ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപത

(G,*) എന്ന് ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് (H,·) എന്ന ഗ്രൂപ്പിലേക്കുള്ള ഫലനമാണ് h : G → H എന്ന് കരുതുക. u, v എന്നിവ G യിലെ അംഗങ്ങളാകുമ്പോഴെല്ലാം h(u*v)=h(u)·h(v) എന്ന സമവാക്യം ശരിയാകുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഫലനത്തെ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപത എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

G എന്ന ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് H എന്ന ഗ്രൂപ്പിലേക്കുള്ള h എന്ന സമാംഗരൂപത. H നകത്തുള്ള ചെറിയ ദീർഘവൃത്തമാണ് G യുടെ പ്രതിബിംബം. N എന്നത് h ന്റെ സാരവും aN എന്നത് ഇതിന്റെ സഹഗണവുമാണ്

ഗ്രൂപ്പ് സമാംഗരൂപത G യുടെ തൽസമകത്തെ H ന്റെ തൽസമകത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്നു. മാത്രമല്ല, G യിലെ ഓരോ അംഗത്തിന്റെയും വിപരീതത്തിന്റെ പ്രതിബിംബം ആ അംഗത്തിന്റെ പ്രതിബിംബത്തിന്റെ വിപരീതത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

പ്രതിബിംബവും സാരവും

സമാംഗരൂപതയുടെ പ്രതിബിംബം എന്നത് ഫലനത്തിനു കീഴിൽ G യുടെ ഒരു അംഗത്തിന്റെയെങ്കിലും പ്രതിബിംബമായി വരുന്ന H ലെ അംഗങ്ങളുടെ ഗണമാണ്.

$\mathop {\mathrm {im} } (h):=\{h(u):u\in G\}{\mbox{.}}\!$

സമാംഗരൂപതയുടെ സാരം എന്നത് H ന്റെ തൽസമകം പ്രതിബിംബമായി വരുന്ന G യിലെ അംഗങ്ങളുടെ ഗണമാണ്.

$\mathop {\mathrm {ker} } (h):=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}{\mbox{.}}\!$

പ്രതിബിംബം H ന്റെയും സാരം G യുടെയും ഉപഗ്രൂപ്പുകളാണെന്ന് കാണാം. സാരം അഭിലംബവുമാണ്. സമാംഗരൂപത ഒരു അന്തക്ഷേപഫലനമാകനമെങ്കിൽ സാരം തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പായിരിക്കണം - ഇപ്രകാരമുള്ള സമരൂപതകളെ ഏകരൂപതകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഘടകഗ്രൂപ്പായ G/ker(h) എന്നത് പ്രതിബിംബമായ im(h) ന് സമരൂപമാണെന്ന് ഒന്നാം സമരൂപത നിയമം പറയുന്നു

ഉദാഹരണം

സങ്കലനം സംക്രിയയായുള്ള വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പായ R ൽ നിന്നും ഗുണനം സംക്രിയയായ, പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പായ R^* ലേക്കുള്ള ഫലനമാണ് f(x)=e^x. ഈ ഫലനം ഒരു സമാംഗരൂപതയാണെന്ന് കാണാൻ സാധിക്കും. ഫലനത്തിന്റെ പ്രതിബിംബം ധനവാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗ്രൂപ്പും (R⁺ : ഇത് R^* ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്) സാരം R ന്റെ തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പായ {0} യുമാണ്.

ഗ്രൂപ്പ് സമരൂപത

രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകൾക്കിടയിലുള്ള സമാംഗരൂപത ഒരു ഉഭയക്ഷേപഫലനമാണെങ്കിൽ അതിനെ ഒരു സമരൂപത എന്നു വിളിക്കുകയും ഗ്രൂപ്പുകൾ സമരൂപമാണെന്നു പറയുകയും ചെയ്യുന്നു. ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വീക്ഷണത്തിൽ സമരൂപമായ രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകൾ തുല്യമാണ് - അവയ്ക്ക് സമാന സവിശേഷതകളുള്ളതിനാൽ അവയെ വെവ്വേറെ കാണേണ്ടതില്ല.

അവലംബം

• http://mathworld.wolfram.com/GroupHomomorphism.html