പഥരേഖ

ഒന്നോ അതിലധികമോ നിർദ്ദിഷ്ടവ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണമാണ് പഥരേഖ അഥവാ ബിന്ദുപഥം (Locus) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.^[1]^[2] സാധാരണയായി രേഖ, രേഖാഖണ്ഡം, വക്രം, പ്രതലം എന്നിവയെല്ലാം ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

മറ്റുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഏതെങ്കിലും പൊതുവായ സവിശേഷഗുണം പേറുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണത്തെയാണ് ആ സവിശേഷഗുണം പേറുന്ന ബിന്ദുവിന്റെ പഥരേഖ എന്നു പറയുന്നത്.

ജ്യാമിതിയിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ജ്യാമിതിയിലുളള ഉദാഹരണങ്ങൾ താഴെ:

രണ്ടു ബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നും തുല്യഅകലത്തിലുളള ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണമാണ് ആ ബിന്ദുക്കളെ തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന രേഖാഖണ്ഡത്തിന്റെ ലംബസമഭാജി(perpendicular bisector).^[3]
കുറുകെയുളള രണ്ട് രേഖകളിൽ നിന്നും ഒരേ അകലത്തിലുളള ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണമാണ‌് കോണീയസമഭാജി (angle bisector)
എല്ലാ കോണികങ്ങളും(conic section) പഥരേഖകളാണ്.^[4]
- വൃത്തം(Circle): ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും തുല്യഅകലത്തിലുളള ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണം.
- പരവലയം(Parabola): ഒരു നിശ്ചിതബിന്ദുവിൽ(നാഭീബിന്ദു-focus) നിന്നും നിശ്ചിതരേഖയിൽ (നിയതരേഖ- directrix) നിന്നും തുല്യഅകലത്തിലുളള ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണം.
- അധിവലയം(Hyperbola): രണ്ടു നിർദ്ദിഷ്ടനാഭീബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നുളള അകലങ്ങൾ തമ്മിലുളള വ്യത്യാസത്തിന്റെ കേവലവില തുല്യമാകത്തക്കവിധമുളള ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണം.
- ദീർഘവൃത്തം(Ellipse): രണ്ട് നിർദ്ദിഷ്ട നാഭീബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നുളള അകലങ്ങളുടെ തുക അചരമാകത്തക്കവിധമുളള(constant) ബിന്ദുക്കുളുടെ ഗണം.

കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധമേഖലകളിൽ മറ്റു ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങളും കാണാം.

ജ്യാമിതീയരൂപം പഥരേഖയാണെന്നു തെളിയിക്കൽ

ഒരു ജ്യാമിതീയരൂപം പഥരേഖയാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നതിന് രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളുണ്ട്.^[5]

നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്ന എല്ലാ ബിന്ദുക്കളും തന്നിട്ടുളള രൂപത്തിലുണ്ടെന്നുളളതിന് തെളിവ്
തന്നിട്ടുളള രൂപത്തിലുളള എല്ലാ ബിന്ദുക്കളും നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്നുണ്ടെന്നതിന് തെളിവ്

ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം ഒന്ന്

(ദൂരം PA) = 3.(ദൂരം PB)

രണ്ടുബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നുളള അകലത്തിന്റെ അംശബന്ധം k = d₁/d₂ ആയ Pഎന്ന ബിന്ദുവിന്റെ പഥരേഖ കണ്ടെത്തുക.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ k = 3, A(−1, 0) and B(0, 2) എന്നിവയെ നിശ്ചിതബിന്ദുക്കളായി എടുക്കുന്നു.

P(x, y) പഥരേഖയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്.

\Leftrightarrow |PA|=3|PB|

\Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}

\Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}

\Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0

\Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.

ഈ സമവാക്യം കേന്ദ്രം (1/8, 9/4)ഉം ആരം ${\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}$ ഉം ആയ ഒരു വൃത്തത്തെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നു. k, A, B എന്നിവയുടെ വിലകളാൽ നിർവ്വചിക്കപ്പെട്ട അപ്പോളോണിയസ് വൃത്തമാണിത്(circle of Apollonius).

ഉദാഹരണം രണ്ട്

C എന്ന ബിന്ദുവിന്റെ പഥരേഖ

ത്രികോണം ABC യുടെ സ്ഥാവര (fixed)ബുജമാണ് [AB], അതിന്റെ നീളംc ആണ്. Aയിൽ നിന്നുംCയിൽ നിന്നും ഉളള മധ്യരേഖകൾ (medians) പരസ്പരലംബങ്ങൾ(orthogonal) ആകത്തക്കവിധമുളള C എന്ന ശീർഷത്തിന്റെ ബിന്ദുരേഖ നിർണയിക്കുക.

നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ A(−c/2, 0), B(c/2, 0). C(x, y) എന്നിരിക്കട്ടെ, [BC] യുടെ കേന്ദ്രം M((2x + c)/4, y/2) ആണ്. C യിൽ നിന്നുളള മധ്യരേഖയ്ക്ക് y/xചരിവ് ഉണ്ട്. മധ്യരേഖ AM ന് 2y/(2x + 3c)ചരിവ് ഉണ്ട്.

പഥരേഖ ഒരു വൃത്തമാണ്

C(x, y) പഥരേഖയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്.

\Leftrightarrow

A യിൽ നിന്നുംC യിൽ നിന്നും ഉളള മധ്യരേഖകൾ പരസ്പരലംബങ്ങളാണ്.

\Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1

\Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0

\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0

\Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.

അതായത് കേന്ദ്രം (−3c/4, 0) ഉം ആരം 3c/4 ഉം ആയ ഒരു വൃത്തമാണ് C യുടെ പഥരേഖ .

ഉദാഹരണം മൂന്ന്

k, l എന്നീ ബിന്ദുക്കളുടെ സംഗമബിന്ദു വൃത്തത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു പൊതു പരാമിതിയെ (parameter)ആശ്രയിക്കുന്ന രണ്ടു രേഖകൾ ഉപയോഗിച്ചും പഥരേഖയെ നിർവ്വചിക്കാം. പരാമിതി വ്യതിചലിക്കുന്നതനുസരിച്ച് രേഖകളുടെ സംഗമബിന്ദുവിന്റെ ചലനം പഥരേഖ നിർണയിക്കും.

ചിത്രത്തിൽ, ബിന്ദുക്കൾ K യും L ഉം m എന്ന രേഖയിലെ സ്ഥാവരബിന്ദുക്കളാണ്. Kയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ജംഗമരേഖയാണ് (moving line) k. k ക്കും m നും ഇടയിലുളള കോൺ ആയ math>\alpha</math> ആണ് പ്രാചരം. k ഉം l ഉം പൊതുപ്രാചരത്തെ ആശ്രയിക്കുന്ന സഹവർത്തിരേഖകളാണ്. ചരിക്കുന്ന സംഗമബിന്ദുവായ S ഒരു വൃത്തത്തെ നിർമ്മിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം നാല്

ബിന്ദുക്കളുടെ പഥരേഖ എല്ലായ്പ്പോഴും വൃത്തം, രേഖ എന്നിവപോലെ ഏകമാനം (one-dimensional) ആകണമെന്നില്ല. ഉദാഹരണമായി, ^[1] $2 x + 3 y - 6 < 0$ എന്ന അസമതയുടെ (inequality) പഥരേഖ $2 x + 3 y - 6 = 0$ എന്ന രേഖയുടെ കീഴിലുളള ഒരു പ്രതലത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗമാണ്.

ഇവയും കാണുക

അവലംബം

↑ ^1.0 ^1.1 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary, Springer, p. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.
↑ Whitehead, Alfred North (1911), An Introduction to Mathematics, H. Holt, p. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.
↑ George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.
↑ Hamilton, Henry Parr (1834), An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students, Springer.
↑ G. P. West, The new geometry: form 1.

[James-1] 1.0 ^1.1 James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary, Springer, p. 255, ISBN 978-0-412-99041-0.

[2] Whitehead, Alfred North (1911), An Introduction to Mathematics, H. Holt, p. 121, ISBN 978-1-103-19784-2.

[3] George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.

[4] Hamilton, Henry Parr (1834), An Analytical System of Conic Sections: Designed for the Use of Students, Springer.

[5] G. P. West, The new geometry: form 1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]