|
[[പ്രമാണം:Unit_circle.svg|വലത്ത്‌|ലഘുചിത്രം|186x186ബിന്ദു|ഏകാരവൃത്തത്തിന്റെയൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിന്റെ ചിത്രീകരണം. t എന്നത് കോണളവാണ്‌]]
[[പ്രമാണം:2pi-unrolled.gif|ലഘുചിത്രം|260x260ബിന്ദു|ഒരു ഏകാരവൃത്തത്തിന്റയൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിന്റ വൃത്തപരിധിയെ 'തുറന്നെടുക്കുന്ന' അനിമേഷൻ. ഇതിന്റ വൃത്തപരിധി {{Math|2π}} ആയിരിയ്ക്കും.]]
[[ആരം]] ഒരു യൂണിറ്റ് ഉള്ള വൃത്തത്തെയാണ് ഗണിതത്തിൽ ഏകാരവൃത്തംയൂണിറ്റ് വൃത്തം എന്നു വിളിയ്ക്കുന്നത്. സാധാരണയായി [[യൂക്‌ളീഡിയൻ പ്രതലം|യൂക്‌ളീഡിയൻ പ്രതലത്തിലെ]] (Euclidean Space) [[നിർദേശാങ്കവ്യവസ്ഥ|കാർത്തീയ നിർദേശാങ്കവ്യവസ്ഥയിൽ]] (Cartesian Coordinate System) [[ആധാരബിന്ദു|ആധാരബിന്ദുവിനെ]] (0, 0) കേന്ദ്രമാക്കിയാണ് വരയ്ക്കുന്നത്. സാധാരണ ഇതിനെ {{Math|''S''<sup>1</sup>}} എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്താറുണ്ട്; ഉയർന്ന മാനത്തിലെ ഇതിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണം [[ഏകാരഗോളംയൂണിറ്റ് ഗോളം]] എന്നാണ്.
{{Math|(''x'', ''y'')}} എന്നത് ഈ വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണെങ്കിൽ, യഥാക്രമം {{math|{{abs|''x''}}}} , {{math|{{abs|''y''}}}} എന്നിവ 1 യൂണിറ്റ് [[കർണ്ണം (ഗണിതശാസ്ത്രം)|കർണമുള്ള]] ഒരു [[മട്ടത്രികോണം|മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ]] പാദവും ലംബവുമാണ്. വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നും ഈ ബിന്ദുവിലേയ്ക്ക് വരയ്ക്കുന്ന [[നേർ‌രേഖ|നേർ‌രേഖയാണ്]] കർണം. ഈ കർണവും വൃത്തത്തിന്റെ ആരവും തുല്യമായിരിയ്ക്കുമല്ലോ. അതിനാലാണ് കർണത്തിന് 1 യൂണിറ്റ് നീളം വന്നത്. ഇനി ഈ ത്രികോണത്തിൽ [[പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം]] പ്രയോഗിച്ചാൽ താഴെക്കാണുന്ന സൂത്രവാക്യം കിട്ടും:
: <math>x^2 + y^2 = 1.</math>
എല്ലാ x വിലകൾക്കും {{Math|''x''<sup>2</sup> {{=}} (−''x'')<sup>2</sup>}} ആയതുകൊണ്ടും, ആദ്യ [[പാദാംശം|പാദംശത്തിലെ]] (quadrant) ഓരോ ബിന്ദുവിന്റേയും പ്രതിഫലനം ഏകാരവൃത്തത്തിൽയൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിൽ തന്നെ വരുന്നതുകൊണ്ടും ഏകാരവൃത്തത്തിലെയൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിലെ എല്ലാ പാദംശത്തിലെ ബിന്ദുക്കൾക്കും ഈ സൂത്രവാക്യം സാധുവായിരിയ്ക്കും.
കാർത്തീയ നിർദേശാങ്കവ്യവസ്ഥയ്ക്കു പുറമെ മറ്റുള്ള നിർദേശാങ്കവ്യവസ്ഥകളിലും ഏകാരവൃത്തംയൂണിറ്റ് വൃത്തം വരയ്ക്കാവുന്നതാണ്. എന്നാൽ ഇത്തരം വ്യവസ്ഥകളിൽ ദൂരത്തിന്റെ നിർവചനം വ്യത്യസ്തമായതുകൊണ്ടു അതിൽ വരച്ചാൽ പുറത്തുകാണുന്ന ആകൃതി വൃത്താകാരം ആകണമെന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന് [[ടാക്സികാബ് ജ്യാമിതി|ടാക്സികാബ് നിർദേശാങ്കവ്യവസ്ഥയിൽ]] ഇതൊരു [[സമചതുരം]] ആയിരിയ്ക്കും.<ref>{{cite web |url=http://physics.oregonstate.edu/~tevian/taxicab/html/ |title=Taxicab Angles and Trigonometry|publisher= Department of Physics, Oregon State University |accessdate=27 ഏപ്രിൽ 2018}}</ref>
== സങ്കീർണപ്രതലത്തിലെ ഏകാരവൃത്തംയൂണിറ്റ് വൃത്തം ==
ആധാരബിന്ദുവിൽ നിന്നും ഒരു യൂണിറ്റ് അകലെയുള്ള സങ്കീർണസംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ് സങ്കീർണപ്രതലത്തിലെ ഏകാരവൃത്തംയൂണിറ്റ് വൃത്തം. അതായത് താഴെക്കാണുന്ന സൂത്രവാക്യം അനുസരിയ്ക്കുന്ന എല്ലാ സങ്കീർണസംഖ്യകളുടെയും ഗണം.
: <math> z = \,\mathrm{e}^{i t}\, = \cos(t) + i \sin(t) = \operatorname{cis}(t)</math>
ഇതാണ് പ്രശസ്തമായ [[ഓയ്ലറുടെ സൂത്രവാക്യം]].
[[പ്രമാണം:Unitycircle-complex.gif|ലഘുചിത്രം|ഏകാരവൃത്തവുംയൂണിറ്റ് വൃത്തവും കോണളവുകളും]]
== ഏകാരവൃത്തവുംയൂണിറ്റ് വൃത്തവും ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങളും ==
[[പ്രമാണം:Periodic_sine.PNG|ലഘുചിത്രം|ഏകാരവൃത്തത്തിലെയൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിലെ സൈൻ ഫലനവും അതിന്റെ ആരേഖവും]]
[[ത്രികോണമിതി|ത്രികോണമിതിയിലെ]] എന്ന കോണിന്റെ കോസൈൻ, [[സൈൻ]] ഫലനങ്ങൾ താഴെക്കാണുന്ന രീതിയിൽ ഒരു ഏകാരവൃത്തത്തിൽയൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിൽ നിർണയിക്കാം: {{Math|(''x'', ''y'')}} എന്നത് ഏകാരവൃത്തത്തിലെയൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണെന്നും ആധാരബിന്ദുവിൽ നിന്നും ഈ ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ഒരു [[നേർ‌രേഖ]] ധനാത്മക X നിർദ്ദേശാക്ഷവുമായി (positive X coordinate axis) കോൺ {{Math|''θ''}} ഉണ്ടാക്കുന്നു എന്നും വിചാരിച്ചാൽ,
: <math>\cos(\theta) = x</math>
: <math> \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1.</math>
ത്രികോണമിതി ഫലനങ്ങൾ പഠിച്ചു തുടങ്ങുന്ന അവസ്ഥയിൽ സൈൻ, കോസൈൻ വിലകൾ സാധാരണയായി ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിനുള്ളിലെ അളവുകളായാണ് പഠിയ്ക്കുന്നത്. ഈ അവസ്ഥയിൽ വ്യത്യസ്ത കോണുകളുടെ സൈൻ, കോസൈൻ വിലകൾ പഠിയ്ക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും ഈ കോണുകളുടെ വില ഒരിയ്ക്കലും 90 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടാറില്ല. ഏകാരവൃത്തത്തിനെയൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിനെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തിയുള്ള ഈ ഫലനങ്ങളുടെ നിർവചനം 90 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടിയ കോണളവുകളിൽ സൈൻ, കോസൈൻ വിലകൾ എങ്ങനെ പെരുമാറുന്നു എന്നത് കണ്ടുപിടിയ്ക്കൽ എളുപ്പമാക്കുന്നു. മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ നിന്നും കോണളവ് 90 ഡിഗ്രിയിൽ അല്പം കൂടുതൽ ആകുമ്പോൾ പരിധിയിലെ ബിന്ദു രണ്ടാമത്തെ പാദാംശത്തിൽ ആണെന്ന് കാണാം. ഇനി അതിന്റെ സൈൻ, കോസൈൻ വിലകൾ കിട്ടാൻ ആ ബിന്ദുവിന്റെ x, y നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ എടുത്താൽ മാത്രം മതി. ഇതേ പാത പിന്തുടർന്ന് 360 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള കോണളവുകളുടെ സൈൻ, കോസൈൻ വിലകൾ കണ്ടു പിടിയ്ക്കാവുന്നതാണ്. 360 ഡിഗ്രി ആകുമ്പോഴേയ്ക്കും വൃത്തം ഒരു വട്ടം പൂർത്തിയാക്കുകയും കോണളവുകൾ ആവർത്തിയ്ക്കുകയും ചെയ്യും.
കോസൈൻ, സൈൻ ഫലനങ്ങളുടെ ഈ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ നിന്നും ഈ ഫലനങ്ങൾ ആവർത്തിത ഫലനങ്ങൾ ആണെന്നു കാണാം. കാരണം ഓരോ 360 ഡിഗ്രി കഴിയുമ്പോഴും (ഏകാരവൃത്തത്തിൽയൂണിറ്റ് വൃത്തത്തിൽ ഒരു വട്ടം ചുറ്റി വരുമ്പോഴും) കോസൈൻ, സൈൻ ഫലനങ്ങളുടെ വില വീണ്ടും പഴയതു പോലെ ആകുന്നുണ്ടല്ലോ. താഴെ കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഇക്കാര്യത്തെ കാണിയ്ക്കുന്നു.
: <math>\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta)</math>
| 