കേന്ദ്രം (ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം)

ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുമായും ക്രമനിയമമനുസരിക്കുന്ന അംഗങ്ങളുടെ ഗണത്തെയാണ് ആ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ കേന്ദ്രത്തെ Z(G) എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതായത്,

.

ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി പട്ടികയിൽ ഏതൊക്കെ അംഗങ്ങളുടെ വരികളും നിരകളുമാണോ ഒരുപോലെ വരുന്നത്, ആ അംഗങ്ങളാണ് ഗ്രൂപ്പ് കേന്ദ്രത്തിലെയും അംഗങ്ങൾ. ഗ്രൂപ്പിന്റെ തൽസമകം എല്ലായ്പ്പോഴും ഗ്രൂപ്പ് കേന്ദ്രത്തിലെ അംഗമായിരിക്കും. ഗ്രൂപ്പ് കേന്ദ്രം മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്.

സവിശേഷതകൾ തിരുത്തുക

ഉദാഹരണം തിരുത്തുക

 
D4 നെ S4 ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പായി കണക്കാക്കിക്കൊണ്ടുള്ള കെയ്ലി പട്ടിക

ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ Dn ന്റെ കാര്യമെടുക്കുക. n ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയാകുമ്പോൾ ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കേന്ദ്രം തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പാണ്. എന്നാൽ n ഇരട്ടസംഖ്യയാകുമ്പോൾ തൽസമകത്തിനു പുറമെ 180 ഡിഗ്രി പരിക്രമണത്തെ കുറിക്കുന്ന അംഗവും കേന്ദ്രത്തിന്റെ ഭാഗമായി വരും. ഉദാഹരണമായി, ചിത്രത്തിലെ D4 ന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക നോക്കുക. സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S4 ന്റെ ഏഴാം അംഗമാണ് ഉപഗ്രൂപ്പായ D4 ൽ 180 ഡിഗ്രി പരിക്രമണത്തെ കുറിക്കുന്നത്. കൊടുത്തിരിക്കുന്ന കെയ്ലി പട്ടികയിൽ ഈ അംഗം നാലാമതായി വരുന്നു. കെയ്ലി പട്ടികയുടെ നാലാം വരിയും നാലാം നിരയും (transposition ചെയ്തതിനു ശേഷം) തുല്യമാണെന്ന് കാണാൻ സാധിക്കും : അതായത്, ഈ അംഗം ഗ്രൂപ്പിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. കെയ്ലി പട്ടികയിലെ ആദ്യ അംഗമായ തൽസമകത്തിനും വരിയും നിരയും തുല്യമാണെന്നു കാണാം

അവലംബം തിരുത്തുക