ഘടകഗ്രൂപ്പ്
G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് N എന്ന് കരുതുക. N ന്റെ സഹഗണങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പിനെ ഒരു ഘടകഗ്രൂപ്പ് അഥവാ ഭാഗഫലഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. G/N എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ടാണ് ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുക.
N ന്റെ സഹഗണങ്ങളാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾ - ഇടതു സഹഗണങ്ങളെ കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇവയെ aN, bN എന്നിങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കാം. (aN)(bN)=(ab)N എന്നതാണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ ദ്വയാങ്കസംക്രിയ. സഹഗണങ്ങളുടെ ഗണവും ഈ ദ്വയാങ്കസംക്രിയയും ചേർന്ന ബീജീയഘടന ഒരു ഗ്രൂപ്പാവുന്നത് N ഒരു അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാവുമ്പോൾ മാത്രമാണ്. ഇതുപോലെ വലതു സഹഗണങ്ങളെക്കൊണ്ടും ഘടകഗ്രൂപ്പിനെ നിർവചിക്കാം
ഉദാഹരണം
തിരുത്തുകസങ്കലനം സംക്രിയയായുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗൃപ്പിന്റെ (Z) കാര്യമെടുക്കുക. m>1 ഒരു എണ്ണൽസംഖ്യയാണെങ്കിൽ m ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ഗണമായ mZ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്. Z ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പായതിനാൽ ഉപഗ്രൂപ്പ് അഭിലംബമാണ്. ഉപഗ്രൂപ്പിന് m സഹഗണങ്ങളുണ്ട് : mZ, mZ+1, … mZ+(m−1). ഇവിടെ mZ+a എന്നാൽ {…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …} എന്ന ഗണമാണ് - അതായത്, m കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ a ശിഷ്ടം വരുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗണം. ഘടകഗ്രൂപ്പിന്റെ നിർവചനമനുസരിച്ച് നോക്കിയാൽ ഈ സഹഗണങ്ങൾ ഗ്രൂപ്പ് സ്വയംപ്രമാണസിദ്ധാന്തങ്ങളനുസരിക്കുന്നുവെന്ന് കാണാം. Z/mZ എന്ന ഘടകഗ്രൂപ്പ് ചാക്രികവും Zm ന് സമരൂപവുമാണ്.
സവിശേഷതകൾ
തിരുത്തുക- ഘടകഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ സഹഗണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. മാതൃഗ്രൂപ്പ് പരിബദ്ധമാണെങ്കിൽ ഇത് മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയെ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയാണ്
- φ: G → H ഒരു സമാംഗരൂപതയാണെങ്കിൽ φ യിൽ G യുടെ പ്രതിബിംബം G / ker(φ) എന്ന ഘടകഗ്രൂപ്പിന് സമരൂപമാണ്. ഇവിടെ ker(φ) എന്നത് സമാംഗരൂപതയുടെ സാരമാണ്. ഈ നിയമത്തെ ഒന്നാം സമരൂപത നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
- ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ക്രമഗ്രൂപ്പ്/ചാക്രികഗ്രൂപ്പ്/solvable/nilpotent/finitely generated ആണെങ്കിൽ ഘടകഗ്രൂപ്പും അപ്രകാരമായിരിക്കും