ഫിബനാച്ചി

ഫിബനാച്ചി ഒരു ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ആയിരുന്നു. പിസയിലെ ലിയനാർഡോ , ലിയനാർഡോ പിസാനോ, ലിയനാർഡോ ബൊണാച്ചി, ലിയൊനാർഡോ ഫിബോനാച്ചി എന്നീ പേരുകളിലും അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു. ലിയനാർഡോ പിസാനോ ബിഗല്ലോ എന്നായിരുന്നു ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ യഥാർത്ഥപേര്. 1170 മുതൽ 1250 വരെയായിരുന്നു ജീവിതകാലം.. മദ്ധ്യ കാലഘട്ടത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രഗൽഭനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായി പലരും ഇദ്ദേഹത്തെ കണാക്കാക്കുന്നു. ആധുനിക ലോകത്തിൽ ഇദ്ദേഹം അറിയപ്പെടുന്നത് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾക്കാണ്.

• യൂറോപ്പിൽ ഹിന്ദു-അറബി സംഖ്യാ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ വ്യാപനം. 13-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യ കാലയളവിൽ (1202-ൽ) എഴുതിയ ലിബെർ അബാകി (കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ ഗ്രന്ഥം) എന്ന പുസ്തകമാണ് ഇതിന് മുഖ്യ കാരണമായത്.
• ഫിബനാച്ചി സംഖ്യകൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ആധുനിക സംഖ്യാ ശ്രേണി. ഇത് ഇദ്ദേഹം കണ്ടെത്തിയതല്ലെങ്കിലും ലിബർ അബാകസി എന്ന പുസ്തകത്തിൽ ഒരു ഉദാഹരണാമായി ഈ ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.

പിസയിലെ ലിയനാർഡോ (ഫിബനാച്ചി)
പിസയിലെ ലിയനാർഡോ (ഫിബനാച്ചി)
ജനനം	c. 1170 പിസ, ഇറ്റലി
മരണം	c. 1250 പിസ, ഇറ്റലി
ദേശീയത	ഇറ്റാലിയൻ
അറിയപ്പെടുന്നത്	ഫിബോനാച്ചി സംഖ്യ ഫിബോനാച്ചി പ്രൈം ബ്രഹ്മഗുപ്ത-ഫിബോനാച്ചി ഐഡന്റിറ്റി ഫിബോനാച്ചി പോളിനോമിയൽസ് ഫിബോനാച്ചി സ്യൂഡോപ്രൈം ഫിബോനാച്ചി വേഡ് റെസിപ്രോക്കൽ ഫിബോനാച്ചി കോൺസ്റ്റന്റ് ഫിബോനാച്ചി ഫാമിലി ഹിന്ദു അറബിക് സംഖ്യാസമ്പ്രദായം യൂറോപ്പിൽ അവതരിപ്പിച്ചു പിസാനോ പീരിയഡ് പ്രാക്റ്റിക്കൽ സംഖ്യ
ശാസ്ത്രീയ ജീവിതം
പ്രവർത്തനതലം	ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ

ജീവിതകാലം

ഗൂഗ്ലിയെൽമോ ബോണാച്ചി എന്ന ധനികനായി ഇറ്റാലിയൻ വ്യാപാരിയുടെ മകനായി 1170-നോടടുത്താണ് ഫിബോനാച്ചി ജനിച്ചത്. ഗൂഗ്ലിയൽമോ ബ്യൂഗിയയിൽ (Bugia) ഒരു കച്ചവട കേന്ദ്രം നിയന്ത്രിച്ചിരുന്ന ആളായിരുന്നത്രേ (ചിലരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ ഇദ്ദേഹം പിസനഗരത്തിന്റെ ഒരു ഉപദേഷ്ടാവായിരുന്നു). ബ്യൂഗിയ ഇപ്പോൾ അൾജീരിയയിലാണ്. വടക്കൻ ആഫ്രിക്കയിൽ അൾജിയേഴ്സിനു കിഴക്കുള്ള അൽമൊഹാദ് രാജവംശത്തിന്റെ ഭരണത്തിൻ കീഴിലായിരുന്ന സുൽത്താനേറ്റിലായിരുന്നു ഈ വ്യാപാരകേന്ദ്രം. ഇപ്പോൾ ബെജൈജ എന്നാണ് ഇവിടം അറിയപ്പെടുന്നത്. കുട്ടിയായിരുന്നപ്പോൾ ലിയൊനാർഡോ അച്ഛനെ സഹായിക്കാനായി അദ്ദേഹത്തോടൊപ്പം ധാരാളം യാത്ര ചെയ്യുമായിരുന്നു. ഇവിടെ വച്ചാണ് ഇദ്ദേഹം ഹിന്ദു-അറബിക് സംഖ്യാ സമ്പ്രദായം (Hindu–Arabic numeral system) പഠിച്ചത്.

റോമൻ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തെ അപേക്ഷിച്ച് ഹിന്ദു-അറബിക് സംഖ്യാ രീതി പ്രായേണ ലഘുവും ഉപയോഗിക്കാനെളുപ്പമുള്ളതുമാണെന്ന് ഇദ്ദേഹം മനസ്സിലാക്കി. ഇദ്ദേഹം മെഡിറ്ററേനിയൻ പ്രദേശത്താകെ അക്കാലത്തുള്ള അറബ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ കീഴിൽ ഗണിതവിദ്യകൾ പഠിക്കാനായി യാത്രചെയ്യുകയുണ്ടായി. ഏകദേശം 1200-നടുത്താണ് ഇദ്ദേഹം ഈ യാത്രകൾ കഴിഞ്ഞ് സ്വദേശത്ത് തിരികെയത്തിയത്. 1202-ൽ മുപ്പത്തിരണ്ടാം വയസ്സിൽ തന്റെ അറിവുകൾ ഇദ്ദേഹം ലിബർ അബാകൈ (അബാക്കസിന്റെ ഗ്രന്ഥം അല്ലെങ്കിൽ കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ ഗ്രന്ഥം) എന്ന പുസ്തകത്തിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ഇങ്ങനെയാണ് ഇദ്ദേഹം ഹിന്ദു-അറബിക് സംഖ്യാ സമ്പ്രദായം യൂറോപ്പിൽ പ്രചരിപ്പിച്ചത്.

ഫ്രെഡറിക് രണ്ടാമൻ ചക്രവർത്തി ഗണിതശാസ്ത്രവും മറ്റു ശാസ്ത്രസരണികളും പ്രോത്സാഹിപ്പിച്ചിരുന്നു. ഫിബോനാച്ചിക്ക് ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ സദസ്സിൽ അംഗമാകാൻ സാധിച്ചു. 1240-ൽ പിസയിലെ റിപ്പബ്ലിക് ലിയോനാർഡോയെ ശമ്പളം നൽകാനുള്ള തീരുമാനത്തിലൂടെ ബഹുമാമാനിക്കുകയുണ്ടായി. ലിയോനാർഡോ ബിഗൊല്ലോ എന്നായിരുന്നു ഇദ്ദേഹം ഈ സമയ‌ത്ത് അറിയപ്പെട്ടിരുന്നത്.

ഫിബോനാച്ചി പിസയി‌ൽ വച്ചാണ് മരിച്ചത്. ഇദ്ദേഹം മരിച്ച കൃത്യമായ തീയതി അറിവില്ല. കണക്കാക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന വിവിധ തീയതികൾ 1240 -നും1250 -നുമിടയിലാണ്.

പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഫിബോനാച്ചിയുടെ ഒരു പ്രതിമ പിസയിൽ നിർമിച്ച് സ്ഥാപിക്കപ്പെടുകയുണ്ടായി. പിയാസ ഡൈ മിറാകോളിയുടെ ചരിത്രപ്രാധാന്യമുള്ള സെമിത്തേരിയുടെ (കാമ്പോസാന്റോ) പടിഞ്ഞാറേ ഗാലറിയിലാണ് ഈ പ്രതിമ ഇപ്പോൾ സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്.

ലിബർ അബാകൈ

ഫിബോനാച്ചി ശ്രേണി ലിബർ അബാകൈ ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ ഈ പേജിന്റെ വലതുവശത്ത് കാണാവുന്നതാണ്. ഫ്ലോറൻസിലെ നാഷണൽ സെൻട്രൽ ലൈബ്രറിയിലെ ഗ്രന്ഥം.

ലിബർ അബാകൈ (1202) എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിൽ ഫിബോനാച്ചി മോഡസ് ഇൻഡോറം (modus Indorum ഇന്ത്യക്കാരുടെ സമ്പ്രദായം) എന്ന പേരിലാണ് ഹിന്ദു-അറബിക് സംഖ്യാരീതി യൂറോപ്യർക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത്. അറബിക് സംഖ്യകൾ എന്നാണ് ഇപ്പോൾ ഇവ അറിയപ്പെടുന്നത് (സിഗ്ലർ 2003; ഗ്രിം 1973). 0 മുതൽ 9 വരെയുള്ള അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകൾ എഴുതാനും അക്കങ്ങൾക്ക് അവയുടെ സ്ഥാനം അനുസരിച്ച് മൂല്യം നൽകാനും ഈ ഗ്രന്ഥത്തിൽ ഫിബോനാച്ചി ഉദ്ബോധിപ്പിച്ചു. ഈ പുതിയ രീതിയുടെ പ്രയോജനം ഗ്രന്ഥത്തിൽ വിവരിക്കപ്പെടുന്നുണ്ട്. ഗുണനം, ഹരിക്കൽ എന്നിവ ഈ മാർഗ്ഗത്തിലൂടെ എളുപ്പം സാധിക്കുമെന്നും വാണിജ്യാവശ്യങ്ങൾക്കുള്ള കണക്കെഴുത്ത് ഈ മാർഗ്ഗമനുസരിച്ച് എളുപ്പമാകുമെന്നും ഇദ്ദേഹം വിശദീകരിക്കുന്നുണ്ട്. അളവുതൂക്കങ്ങൾ ഒരു രീതിയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേയ്ക്ക് മാറ്റൽ, പലിശ കണക്കുകൂട്ടൽ, ഒരു നാണയം മറ്റൊന്നിലേയ്ക്ക് മാറ്റുമ്പോളുള്ള മൂല്യം കണക്കാക്കൽ തുടങ്ങിയ ആവശ്യങ്ങൾക്ക് പുതിയ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്റെ മെച്ചം ഈ ഗ്രന്ഥത്തിൽ വിശദീകരിക്കുന്നുണ്ട്. യൂറോപ്പിൽ അഭ്യസ്തവിദ്യർക്കിടയിൽ പൊതുവേ ഈ ഗ്രന്ഥം നല്ല രീതിയിൽ സ്വീകരിക്കപ്പെട്ടു. യൂറോപ്യൻ ചിന്താഗതിയെത്തന്നെ ഈ ഗ്രന്ഥം മാറ്റിമറിക്കുകയുണ്ടാ‌യത്രേ.

ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ വിവിധ അദ്ധ്യായങ്ങൾ

ആദ്യ സെക്ഷനിൽ ഹിന്ദു–അറബിക് സംഖ്യാ സമ്പ്രദായമാണ് വിവരിക്കപ്പെടുന്നത്. ഗുണിക്കുന്ന രീതിയും വിവിധ മൂല്യഗണനാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ തമ്മിൽ എങ്ങനെ മാറ്റാമെന്നും ഈ ഭാഗത്ത് ചർച്ച ചെയ്യുന്നുണ്ട്.

രണ്ടാം ഭാഗത്ത് നാണയങ്ങൾ, അളവുകൾ എന്നിവ തമ്മിൽ മാറ്റുന്നതും, ലാഭം, പലിശ എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നതും വിവരിക്കുന്നു.

മൂന്നാം ഭാഗത്തിൽ ചില ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളാണ് ചർച്ച ചെയ്യുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന് (അദ്ധ്യായം രണ്ട്.12-ൽ) ചൈനീസ് റിമൈൻഡർ തിയറം, പെർഫെക്റ്റ് നമ്പേഴ്സ്, മെഴ്സെന്നേ പ്രൈം എന്നിവയും അരിത്‌മെറ്റിക് സീരീസുകളും, സമഭുജ പിരമിഡൽ സംഖ്യകളും മറ്റും ചർച്ച ചെയ്യുന്നു. മുയലുകളുടെ ജനസംഖ്യാപെരുപ്പത്തെപ്പറ്റിയുള്ള സിദ്ധാന്തം ചർച്ച ചെയ്യുന്നത് ഈ അദ്ധ്യായത്തിലാണ്.

സംഖ്യകളുടെയും ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെയും അപ്രോക്സിമേഷനുകൾ നാലാമദ്ധ്യായത്തിൽ വിവരിക്കുന്നു. വർഗ്ഗമൂലം പോലുള്ള യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളും ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്യുന്നുണ്ട്.

യൂക്ലിഡിന്റെ ജ്യാമിതിയിലെ തെളിവുകളും ഈ ഗ്രന്ഥത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ആൾജിബ്രയിലെ സമവാക്യങ്ങളിൽ എത്തിപ്പെടാനുള്ള ഫിബോനാച്ചിയുടെ മാർഗ്ഗം പത്താം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യ സമയത്ത് ഈജിപ്റ്റിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ അബു കാമിൽ ഷൂജ ഇബ്ൻ അസ്ലാമിന്റെ സ്വാധീനം വെളിവാക്കുന്നുണ്ട്.

ഫിബോനാച്ചി ശ്രേണി

ലിബർ അബാകൈ എന്ന ഗ്രന്ഥം മുയലുകളുടെ ജനസംഖ്യയിലുണ്ടാകുന്ന വർദ്ധനവിനെ സംബന്ധിച്ചുള്ള ഒരു പ്രശ്നം (ആദർശപരമായ ചില നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ചുകൊണ്ടുള്ള ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രപ്രശ്നം) മുന്നോട്ടുവയ്ക്കുകയും അതിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുകയും ചെയ്യുന്നുണ്ട്. ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തര‌ത്തിലെ ഓരോ തലമുറയിലെയും ജനസംഖ്യ പിന്നീട് ഫിബോനാച്ചി സംഖ്യകൾ (ഫിബോനാച്ചി ശ്രേണി) എന്നറിയപ്പെടാൻ തുടങ്ങി. ആറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ തന്നെ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ ശ്രേണിയെപ്പറ്റി അറിവുണ്ടായിരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും ഫിബോനാച്ചിയുടെ ലിബർ അബാകൈ ആണ് ഇത് പാശ്ചാത്യലോകത്തിന് പരിചയപ്പെടുത്തിയത്.

ഫിബോനാച്ചി ശ്രേണിയിൽ ഓരോ സംഖ്യയും അതിനു മുൻപുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ്. 0, 1 എന്നീ സംഖ്യകളിലാണ് ഈ ശ്രേണി ആരംഭിക്കുന്നത്. ശ്രേണി ഇങ്ങനെ പുരോഗമിക്കുന്നു. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

ശ്രേണിയിലെ ഉയർന്ന സംഖ്യകളിൽ രണ്ടെണ്ണമെടുത്ത് വലിയതിനെ ചെറിയ സംഖ്യ കൊണ്ടോ ചെറിയ സംഖ്യയെ വലുതു കൊണ്ടോ ഹരിച്ചാൽ സുവർണ്ണാനുപാതത്തിന് അടുത്തുള്ള സംഖ്യ ലഭിക്കും (ഏകദേശം 1 : 1.618 അല്ലെങ്കിൽ 0.618 : 1).

പിസയിലെ ഫിബോനാച്ചിയുടെ പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ സ്ഥാപിച്ച പ്രതിമ

അംശസംഖ്യകളെഴുതാൻ ഫിബോനാച്ചി ഉപയോഗിച്ച രീതി

യുതിഭദ്രമായ സംഖ്യകൾ (rational numbers) എഴുതുവാൻ ഫിബോനാച്ചി ഉപയോഗിച്ച രീതി അതുവരെ ഉപയോഗത്തിലുണ്ടായിരുന്ന ഈജിപ്ഷ്യൻ അംശസംഖ്യകൾക്കും ഇപ്പോൾ നിലവിലുള്ള വൾഗാർ അംശസംഖ്യകൾക്കും ഇടയിലുള്ള ഒരു രൂപമായിരുന്നു. ഫിബോനാച്ചിയുടെ രീതിയും ആധുനിക കാലത്ത് നിലവിലുള്ള രീതിയും തമ്മിൽ മൂന്ന് പ്രധാന വ്യത്യാസങ്ങളാണ് നിലവിലുള്ളത്.

1. അംശസംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ വലതുവശത്താണ് ആധുനികകാലത്ത് ചെർക്കാറുള്ളത്. ഉദാഹരണത്തിന് 7/3 എഴുതുന്നത് $\scriptstyle 2\,{\frac {1}{3}}$ എന്നാണ്. ഫിബോനാച്ചി അംശസംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഇടതുവശത്താണ് എഴുതിയിരുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന് $\scriptstyle {\frac {1}{3}}\,2$.
2. ഫിബോനാച്ചി കോമ്പോസിറ്റ് ഫ്രാക്ഷൻ എന്ന നൊട്ടേഷനാണ് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്. ഈ രീതിയിൽ പല അംശങ്ങളും (numerators) ഛേദങ്ങളും (denominators) ഒരേ വരയ്ക്കു മുകളിലും താഴെയുമായാന് എഴുതപ്പെട്ടിരുന്നത്. ഓരോ അംശങ്ങളും അതിനു താഴെയുള്ളതുമുതൽ വലത്തോട്ടുള്ള എല്ലാ ഛേദങ്ങളും ഗുണിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ ഒരു അധിക ഫ്രാക്ഷനെയും കൂടി കാണിക്കുന്നുണ്ട്. അതായത്, $\scriptstyle {\frac {b\,\,a}{d\,\,c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{cd}}$, കൂടാതെ $\scriptstyle {\frac {c\,\,b\,\,a}{f\,\,e\,\,d}}={\frac {a}{d}}+{\frac {b}{de}}+{\frac {c}{def}}$. ഈ നൊട്ടേഷൻ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തേയ്ക്കാണ് വായിച്ചിരുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന് 29/30 $\scriptstyle {\frac {1\,\,2\,\,4}{2\,\,3\,\,5}}$ ആയി എഴുതാവുന്നതാണ്. ഇത് $\scriptstyle {\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3\times 5}}+{\frac {1}{2\times 3\times 5}}$ എന്ന മൂല്യം കാണിക്കുന്നു. നാണയം, അളവുതൂക്കങ്ങൾ എന്നിവ എളുപ്പത്തിൽ എഴുതാനുപയോഗിക്കാവുന്ന ഒരു മിശ്രിത റാഡിക്സ് നൊട്ടേഷനായാണ് ഇത് കണക്കാക്കപ്പെട്ടിരുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന് നീളത്തിന്റെ അളവുകളിൽ ഒരടി ഒരു യാഡിന്റെ 1/3-ഉം ഒരു ഇഞ്ച് ഒരു അടിയുടെ 1/12-ഉമാണ്. അഞ്ചു യാഡ്, രണ്ടടി, $\scriptstyle 7{\frac {3}{4}}$ ഇഞ്ച് എന്ന അളവ് ഫിബോനാച്ചിയുടെ രീതിയനുസരിച്ച് $\scriptstyle {\frac {3\ \,7\,\,2}{4\,\,12\,\,3}}\,5$ യാഡുകൾ എന്നെഴുതാവുന്നതാണ്. ഒരിടത്ത് ഫിബോനാച്ചി എല്ലാ ഛേദങ്ങളും പത്തായി എഴുതിയ ഉദാഹരണം സിഗ്ലർ ചൂണ്ടിക്കാട്ടുന്നുണ്ട്. പത്ത് ഛേദമായുപയോഗിക്കുന്ന ആധുനിക രീതിക്ക് ഇതൊരു മുന്നോടിയായിരുന്നിരിക്കാം.
3. പല അംശസംഖ്യകളും ഫിബോനാച്ചി അടുത്തടുത്തായി ചിലപ്പോൾ എഴുതിയിരുന്നു. ഈ അംശസംഖ്യകളുടെ തുക സൂചിപ്പിക്കാനാണ് ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന് 1/3+1/4 = 7/12 ആയതിനാൽ $\scriptstyle {\frac {1}{4}}\,{\frac {1}{3}}\,2$ എന്നതുപോള്ള നൊട്ടേഷൻ ഇപ്പോൾ സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന $\scriptstyle 2\,{\frac {7}{12}}$ എന്ന നൊട്ടേഷന്റെ അതേ അർത്ഥത്തിൽ ഉപയോഗിക്കാം, വൾഗാർ ഫ്രാക്ഷൻ അനുസരിച്ച് ഇത് $\scriptstyle {\frac {31}{12}}$ എന്നാണെഴുതുന്നത്. ഒരേ വരയുപയോഗിച്ച് അംശവും ഛേദവും എഴുതുന്ന രീതിയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി ഈ രീതിയിൽ വര ഇടവിട്ടായിരിക്കും കാണപ്പെടുന്നത്.

ഈ മാർഗ്ഗത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണത കാരണം സംഖ്യകൾ പല രീതികളിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കുമായിരുന്നു. ഒരു രീതിയിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു രീതിയിലേയ്ക്ക് മാറ്റാൻ ഫിബോനാച്ചി പല മാർഗ്ഗങ്ങളും വിവരിക്കുകയുണ്ടായി. ലിബർ അബാകൈ എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിലെ രണ്ടാമദ്ധ്യായത്തിലെ ഏഴാം ഭാഗ‌ത്തിൽ വൾഗാർ ഫ്രാക്ഷൻ ഈജിപ്ഷ്യൻ ഫ്രാക്ഷനാക്കി മാറ്റാനുള്ള പല രീതികൾ പട്ടികയാക്കി നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഈജിപ്ഷ്യൻ ഫ്രാക്ഷനുകളുടെ ഗ്രീഡി ആൽഗോരിതം (ഫിബോനാച്ചി-സിൽവസ്റ്റർ എക്സ്പാൻഷൻ) ഒരുദാഹരണമാണ്.

കൂടുതൽ വായനയ്ക്ക്

• Goetzmann, William N. and Rouwenhorst, K.Geert, The Origins of Value: The Financial Innovations That Created Modern Capital Markets (2005, Oxford University Press Inc, USA), ISBN 0-19-517571-9.
• Grimm, R. E., "The Autobiography of Leonardo Pisano", Fibonacci Quarterly, Vol. 11, No. 1, February 1973, pp. 99–104.
• A. F. Horadam, "Eight hundred years young," The Australian Mathematics Teacher 31 (1975) 123-134.

പുറത്തേയ്ക്കുള്ള കണ്ണികൾ

• Fibonacci Biography Archived 2010-02-05 at the Wayback Machine.
• Who was Fibonacci? Archived 2008-08-16 at the Wayback Machine. by Ron Knott.
• Goetzmann, William N., Fibonacci and the Financial Revolution (October 23, 2003), Yale School of Management International Center for Finance Working Paper No. 03-28
• Fibonacciat
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Leonardo Pisano Fibonacci", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.