ക്രമനിയമം

ഗണിതത്തിലെ ചില ദ്വയാങ്കസംക്രിയകൾ ( binary operations)അനുസരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥയാണ് ക്രമനിയമം. * എന്ന ദ്വയാങ്കസംക്രിയ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളാണ് x, y എന്ന് വരുമ്പോഴൊക്കെ :$x*y=y*x$ എന്ന സമവാക്യം പാലിക്കപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ സംക്രിയ ആ ഗണത്തിൽ ക്രമനിയമം പാലിക്കുന്നുവെന്ന് പറയുന്നു. ഉദാഹരണമായി, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ സങ്കലനത്തിനു കീഴിൽ ക്രമനിയമമനുസരിക്കുന്നു, എന്നാൽ വ്യവകലനത്തിനു കീഴിൽ ക്രമനിയമം അനുസരിക്കുന്നില്ല (3 - 2 = 1, എന്നാൽ 2 - 3 = -1).

ക്രമനിയമം

പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ആണ് ഈ നിയമം ഔപചാരികമായി എഴുതപ്പെട്ടത്. അതുവരെ ഇത് എല്ലാവരും അനൗപചാരികമായി ഉപയോഗിയ്ക്കുകയായിരുന്നു.

ക്രമനിയമവുമായി അടുത്തു ബന്ധമുള്ള ഒന്നാണ് ദ്വയാങ്കബന്ധങ്ങളുടെ സമമിതി ( symmetry).

ക്രമവിനിമേയം അല്ലാത്ത രേഖീയസംകാരകങ്ങളുടെ സംയോജനം ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രത്തിൽ ഒരു സുപ്രധാന സ്ഥാനം വഹിയ്ക്കുന്നു.

നിർവ്വചനങ്ങൾ

ക്രമനിയമം പല അർത്ഥത്തിലും ഗണിതത്തിൽ ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നു.

1. S എന്ന ഗണത്തിനു മേൽ ഉള്ള $*$ എന്ന ഒരു ദ്വയാങ്കസംക്രിയ താഴെ പറയുന്ന നിയമം അനുസരിയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ അത് ക്രമവിനിമേയം ( commutative) ആണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു:

   $x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S$

   മുകളിൽ പറഞ്ഞിരിയ്ക്കുന്ന നിയമം അനുസരിയ്ക്കാത്ത സംക്രിയകളെ നോൺ-കമ്മ്യൂറ്റേറ്റീവ് എന്ന് വിളിയ്ക്കുന്നു.
2. താഴെ പറയുന്ന നിയമം അനുസരിയ്ക്കുമെങ്കിൽ "x" നു "y" യുമായി $*$ എന്ന സംക്രിയയ്ക്ക് ക്രമവിനിമയത്വം ( commutativity) ഉണ്ടെന്നു പറയുന്നു:

   $x*y=y*x$

3. $f\colon A\times A\to B$ എന്ന ഒരു ദ്വയാങ്കഫലനം താഴെപ്പറയുന്ന നിയമം അനുസരിയ്ക്കുമെങ്കിൽ അത് ക്രമവിനിമേയം ആണെന്ന് പറയുന്നു:

   $f(x,y)=f(y,x)\qquad {\mbox{for all }}x,y\in A$

ക്രമനിയമത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

നിത്യജീവിതത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

• കാലിൽ ഷൂ ഇടുക എന്ന ക്രിയ ക്രമവിനിമേയം ആണ്. ഇടത്തെ കാലിൽ ഷൂ ആദ്യം ഇട്ടു പിന്നീട് വലത്തേ കാലിൽ ഇട്ടാലും അല്ലെങ്കിൽ വലത്തേ കാലിൽ ആദ്യം ഷൂ ഇട്ടു പിന്നീട് ഇടത്തെ കാലിൽ ഇട്ടാലും ഫലം ഒന്നുതന്നെ ആണല്ലോ.
• എന്നാൽ അണ്ടർവെയറും പാന്റ്സും ഇടുന്ന ക്രിയ ക്രമവിനിമേയം അല്ല എന്നുകാണാം.
• വാചകങ്ങൾ (strings) കൂട്ടിച്ചേർക്കുക എന്ന ക്രിയ ക്രമവിനിമേയം അല്ല എന്നു കാണാം. "രാമൻ" + "രാവണനെ" + "കൊന്നു" എന്ന വാചകവും "കൊന്നു" + "രാവണനെ" + "രാമൻ" എന്ന വാചകവും വ്യത്യസ്തമാണല്ലോ.
• വസ്ത്രങ്ങൾ കഴുകുക, ഉണക്കുക എന്നീ ക്രിയകളും ക്രമവിനിമേയം അല്ല. ഈ ക്രിയകളുടെ ക്രമം മാറ്റിയാൽ കിട്ടുന്നത് വേറെ ഒരു ഫലം ആണല്ലോ.
• റൂബിക്സ് ക്യൂബിന്റെ തിരിയ്ക്കലുകളും ക്രമവിനിമേയം അല്ല. ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ ( group theory) കാണാം.

ഗണിതത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

സദിശങ്ങളുടെ സങ്കലനം ക്രമവിനിമേയം ആണ്

• രേഖീയസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിനു മേലുള്ള സങ്കലനം ക്രമവിനിമേയം ആണ്.

$y+z=z+y\qquad {\mbox{for all }}y,z\in \mathbb {R}$

• അതുപോലെ തന്നെ രേഖീയസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിനു മേലുള്ള ഗുണനവും ക്രമവിനിമേയം ആണ്.

$yz=zy\qquad {\mbox{for all }}y,z\in \mathbb {R}$

• മിശ്രസംഖ്യസംഖ്യകളുടെ / സങ്കീർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സങ്കലനവും ഗുണനവും അതുപോലെ തന്നെ ക്രമവിനിമേയം ആണ്.

• എന്നാൽ രേഖീയസംഖ്യകളുടെ വ്യവകലനവും ഹരണവും ക്രമവിനിമേയം അല്ല.

• സദിശങ്ങളുടെ സങ്കലനവും അദിശഗുണനവും ( scalar product) ക്രമവിനിമേയം ആണ്. എന്നാൽ സദിശങ്ങളുടെ സദിശഗുണനം ( vector product) ക്രമവിനിമേയം അല്ല.

• ചതുരമൂശകളുടെ ( Matrices) സങ്കലനം ക്രമവിനിമേയം ആണെങ്കിൽ ഗുണനം പൊതുവേ ക്രമവിനിമേയം അല്ല.

ഉദാഹരണം :

${\begin{bmatrix}0&8\\0&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&2\\0&3\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&2\\0&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-2\\0&-3\end{bmatrix}}$

എന്നാൽ രണ്ടു ചതുരമൂശകൾ വികർണീകൃതവും ( diagonolized) തുല്യ മാനങ്ങൾ ( dimensions) ഉള്ളതും ആണെങ്കിൽ അവയുടെ ഗുണനം ക്രമവിനിമേയം ആയിരിയ്ക്കും.

ഉദാഹരണം :

${\begin{bmatrix}12&0\\0&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4&0\\0&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&0\\0&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}12&0\\0&6\end{bmatrix}}$

ചരിത്രം

ക്രമനിയമത്തിന്റെ രേഖപ്പെടുത്തിയ ആദ്യത്തെ ഉപയോഗം ഫ്രാൻകോയിസ് ജോസഫ് സെർവോയിസിന്റെ ഒരു ഓർമ്മക്കുറിപ്പിൽ ആണ്. ഇത് 1814 ഒക്ടോബർ 1നു പ്രസിദ്ധപ്പെടുത്തിയ അന്നൽസ് ഡെ ഗെർഗോൺ'ന്റെ ലക്കത്തിൽ ആണ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത് (pp 98 - 99). ഇംഗ്ലീഷിൽ ആദ്യമായി commutative law എന്ന പ്രയോഗം ഉപയോഗിയ്ക്കപ്പെട്ടത് 1841'ൽ ആണ്. ഡി.എഫ്.ഗ്രിഗറിയുടെ "Examples of the processes of the differential and integral calculus" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ ആണ് ഇത് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത്.

ബന്ധപ്പെട്ട പദങ്ങൾ

• ക്രമവിനിമയകം ( commutator) എന്നാൽ ഒരു ദ്വയാങ്കസംക്രിയ എത്രമാത്രം ക്രമവിനിമേയം ആകാതിരിയ്ക്കുന്നു എന്നതിന്റെ അളവാണ്. .

ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ രണ്ട് അംഗങ്ങൾ തമ്മിൽ ഒരു സംക്രിയയ്ക്ക് ക്രമവിനിമേയം അല്ലെങ്കിൽ അവ തമ്മിൽ ഉള്ള ഒരു ഗണിത ക്രിയയിലൂടെ ഒരു ക്രമവിനിമയകം കണക്കാക്കി എടുക്കാൻ സാധിയ്ക്കുന്നതാണ്. എന്നാൽ അവ ക്രമവിനിമേയം ആണെങ്കിൽ ഈ കണക്കുകൂട്ടി കിട്ടുന്ന ക്രമവിനിമയകം ആ ഗ്രൂപ്പിന്റെ അനന്യദത്തിനു ( identity element) തുല്യമായിരിയ്ക്കും.

• ഒരു സംക്രിയ പ്രതിക്രമവിനിമേയം ആകുന്നു എന്നുപറഞ്ഞാൽ സങ്കാര്യങ്ങളുടെ ക്രമം മാറുമ്പോൾ സംക്രിയയുടെ ഫലം വിപരീതം ആകുന്ന വ്യവസ്ഥ ആണ്.
• സമമിതി എന്ന ആശയവും ക്രമനിയമവുമായി അടുത്ത് ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്. R എന്ന ഒരു ബന്ധം താഴെപറയുന്ന വ്യവസ്ഥ പാലിയ്ക്കുന്നുവെങ്കിൽ അത് സമമിതമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. . ഇവിടെ ഈ സമവാക്യവും ക്രമനിയമത്തിന്റെ സമവാക്യവും തമ്മിലുള്ള സാമ്യം ശ്രദ്ധിയ്ക്കുക.

$aRb\Leftrightarrow bRa$

ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം

അനിശ്ചിതത്ത്വ തത്ത്വം

എർവിൻ ഷ്രോഡിങ്ങർ വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രത്തിൽ സ്ഥാനം, ആക്കം തുടങ്ങിയ ഭൗതികചരങ്ങളെ ( Observable) രേഖീയസംകാരകങ്ങളായിട്ടാണ് ( Linear operators) കണക്കാക്കുന്നത്. രേഖീയസംകാരകങ്ങളുടെ സംയോജനം ( Function composition) ക്രമവിനിമേയം അല്ല. (രേഖീയസംകാരകങ്ങളെ പൊതുവെ ചതുരമൂശകൾ ആയാണ് പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നത്. രേഖീയസംകാരകങ്ങളുടെ സംയോജനം അതിനാൽ ചതുരമൂശകളുടെ ഗുണനം ആയി മാറുന്നു. ചതുരമൂശകളുടെ ഗുണനം ക്രമവിനിമേയം അല്ല എന്ന് മുകളിൽ കണ്ടല്ലോ.). ഇവ ക്രമവിനിമേയം അല്ലാത്തതുകൊണ്ട് അവയ്ക്കു ഒരു നിശ്ചിത ക്രമവിനിമയകം ഉണ്ടാകും എന്ന് മുകളിൽ കണ്ടല്ലോ. ഈ ക്രമവിനിമയകവും അനിശ്ചിതത്ത്വ തത്ത്വവും തമ്മിൽ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു ബന്ധം ഉണ്ട്. ഇത്തരം രണ്ടു രേഖീയസംകാരകങ്ങളെ (അഥവാ ഭൗതികചരങ്ങളെ) ഒരുമിച്ചു അളക്കാൻ ശ്രമിച്ചാൽ അതിന്റെ കൃത്യത എപ്പോഴും ഈ ക്രമവിനിമയകത്തേക്കാൾ കുറവായിരിയ്ക്കും.

ഇവ കൂടി കാണുക

• ക്രമവിനിമയകം
• പ്രതിക്രമവിനിമേയം
• വിതരണനിയമം
• സാഹചര്യനിയമം
• അനന്യദം
• സമമിതി