സഹഗണം

D₄ ന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക

•	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
id	id	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
r1	r1	r2	r3	id	fc	fd	fv	fh
r2	r2	r3	id	r1	fh	fv	fc	fd
r3	r3	id	r1	r2	fd	fc	fh	fv
fv	fv	fd	fh	fc	id	r2	r1	r3
fh	fh	fc	fv	fd	r2	id	r3	r1
fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	id	r2
fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	id
ചുവപ്പുനിറത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള id, r1, r2, and r3 ഇവ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഇടതും വലതും സഹഗണങ്ങൾ യഥാക്രമം പച്ചനിറത്തിലും മഞ്ഞനിറത്തിലുമായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ് H എന്ന് കരുതുക. G യിലെ ഒരു അംഗമാണ് g എന്നുണ്ടെങ്കിൽ:

gH = {gh : h ∈ H } എന്ന ഗണത്തെ G യിൽ H ന്റെ ഇടതു സഹഗണം എന്നും

Hg = {hg : h ∈ H } എന്ന ഗണത്തെ G യിൽ H ന്റെ വലതു സഹഗണം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതോ വലതോ സഹഗണമായി വരുന്ന ഗണങ്ങളെ പൊതുവായി സഹഗണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതുസഹഗണം മറ്റൊരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ വലതുസഹഗണമായി വരാം.

H ഒരു അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പാകുമ്പോഴാണ് ഇടതും വലതും സഹഗണങ്ങൾ തുല്യമാകുന്നത്. ഈ അവസരത്തിൽ H ന്റെ സഹഗണങ്ങളെല്ലാം കൂടി ഒരു ഘടകഗ്രൂപ്പ് നിർമ്മിക്കുന്നു.

ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതുസഹഗണങ്ങളുടെയും വലതുസഹഗണങ്ങളുടെയും എണ്ണം തുല്യമായിരിക്കും. ഈ സംഖ്യയെ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ സൂചകാങ്കം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം

G എന്നത് സങ്കലനം സംക്രിയയായുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പാണെന്ന് (Z= {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}) കരുതുക. m>1 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ m ന്റെ ഗുണിതങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പായ mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …} ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്. ഈ ഉപഗ്രൂപ്പിനെ H എന്ന് വിളിക്കുക. H ന് m സഹഗണങ്ങളുണ്ട് : mZ, mZ+1, … mZ+(m−1). ഇവിടെ mZ+a എന്നാൽ {…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …} എന്ന ഗണമാണ്. G ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പായതിനാൽ ഇടതുസഹഗണങ്ങളും വലതുസഹഗണങ്ങളും തുല്യമാണ്.

ലഗ്രാഞ്ച് പ്രമേയം

ഒരു പ്രത്യേക ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ രണ്ട് സഹഗണങ്ങൾ തുല്യമല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ സംഗമം ശൂന്യമായിരിക്കും. മാത്രമല്ല, ഗ്രൂപ്പിലെ ഓരോ അംഗവും ഒരു പ്രത്യേക ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഒരു സഹഗണത്തിലെങ്കിലും അംഗമാണെന്ന് കാണാം. ഈ രണ്ട് സവിശേഷതകളെയും ചേർത്തുവായിച്ചാൽ, ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടതുസഹഗണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ (ഇതാണ് ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ സൂചകാങ്കം) ഉപഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം ലഭിക്കുമെന്ന് വരുന്നു. അതായത്,

$\left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|$

ഓരോ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെയും കോടി മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയുടെ ഘടകമാണെന്ന് ഇതിൽനിന്നും മനസ്സിലാക്കാം. ഈ പ്രസ്താവനയാണ് ലഗ്രാഞ്ച് പ്രമേയം.

അവലംബം

• http://mathworld.wolfram.com/Coset.html