കേന്ദ്രം (ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം)

ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുമായും ക്രമനിയമമനുസരിക്കുന്ന അംഗങ്ങളുടെ ഗണത്തെയാണ് ആ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ കേന്ദ്രത്തെ Z(G) എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതായത്,

$Z(G)=\{z\in G\mid \forall g\in G,zg=gz\}$.

ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി പട്ടികയിൽ ഏതൊക്കെ അംഗങ്ങളുടെ വരികളും നിരകളുമാണോ ഒരുപോലെ വരുന്നത്, ആ അംഗങ്ങളാണ് ഗ്രൂപ്പ് കേന്ദ്രത്തിലെയും അംഗങ്ങൾ. ഗ്രൂപ്പിന്റെ തൽസമകം എല്ലായ്പ്പോഴും ഗ്രൂപ്പ് കേന്ദ്രത്തിലെ അംഗമായിരിക്കും. ഗ്രൂപ്പ് കേന്ദ്രം മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്.

സവിശേഷതകൾ

• കേന്ദ്രം മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ ക്രമ, അഭിലംബ ഉപഗ്രൂപ്പായിരിക്കും. G / Z(G) എന്ന ഘടകഗ്രൂപ്പ് G യുടെ അന്തസ്വരൂപതകളുടെ ഗ്രൂപ്പിന് സമരൂപമാണ്.
• ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ക്രമഗ്രൂപ്പാകുന്നത് അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോഴാണ്
• ക്രമമല്ലാത്ത ഒരു ലളിതഗ്രൂപ്പിന്റെ കേന്ദ്രം തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്

ഉദാഹരണം

D₄ നെ S₄ ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പായി കണക്കാക്കിക്കൊണ്ടുള്ള കെയ്ലി പട്ടിക

ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D_n ന്റെ കാര്യമെടുക്കുക. n ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയാകുമ്പോൾ ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കേന്ദ്രം തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്. എന്നാൽ n ഇരട്ടസംഖ്യയാകുമ്പോൾ തൽസമകത്തിനു പുറമെ 180 ഡിഗ്രി പരിക്രമണത്തെ കുറിക്കുന്ന അംഗവും കേന്ദ്രത്തിന്റെ ഭാഗമായി വരും. ഉദാഹരണമായി, ചിത്രത്തിലെ D₄ ന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക നോക്കുക. സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S₄ ന്റെ ഏഴാം അംഗമാണ് ഉപഗ്രൂപ്പായ D₄ ൽ 180 ഡിഗ്രി പരിക്രമണത്തെ കുറിക്കുന്നത്. കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കെയ്ലി പട്ടികയിൽ ഈ അംഗം നാലാമതായി വരുന്നു. കെയ്ലി പട്ടികയുടെ നാലാം വരിയും നാലാം നിരയും (transposition ചെയ്തതിനു ശേഷം) തുല്യമാണെന്ന് കാണാൻ സാധിക്കും : അതായത്, ഈ അംഗം ഗ്രൂപ്പിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. കെയ്ലി പട്ടികയിലെ ആദ്യ അംഗമായ തൽസമകത്തിനും വരിയും നിരയും തുല്യമാണെന്നു കാണാം

അവലംബം

• http://mathworld.wolfram.com/GroupCenter.html