claim and Mādhava's achievements were ignored by Western historians, presumably at first because they could not admit that an Indian discovered the calculus, but later because no one read anymore the Transactions of the Royal Asiatic Society, in which Whish's article was published. The matter resurfaced in the 1950s, and now we have the Sanskrit texts properly edited, and we understand the clever way that Mādhava derived the series without the calculus; but many historians still find it impossible to conceive of the problem and its solution in terms of anything other than the calculus and proclaim that the calculus is what Mādhava found. In this case the elegance and brilliance of Mādhava's mathematics are being distorted as they are buried under the current mathematical solution to a problem to which he discovered an alternate and powerful solution."

[6] Katz 1995, pp. 173–174 Quote:"How close did Islamic and Indian scholars come to inventing the calculus? Islamic scholars nearly developed a general formula for finding integrals of polynomials by A.D. 1000—and evidently could find such a formula for any polynomial in which they were interested. But, it appears, they were not interested in any polynomial of degree higher than four, at least in any of the material that has come down to us. Indian scholars, on the other hand, were by 1600 able to use ibn al-Haytham's sum formula for arbitrary integral powers in calculating power series for the functions in which they were interested. By the same time, they also knew how to calculate the differentials of these functions. So some of the basic ideas of calculus were known in Egypt and India many centuries before Newton. It does not appear, however, that either Islamic or Indian mathematicians saw the necessity of connecting some of the disparate ideas that we include under the name calculus. They were apparently only interested in specific cases in which these ideas were needed. ... There is no danger, therefore, that we will have to rewrite the history texts to remove the statement that Newton and Leibniz invented calculus. Thy were certainly the ones who were able to combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between them, and turn the calculus into the great problem-solving tool we have today."

[singh-7] Singh, A. N. (1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics". Osiris. 1: 606–628. doi:10.1086/368443.

[8] Edwards, C. H., Jr. 1979. The Historical Development of the Calculus. New York: Springer-Verlag.

[bressoud-9] 9.0 ^9.1 Bressoud, David. 2002. "Was Calculus Invented in India?" The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). 33(1):2-13.

[katz-10] 10.0 ^10.1 ^10.2 ^10.3 ^10.4 Katz, V. J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." Mathematics Magazine (Mathematical Association of America), 68(3):163-174.

[11] Current Science Archived 2010-12-23 at the Wayback Machine.,

[charles-12] Charles Whish (1835), Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland

[13] Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1949). "A Neglected Chapter of Hindu Mathematics". Scripta Mathematica. 15: 201–209.

[14] Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1951). "On the Hindu proof of Gregory's series". Scripta Mathematica. 17: 65–74.

[15] Rajagopal, C.; Venkataraman, A. (1949). "The sine and cosine power series in Hindu mathematics". Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science). 15: 1–13.

[16] Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1977). "On an untapped source of medieval Keralese mathematics". Archive for the History of Exact Sciences. 18: 89–102.

[17] Rajagopal, C.; Rangachari, M. S. (1986). "On Medieval Kerala Mathematics". Archive for the History of Exact Sciences. 35: 91–99.

[18] A. K. Bag (1979) Mathematics in ancient and medieval India. Varanasi/Delhi: Chaukhambha Orientalia. page 285.

[19] Raju, C. K. (2001). "Computers, Mathematics Education, and the Alternative Epistemology of the Calculus in the Yuktibhasa". Philosophy East and West. 51 (3): 325–362.

[almeida-20] 20.0 ^20.1 Almeida, D. F.; John, J. K.; Zadorozhnyy, A. (2001). "Keralese Mathematics: Its Possible Transmission to Europe and the Consequential Educational Implications". Journal of Natural Geometry. 20: 77–104.

[gold-21] Gold, D.; Pingree, D. (1991). "A hitherto unknown Sanskrit work concerning Madhava's derivation of the power series for sine and cosine". Historia Scientiarum. 42: 49–65.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]