സഹസ്രാബ്ദ പുരസ്കാര സമസ്യകൾ
2000 ത്തിൽ ക്ലേ മാത്തമറ്റിൿസ് ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് പ്രസ്താവിച്ച ഏഴ് സുപ്രധാന ഗണിതശാസ്ത്രസമസ്യകളെയാണ് സഹസ്രാബ്ദ പുരസ്കാര സമസ്യകൾ (Millennium Prize Problems) എന്ന് വിളിയ്ക്കുന്നത്. ബിർച് ആൻഡ് സ്വിന്നെർടൺ-ഡയർ കൺജെക്ചർ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture), ഹോഡ്ജ് കൺജെക്ചർ (Hodge conjecture), നേവിയർ-സ്റ്റോക്സ് എക്സിസ്റ്റൻസ് ആൻഡ് സ്മൂത്ത്നെസ് (Navier–Stokes existence and smoothness), പി വേഴ്സസ് എൻ പി പ്രോബ്ലം (P versus NP problem), പോയിൻകാരെ കൺജെക്ചർ (Poincaré conjecture), റീമാൻ പരികല്പന (Riemann hypothesis), യാങ്-മിൽസ് എക്സിസ്റ്റൻസ് ആൻഡ് മാസ്സ് ഗാപ് (Yang–Mills existence and mass gap) എന്നിവയാണ് ഈ ഏഴു പ്രശ്നങ്ങൾ. ഇതിൽ ഏതു പ്രശ്നത്തിനും ശരിയായ ഒരു ഉത്തരം പ്രസിദ്ധീകരിയ്ക്കുന്നവർക്ക് ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഒരു ദശലക്ഷം അമേരിക്കൻ ഡോളർ സമ്മാനം പ്രഖ്യാപിച്ചിട്ടുണ്ട്.[1] 2003 ൽ റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഗ്രിഗോറി പെരിൽമാൻ പോയിൻകാരെ കൺജെക്ചറിനുള്ള ശരിയായ ഉത്തരം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ബാക്കി ആറു പ്രശ്നങ്ങളും ഇപ്പോഴും ഉത്തരം കിട്ടാത്തതായി തുടരുന്നു.
പരിഹരിയ്ക്കപ്പെട്ട പ്രശ്നം
തിരുത്തുകപോയിൻകാരെ കൺജെക്ചർ
തിരുത്തുക
ടോപ്പോളജിയിൽ രണ്ടു മാനങ്ങളുള്ള ഉപരിതലങ്ങളിൽ ഒരു ഗോളത്തിന്റെ (കൂടുതൽ കൃത്യമായി എഴുതിയാൽ 2-സ്ഫിയർ, ഒരു ഗോളത്തിന്റെ ഉപരിതലത്തിന് രണ്ടു മാനങ്ങൾ മാത്രമാണ് ഉള്ളത്, ഗോളം എന്നത് ത്രിമാന വസ്തു ആണെങ്കിലും അതിന്റെ ഉപരിതലം ദ്വിമാനമാണ്) ഉപരിതലം മാത്രമാണ് അടഞ്ഞതും (closed) എന്നാൽ ലഘുവായി സംബന്ധിതമായിട്ടുള്ളതും (simply connected). റ്റോപ്പോളോജിയിലെ ഗോളം എന്നത് ജ്യാമിതീയമായ ഗോളം തന്നെ ആകണമെന്നില്ല, മുറിയ്ക്കാതെ രൂപാന്തരം നടത്തി മാറ്റിയെടുക്കാവുന്ന ഏതൊരു ആകൃതിയും ഇതിൽ 'ഗോളം' ആണ്. [a] എന്നാൽ 3 മാനങ്ങളിലും ഗോളം (3-സ്ഫിയർ, അഥവാ ഹൈപ്പർസ്ഫിയർ) തന്നെയാണോ ഈ പ്രത്യേകതകളുള്ള ഒരേ ഒരു പ്രതലം എന്നതാണ് പോയിൻകാരെ കൺജെക്ചർ. ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹെൻറി പോയിൻകാരെ ആണ് ഈ കൺജെക്ചർ ആദ്യം പ്രസ്താവിച്ചത്. ഇതിന്റെ കൃത്യരൂപം താഴെ കൊടുക്കുന്നു:
Every simply connected, closed 3-manifold is homeomorphic to the 3-sphere.
അനൗപചാരികമായി ഈ പ്രശ്‌നത്തെ ഏതാണ്ട് ഇതുപോലെ വിവരിയ്ക്കാം. ഒരു ഗോളത്തിനുമേൽ എങ്ങനെ കുരുക്കിട്ട് ആ കുരുക്ക് മുറുക്കാൻ ശ്രമിച്ചാലും അത് ഗോളത്തിനു പുറത്തുകൂടി ഊർന്ന് ഗോളവും കുരുക്കും വേർപെടും. എന്നാൽ ഒരു ഉഴുന്നുവടയിൽ ഇങ്ങനെ ഊർന്നു പോകാതെ ഒരു കുരുക്കിടാൻ പറ്റുമല്ലോ. ഉഴുന്നുവട രണ്ടായി മുറിച്ചാൽ മാത്രമേ ഈ കുരുക്ക് അഴിയ്ക്കാതെ പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയൂ. നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച പോലെ ടോപ്പോളജിയിൽ ഒരു പശുവും ഒരു ഗോളത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ പശുവിന്റെ കുരുക്ക് ഊർന്ന് എടുക്കാൻ കഴിയാത്തതാണെന്ന് ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ തോന്നുമെങ്കിലും പശുവിനെ മുറിയ്ക്കാതെ തന്നെ രൂപമാറ്റം നടത്തി കുരുക്ക് ഊർന്ന് എടുക്കാൻ സാധിയ്ക്കും. ഇതിനെ കുറച്ചുകൂടെ ശക്തമായ ഒരു പ്രസ്താവന ആക്കി ഇങ്ങനെ പറയാം. ഇപ്രകാരം അഴിയ്ക്കാതെയും മുറിയ്ക്കാതെയും കുരുക്കുകൾ മുറുക്കി ഊർന്ന് എടുക്കാവുന്ന എല്ലാ ദ്വിമാന പ്രതലങ്ങളും ഗോളങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്. എന്നാൽ ഇത്തരം എല്ലാ ത്രിമാന പ്രതലങ്ങളും 3-സ്ഫിയർ അഥവാ ഹൈപ്പർ സ്ഫിയറിനു തുല്യമാണോ?
2003 ൽ റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഗ്രിഗൊറി പെറെൽമാൻ ഈ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം അതേ എന്നാണെന്ന് തെളിയിച്ചു. റിച്ചാർഡ് ഹാമിൽട്ടൺ റിച്ചി ഫ്ലോ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് തുടങ്ങിവെച്ച തെളിവ് പെരിൽമാൻ മുഴുവനാക്കുകയായിരുന്നു. 2006 ഓടെ ഈ തെളിവിന്റെ റിവ്യൂ പൂർത്തിയാകുകയും പെരിൽമാൻ ഫീൽഡ്സ് മെഡലിന് നാമനിർദ്ദേശം ചെയ്യപ്പെടുകയും ചെയ്തു. എന്നാൽ അദ്ദേഹം ഈ അവാർഡ് നിരസിയ്ക്കുകയാണുണ്ടായത്.[3] 2010 ൽ ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് സഹസ്രാബ്ദ പുരസ്കാരം അദ്ദേഹത്തിന് സമർപ്പിയ്ക്കാൻ ശ്രമിച്ചെങ്കിലും അദ്ദേഹം ഇതും സ്വീകരിച്ചില്ല.[4] റിച്ചാർഡ് ഹാമിൽട്ടൺ ഇതിനു വേണ്ടി ചെയ്ത സംഭാവനയെക്കാൾ കൂടുതലായി താനൊന്നും ചെയ്തിട്ടില്ല എന്നായിരുന്നു അദ്ദേഹം ഇതിനു കാരണമായി പറഞ്ഞത്.[5]
പരിഹരിയ്ക്കപ്പെടാത്ത പ്രശ്നങ്ങൾ
തിരുത്തുകപി വേഴ്സസ് എൻ പി പ്രശ്നം (P versus NP)
തിരുത്തുകകമ്പ്യൂട്ടർ അൽഗോരിതങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമായും രണ്ടു തരത്തിലുള്ള സമയ സങ്കീർണ്ണതയാണുള്ളത്. ഒന്ന് താരതമ്യേന കാര്യക്ഷമത കൂടിയ ബഹുപദ സമയ സങ്കീർണതയാണ് (polynomial time complexity). (ഉദാ : തിരയൽ, ക്രമീകരണം തുടങ്ങിയവ). ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങളെ പി ടൈപ്പ് പ്രശ്നങ്ങൾ എന്ന് വിളിയ്ക്കുന്നു.
അടുത്തത് വളരെ കാര്യക്ഷമത കുറഞ്ഞ എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ സമയ സങ്കീർണ്ണതയുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ആണ്. ഉദാ : ട്രാവലിങ് സേൽസ്‌മാൻ അൽഗോരിതം, നാപ്സാക്ക് പ്രോബ്ലം. രണ്ടാമത്തെ പ്രശ്നം ഇങ്ങനെ വിവരിയ്ക്കാം, 1,2,3 ...20 കിലോ വരെ ഭാരമുള്ള ഒരു കൂട്ടം കല്ലുകൾ തന്നിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ അവയിൽ നിന്നും കൃത്യം 50 കിലോ തൂക്കം എങ്ങനെ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം? ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള സാമാന്യ അൽഗോരിതം ഓരോരോ കോമ്പിനേഷൻ ഉണ്ടാക്കി തന്നിരിയ്ക്കുന്ന ചോദ്യത്തെ അത് പരിഹരിക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന് നോക്കലാണ്.[b] കല്ലിന്റെ ഉദാഹരണത്തിൽ ആദ്യം ഒരു കൂട്ടം കല്ലുകൾ എടുക്കുക, തൂക്കി നോക്കുക, 50 കിലോ ആണെങ്കിൽ ഉത്തരം കിട്ടി, ഇല്ലെങ്കിൽ വേറെ ഒരു കൂട്ടം എടുക്കുക, അങ്ങനെ ഉത്തരം കിട്ടുന്നതുവരെ തുടരുക.
ഒരു കൂട്ടം കല്ലുകൾ കിട്ടിയാൽ അത് 50 കിലോ തൂക്കമുള്ളതാണോ അല്ലയോ എന്ന് നോക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും.(ബഹുപദ സമയ സങ്കീർണ്ണതയോടെ). വിവിധ കോമ്പിനേഷനുകൾ ഒന്നിന് പുറകെ ഒന്നായി ഉണ്ടാക്കി എടുക്കുന്നതാണ് ഇവിടുത്തെ ശ്രമകരമായ പ്രശ്നം. നമുക്ക് കണക്കാക്കേണ്ട കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം വളരെ പെട്ടെന്ന് വളരെ കൂടും. വിവിധ കോമ്പിനേഷനുകൾ ഒന്നിന് പുറകെ ഒന്നായി ഉണ്ടാക്കി എടുക്കുന്നതാണ് ഇവിടുത്തെ ശ്രമകരമായ പ്രശ്നം ഉദാ : 2 കല്ലുകളെ ഉള്ളുവെങ്കിൽ അതിനെ നാല് തരത്തിൽ ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യാമല്ലോ. ശരിയായ ഉത്തരം കിട്ടണമെങ്കിൽ നമ്മൾ ഏറ്റവും മോശം അവസ്ഥയിൽ നാലു കോമ്പിനേഷനുകളും തൂക്കി നോക്കണം. അതുപോലെ 3 കല്ലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ 8 തരത്തിലും 10 കല്ലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ 1024 തരത്തിലും ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യാം. എന്നാൽ 32 കല്ലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ ഇതിന്റെ എണ്ണം 4294967296 ആയി കൂടുന്നു. അതായത് ശരിയായ ഉത്തരം കിട്ടണമെങ്കിൽ നമ്മൾ ചിലപ്പോൾ ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അവസാനത്തെ കോമ്പിനേഷൻ തൂക്കി നോക്കുമ്പോൾ ആയിരിയ്ക്കും. 50 കല്ലുകൾ ആണെങ്കിൽ 1125899906842624 ആകും. ഒരു കൂട്ടം ഉണ്ടാക്കി തൂക്കി നോക്കാൻ 10 സെക്കന്റ് എടുക്കുന്നുവെങ്കിൽ ഒരാൾക്ക് ഇങ്ങനെ ചെയ്തു നോക്കാൻ 357020518 വർഷങ്ങൾ വേണ്ടി വരും. ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ എൻ.പി ടൈപ്പ് പ്രശ്നങ്ങൾ എന്ന പേരിലാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്.[6]
എൻ.പി പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ബഹുപദ സങ്കീർണതയോടെ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിയ്ക്കാനാകുമോ എന്ന ചോദ്യമാണ് പി വേഴ്സസ് എൻ പി പ്രശ്നം. അതായത് പി പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഗണവും എൻ.പി പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഗണവും ഒന്നാണോ എന്നുള്ള ചോദ്യം (P = NP ?). കമ്പ്യൂട്ടർ / ഗണിത ശാസ്ത്ര വിഭാഗങ്ങളിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട പരിഹരിയ്ക്കപ്പെടാത്ത പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്.
കൂടുതൽ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞരും P ≠ NP എന്നാണ് വിശ്വസിയ്ക്കുന്നത്. എന്നാൽ ഇത് ഇതുവരെ തെളിയിയ്ക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല.[7]
ഹോഡ്ജ് കൺജെക്ചർ (Hodge conjecture)
തിരുത്തുകപ്രോജെക്ടിവ് അൽജിബ്രൈക് വെറൈറ്റികളിൽ ഹോഡ്ജ് സൈക്കിളുകൾ അൽജിബ്രൈക് സൈക്കിളുകളുടെ റാഷണൽ ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻസ് ആണോ എന്നുള്ള ചോദ്യമാണിത്.[8]
റീമാൻ പരികല്പന (Riemann hypothesis)
തിരുത്തുകറീമാൻ സീറ്റ ഫലനത്തിന്റെ അനാലിറ്റിക്കൽ കോണ്ടിന്വഷൻന്റെ എല്ലാ ട്രിവിയൽ അല്ലാത്ത സീറോകൾക്കും വാസ്തവിക ഭാഗം ആയി എപ്പോഴും 1/2 ഉണ്ടാകും എന്നുള്ളതാണ് ഈ പരികല്പന. ഇതിനെ ശരിയാണെന്നോ തെറ്റാണെന്നോ തെളിയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിൽ ദൂരവ്യാപകമായ ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടാകും. ഉദാഹരണമായി അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ വിതരണം സംബന്ധിച്ചുള്ള നിർണായകനിഗമനങ്ങളിൽ ഏത്താൻ ഇത് നമ്മെ സഹായിയ്ക്കും. ഒരു നൂറ്റാണ്ടായി ഇത് പരിഹരിയ്ക്കപ്പെടാത്ത ഒരു പ്രശ്നമായി തുടരുന്നു.[9]
യാങ്-മിൽസ് എക്സിസ്റ്റൻസ് ആൻഡ് മാസ്സ് ഗാപ് (Yang–Mills existence and mass gap)
തിരുത്തുകഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ വൈദ്യുതകാന്തികതയുടെ മാക്സ് വെല്ലിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു സാമാന്യവൽക്കരണമാണ് ഉദാത്ത യാങ്-മിൽസ് സിദ്ധാന്തം. ഇതിലെ ഒരു സുപ്രധാന പ്രശ്നമാണ് ഒരു ക്വാണ്ടം യാങ്-മിൽസ് സിദ്ധാന്തം ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാമോ എന്നുള്ളതും ഇങ്ങനെ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാൻ സാധിയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ അത് മാസ് ഗാപ് എന്ന ഒരു പ്രതിഭാസം കൊണ്ടുവരും എന്നുള്ളതിന്റെ തെളിവും. ഈ പ്രശ്നം അര നൂറ്റാണ്ടായി പരിഹരിയ്ക്കാതെ കിടക്കുന്നു.[10]
നേവിയർ-സ്റ്റോക്സ് എക്സിസ്റ്റൻസ് ആൻഡ് സ്മൂത്ത്നെസ് (Navier–Stokes existence and smoothness)
തിരുത്തുകനേവിയർ-സ്റ്റോക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ ദ്രവങ്ങളിലെ ഒഴുക്കിനെ വിവരിയ്ക്കുന്ന സുപ്രധാന സമവാക്യങ്ങളാണ്. ഇവയ്ക്കു പ്രായോഗികമായി ഉത്തരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിലും സൈദ്ധാന്തികമായി ഇവയുടെ നിർധാരണം ഇപ്പോഴും നടന്നിട്ടില്ല. ഉദാഹരണത്തിന് മൂന്നു മാനങ്ങളിൽ ഇവയുടെ ഉത്തരങ്ങൾ ഉണ്ടോ, ഉണ്ടെങ്കിൽ അവ അനുസ്യൂതമാണോ (continuous) അവയെ അനന്തമായി അവകലനം (infinitely differentiable) ചെയ്യാൻ സാധിയ്ക്കുമോ തുടങ്ങിയ ചോദ്യങ്ങൾ ഇപ്പോഴും അവശേഷിയ്ക്കുന്നു. ഇതാണ് നേവിയർ-സ്റ്റോക്സ് എക്സിസ്റ്റൻസ് ആൻഡ് സ്മൂത്ത്നെസ് പ്രശ്നം എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.[11]
ബിർച് ആൻഡ് സ്വിന്നെർടൺ-ഡയർ കൺജെക്ചർ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture)
തിരുത്തുകഭിന്നകസംഖ്യകളിന്മേൽ (rational numbers) വിവരിച്ചിരിയ്ക്കുന്ന എലിപ്റ്റിക്കൽ വക്രരേഖകളെ നിർവചിയ്ക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ പറ്റിയുള്ള ഒരു കൺജെക്ചർ ആണിത്. ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിമിതമായോ അനന്തമായോ എണ്ണം ഉത്തരങ്ങൾ ഉണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് പറയാൻ കഴിയുമോ എന്നുള്ളതാണ് ഈ കൺജെക്ചർ.[12]
കുറിപ്പുകൾ
തിരുത്തുക- ↑ ടോപ്പോളജി വസ്തുക്കളുടെ ആകൃതിയ്ക്കു പ്രാമുഖ്യം നല്‌കുന്നില്ല, അവയിലെ ബന്ധങ്ങളും തുളകളും മാത്രമാണ് കണക്കാക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു പ്രസിദ്ധ ഗണിതതമാശയാണ് റ്റോപ്പോളോജിസ്റ്റുകൾക്ക് ഡോനട്ടും (അല്ലെങ്കിൽ ഉഴുന്നുവടയും) ചായ കപ്പും തമ്മിൽ തിരിച്ചറിയാൻ സാധിയ്ക്കില്ല എന്ന്[2] അതിനാൽ എലിപ്സോയ്‌ഡ്‌, ക്യൂബ്, സിലിണ്ടർ ഒക്കെ ടോപ്പോളജിയിൽ ഗോളത്തിന് തുല്യമാണ്. എന്നാൽ ടോറസ്, അഥവാ ഉഴുന്നുവടയുടെ ആകൃതി ഗോളത്തിന് തുല്യമല്ല, കാരണം ഉഴുന്നുവടയെ പൊട്ടിയ്ക്കാതെ എങ്ങനെ രൂപമാറ്റം നടത്തിയാലും ഗോളം ആക്കാൻ പറ്റില്ല (നടുവിലെ തുള മൂലം).
- ↑ കൂടുതൽ കൃത്യമായി എഴുതിയാൽ ഇവിടെ കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്ന കല്ലിന്റെ ഉദാഹരണം നാപ്സാക്ക് പ്രശ്നത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് ആണ്. ഇതിനെ പരിഹരിയ്ക്കാൻ ബഹുപദ സങ്കീർണതയുള്ള അൽഗോരിതം ഇല്ലെങ്കിലും സ്യുഡോ-ബഹുപദ സങ്കീർണതയുള്ള ഒരു ഡൈനാമിക് പ്രോഗ്രാമിങ് രീതി വഴി പരിഹരിയ്ക്കാൻ സാധിയ്ക്കുന്നതാണ്. എന്നാൽ ഇതിന്റെ സാമാന്യകേസ് തികച്ചും NP പ്രോബ്ലം ആണ്.
അവലംബം
തിരുത്തുക- ↑ "Millennium Problems". claymath.org. 2018-04-24. Retrieved 2018-05-01.
- ↑ West, Beverly H (1995-03-30). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach : Higher-Dimensional Systems. ISBN 9780387943770. Retrieved 2018-05-01.
- ↑ "Maths genius declines top prize". BBC News. 22 August 2006. Retrieved 16 June 2011.
- ↑ "Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman" (PDF) (Press release). Clay Mathematics Institute. March 18, 2010. Archived from the original (PDF) on March 31, 2010. Retrieved March 18, 2010.
The Clay Mathematics Institute (CMI) announces today that Dr. Grigoriy Perelman of St. Petersburg, Russia, is the recipient of the Millennium Prize for resolution of the Poincaré conjecture.
{{cite press release}}: Unknown parameter|deadurl=ignored (|url-status=suggested) (help) "ആർക്കൈവ് പകർപ്പ്" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2010-03-31. Retrieved 2018-05-01. - ↑ "Russian mathematician rejects million prize - Boston.com".
- ↑ Arronson, Scot. "NP: Nondeterministic Polynomial-Time". Archived from the original on 2017-07-21. Retrieved 2018-06-15.
- ↑ William Gasarch (June 2002). "The P=?NP poll" (PDF). SIGACT News. 33 (2): 34–47. doi:10.1145/1052796.1052804.
- ↑ "Hodge Conjecture". claymath.org. Retrieved 2018-06-15.
- ↑ "Riemann Hypothesis". claymath.org. Retrieved 2018-06-15.
- ↑ "Yang–Mills and Mass Gap". claymath.org. Archived from the original on 2018-05-30. Retrieved 2018-06-15.
- ↑ "Navier–Stokes Equation". claymath.org. Archived from the original on 2015-12-22. Retrieved 2018-06-15.
- ↑ "Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture". claymath.org. Retrieved 2018-06-15.
കൂടുതൽ വായനയ്ക്ക്
തിരുത്തുക- Devlin, Keith J. (2003) [2002]. The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time. New York: Basic Books. ISBN 0-465-01729-0.
- Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew, eds. (2006). The Millennium Prize Problems. Providence, RI: American Mathematical Society and Clay Mathematics Institute. ISBN 978-0-8218-3679-8.