അഭാജ്യസംഖ്യ

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, രണ്ട് എണ്ണൽ സംഖ്യാ ഘടകങ്ങൾ മാത്രമുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യകളെ അഭാജ്യസംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഘടകങ്ങൾ 1-ഉം ആ സംഖ്യയും മാത്രമായിരിക്കും. അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കാൻ $\mathbb {P}$ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. അഭാജ്യസംഖ്യകൾ അനന്തമാണെന്ന് 300 ബിസി-ക്കടുത്ത് യൂക്ലിഡ് തെളിയിച്ചിരുന്നു. ആദ്യ മുപ്പത്തിനാല് അഭാജ്യസംഖ്യകൾ താഴെ ചേർത്തിരിക്കുന്നു:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139

ഒന്ന്(1) നിർവചനമനുസരിച്ച് ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയല്ല. അഭാജ്യസംഖ്യയായ ഒരേയൊരു ഇരട്ട സംഖ്യ രണ്ട് (2) ആണ്.

അഭാജ്യസംഖ്യയല്ലാത്ത പൂർണസംഖ്യകളെ സംയുക്തസംഖ്യകൾ (composite numbers) എന്നു പറയുന്നു. ഏതു സംയുക്തസംഖ്യയും അതിന്റെ അഭാജ്യഘടകങ്ങളായി പിരിച്ചെഴുതാം; 24 = 2³ x 3. ഈ വസ്തുത അങ്കഗണിതത്തിലെ മൗലികസിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

ഇറത്തോസ്തനീസ് എന്ന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ അഭാജ്യസംഖ്യകളെ മറ്റു പൂർണസംഖ്യകളിൽനിന്ന് അരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗം (ബി.സി. 240) കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഇറത്തോസ്തനീസിന്റെ അരിപ്പ (Sieve of Eratosthanes) എന്നാണ് അതിനു പേര്. 100 വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും കണ്ടുപിടിക്കാൻ, ഈ മാർഗംവഴി 2, 3, 5, 7 എന്നിവയുടെ 100-ൽ താഴെ വരുന്ന പെരുക്കങ്ങളെ മാറ്റിക്കളയുകയാണ്. 100-ന്റെ വർഗമൂലം വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ പെരുക്കങ്ങൾ മാറ്റിയാൽ മതിയാകും. ശേഷിക്കുന്നത് അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും.

അഭാജ്യസംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു ഗണിതസൂത്രം കണ്ടെത്താൻ പൈതഗോറസ് എന്ന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ പലരും ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്; ഇന്നേവരെ പൂർണമായി വിജയിച്ചിട്ടില്ല. ഇറത്തോസ്തനീസിന്റെ മാർഗ്ഗം ശ്രമകരമാണ്. കേംബ്രിഡ്ജിലെ പ്രൊഫസർ ആയിരുന്ന എഡ്വേർഡ് വെയറിങ് ഒരു മാർഗ്ഗം രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യനായ ജോൺ വിൽസൺ (1741-93) ആണ് ഈ മാർഗ്ഗം (വിൽസൺ തിയറം) കണ്ടുപിടിച്ചത്. ഇതനുസരിച്ച്, (n -1) ! + 1 എന്ന സംഖ്യയെ കൃത്യമായി n കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ n ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആയിരിക്കും. ഉദാ.

n = 7, (n -1)! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

(n - 1)! + 1 = 721, 721-നെ 7 കൊണ്ട് കൃത്യമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയും. 7 ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണ്. എന്നാൽ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1-നെ 1 മുതൽ 6 വരെയുള്ള എല്ലാ പൂർണസംഖ്യകൾകൊണ്ടും കൃത്യമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് 6! + 2, 6! + 3, 6! + 4,6! + 5, 6! + 6 എന്നിവയൊന്നും അഭാജ്യമല്ല.

2 ഒഴികെ മറ്റെല്ലാ അഭാജ്യങ്ങളും ഒറ്റസംഖ്യകളാണ്. അനന്തം അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് പ്രാചീന ഗ്രീക് ഗണിതാചാര്യനായ യൂക്ളിഡ് തെളിയിച്ചു (ഏകദേശം ബി.സി. 280). ഏത് ഇരട്ടസംഖ്യയും രണ്ട് അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആയിരിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കപ്പെടുന്നു. ക്രിസ്ത്യൻ ഗോൾഡ് ബാഷ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പേരിൽ അറിയപ്പെടുന്ന ഈ 'ഊഹം' 1742-ൽ ആണ് അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടത്: ഗോൾഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം. ഉദാ. 2 = 1 + 1, 100 = 11 + 89. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 3,00,000-ത്തിൽ കവിയാത്ത അത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആണെന്ന 1931-ലും 1-ൽ കവിഞ്ഞ ഓരോ ഒറ്റസംഖ്യയും 3-ൽ കവിയാത്തത്രയുടേതെന്ന് പിന്നീടും തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 4-ൽ കവിയാത്തത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഇതിൽനിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഗോൾഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം തെറ്റാണെന്നതിന് ഒറ്റ തെളിവുപോലും കിട്ടിയില്ലെങ്കിലും ശരിയാണെന്ന് ഇതേവരെ തെളിയിച്ചിട്ടില്ല.

അവലംബം

കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ അഭാജ്യസംഖ്യ എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. വിക്കിപീഡിയയിലേക്ക് പകർത്തിയതിന് ശേഷം പ്രസ്തുത ഉള്ളടക്കത്തിന് സാരമായ മാറ്റങ്ങൾ വന്നിട്ടുണ്ടാകാം.