അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പ്

G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് H എന്ന് കരുതുക. G യിലെ ഓരോ അംഗത്തിനും H -ലുള്ള ഇടതുസഹഗണവും വലതുസഹഗണവും തുല്യമാണെങ്കിൽ ആ ഉപഗ്രൂപ്പിനെ ഒരു അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പ് (normal subgroup) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത്, G യിലെ ഒരു അംഗമാണ് g എന്നുണ്ടെങ്കിൽ gH=Hg എന്ന് വരണം. ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഘടകഗ്രൂപ്പുകളെ സൃഷ്ടിക്കാൻ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകളെ ഉപയോഗിക്കാം.

സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S₄ ന്റെ കെയ്ലി ഗ്രാഫ്. ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പ് ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്.

ഗാൽവ ആണ് അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ പ്രാധാന്യം ആദ്യമായി മനസ്സിലാക്കിയത്

നിർവചനം

G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് N എന്നുണ്ടെങ്കിൽ, G യിലെ ഓരോ അംഗം g ക്കും N ലെ ഓരോ അംഗം n നും gng^-1 എന്നത് N ലെ അംഗമായിരിക്കണം. അതായത്,

$N\triangleleft G\,\,\Leftrightarrow \,\forall \,n\in {N},\forall \,g\in {G}\ ,gng^{-1}\in {N}.$

അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ സവിശേഷതകളുപയോഗിച്ച് മറ്റ് നിർവചനങ്ങളും ആകാം

സവിശേഷതകൾ

• പരിക്ഷേപ സമാംഗരൂപതകൾ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകളെ സംരക്ഷിക്കുന്നു
• നേർ-ഉല്പന്നങ്ങൾ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകളെ സംരക്ഷിക്കുന്നു
• ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പ് മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പായിക്കൊള്ളണമെന്നില്ല
• സൂചകാങ്കം 2 ആയുള്ള ഉപഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകളാണ്.
• ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ കേന്ദ്രം ഒരു അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്
• ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ക്രമവിനിമയകം ഒരു അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്
• ക്രമഗ്രൂപ്പുകളുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകളാണ്. ഉപഗ്രൂപ്പുകളെല്ലാം അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പുകളായുള്ള ക്രമനിയമമനുസരിക്കാത്ത ഗ്രൂപ്പുകളെ ഹാമിൽട്ടോണിയൻ ഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

അവലംബം

• http://mathworld.wolfram.com/NormalSubgroup.html