ദ്വയാങ്കസംക്രിയ

രണ്ട് സങ്കാര്യങ്ങളുടെ (operands) മേൽ നടത്തുന്ന സംക്രിയയാണ് ദ്വയാങ്കസംക്രിയ. സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരണം എന്നിവയെല്ലാം ദ്വയാങ്കസംക്രിയകൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.

A binary operation $\circ$ is a calculation that combines the arguments $x$ and $y$ to $x\circ y$

A, B, C എന്ന മൂന്ന് ഗണങ്ങളെടുക്കുക. A × B → C ആയുള്ള * എന്ന ബന്ധം ഒരു ദ്വയാങ്കബന്ധമാണ്. മൂന്ന് ഗണങ്ങളും ഒന്നുതന്നെയായി വരുന്ന ഫലനങ്ങളായുള്ള ദ്വയാങ്കബന്ധങ്ങളെയാണ് പൊതുവെ ദ്വയാങ്കസംക്രിയകളായി കരുതുന്നത്. അതായത്, f : A × A → A ആയുള്ള ഫലനങ്ങളാണ് ദ്വയാങ്കസംക്രിയകൾ

f എന്നത് ഫലനത്തിനു പകരം ഒരു ഭാഗികഫലനമാണെങ്കിൽ സംക്രിയയെ ഭാഗികസംക്രിയ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, പൂജ്യത്തെക്കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ സാധ്യമല്ലാത്തതിനാൽ $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ എന്ന ഗണത്തിൽ ഹരണം ഒരു ഭാഗികഫലനവും അതിനാൽ ഒരു ഭാഗികസംക്രിയയുമാണ്.

ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ

G എന്ന അശൂന്യഗണവും G × G → G ആയുള്ള * എന്ന ദ്വയാങ്കസംക്രിയയും ചേർന്ന (G,*) എന്ന ക്രമജോഡിയാണ് ഗ്രൂപ്പ്. ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ ദ്വയാങ്കസംക്രിയ താഴെ പറയുന്ന നിയമങ്ങളും കൂടി അനുസരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• സാഹചര്യനിയമം : G യിലുള്ള എല്ലാ a,b,c യ്ക്കും (a*b)*c=a*(b*c) ആയിരിക്കണം
• തൽസമകത്തിന്റെ നിലനിൽപ് : G യിലുള്ള എല്ലാ a യ്ക്കും a*e=a=e*a ആകുന്ന തരത്തിലുള്ള e എന്ന അംഗം നിർബന്ധമായും G യിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം
• വിപരീതത്തിന്റെ നിലനില്പ് : G ലുള്ള ഓരോ aയ്ക്കും, a*a^-1=a^-1*a=e ആകുന്ന തരത്തിലുള്ള a^-1 എന്ന അംഗം നിർബന്ധമായും G യിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം

അവലംബം

• http://mathworld.wolfram.com/BinaryOperation.html