സ്ഥിതികം

പരിതഃസ്ഥിതിയുമായി സ്ഥിതസന്തുലനത്തിലുളളതും ത്വരണം ഇല്ലാത്തതുമായ വസ്തുക്കളിലോ വ്യൂഹങ്ങളിലോ അനുഭവപ്പെടുന്ന ബലങ്ങളുടെ വിശകലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ബലതന്ത്രശാഖയാണ് സ്ഥിതികം (സ്റ്റാറ്റിക്സ് - Statics) എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നത്. സ്ഥിതസന്തുലനത്തിലുളള ഒരു വ്യൂഹത്തിൻ്റെ ത്വരണം പൂജ്യമായിരിക്കും അല്ലെങ്കിൽ അത് നിശ്ചലാവസ്ഥയിലോ അതിന്റെ പിണ്ഡകേന്ദ്രം (Center of Mass) സ്ഥിതമായ പ്രവേഗത്തിലോ ആയിരിക്കും. ഏതൊരു വ്യൂഹത്തി ന്യൂട്ടന്റ രണ്ടാം നിയമപ്രകാരം,

F=ma ആണ്.

ഇതിൽ കടുപ്പത്തിലുളള അക്ഷരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പരിമാണവും ദിശയുമുളള സദിശങ്ങളെയാണ്. F എന്നാൽ ആ വ്യൂഹത്തിൽ അനുഭവപ്പെടുന്ന ബലങ്ങളുടെ തുകയാണ്. m എന്നത് വ്യൂഹത്തിന്റെ പിണ്ഡത്തെയും a എന്നാൽ ത്വരണത്തെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ബലങ്ങളുടെ ആകെ തുക കണ്ടുപിടിച്ച് അതിൽ നിന്നും ത്വരണത്തിന്റെ അളവും ദിശയും കണ്ടെത്താം. ഇത് പിണ്ഡത്തിന്റെ വിപരീതാനുപാതത്തിലായിരിക്കും. a=0 എന്ന സങ്കല്പിച്ചാൽ

F= 0

ബലങ്ങളുടെ ആകെ തുകയിൽ നിന്നും അവയിലെ ഏതെങ്കിലും അജ്ഞാത ബലത്തിൻറെ അളവ് കണ്ടുപിടിക്കാൻ സാധിക്കും. സ്ഥിതസന്തുലനത്തിലുളള(static equilibrium) ഒരു വ്യൂഹത്തിന്റെ ത്വരണം പൂജ്യമായിരിക്കും കൂടാതെ ആ വ്യൂഹം ഒന്നുകിൽ നിശ്ചലാവസ്ഥയിലോ അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ പിണ്ഡകേന്ദ്രം(center of mass) സ്ഥിതപ്രവേഗത്തിൽ സഞ്ചരിക്കുകയോ ആയിരിക്കും. വ്യൂഹം പൂജ്യം ത്വരണത്തിലാണെന്ന അനുമാനത്തിൽ അതിൽ അനുഭവപ്പെടുന്ന ആഘൂർണങ്ങളെ(moment) കൂട്ടിയാൽ:

${\textbf {M}}=I\alpha =0\,.$

ഇവിടെ ${\textbf {M}}$ എന്നാൽ ആ വ്യൂഹത്തിൽ അനുഭവപ്പെടുന്ന എല്ലാ ആഘൂർണങ്ങളുടെയും തുകയാണ്. $I$ എന്നാൽ ആ പിണ്ഡത്തിന്റെ ജഢത്വാഘൂർണമാണ്(Moment of inertia). $\alpha$ = 0 എന്നത് വ്യൂഹത്തിന്റ കോണീയത്വരണമാണ്. ഇത് പൂജ്യമാണെന്ന് അനുമാനിച്ചാൽ:

${\textbf {M}}=0\,.$

ആഘൂർണങ്ങളുടെ ആകെ തുകയിൽ നിന്നും അജ്ഞാതമായ ആഘൂർണത്തിന്റെ വില കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഈ രണ്ടു സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വ്യൂഹത്തിൽമേൽ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന രോധ(load)ങ്ങളുടെ (ബലങ്ങളും ആഘൂർണങ്ങളും) മൂല്യനിർദ്ധാരണം ചെയ്യാൻ സാധിക്കും.

ന്യൂട്ടന്റെ ഒന്നാം ചലനനിയമത്തിൽ നിന്നും ഒരു വ്യൂഹത്തിലെ ഏതുഭാഗത്തും സഞ്ചിതബലവും സഞ്ചിത ആഘൂർണവും പൂജ്യമാണെന്നു കാണാം. സഞ്ചിതബലങ്ങൾ പൂജ്യത്തോട് തുലനം ചെയ്യുന്നതിനെ സന്തുലനത്തിന്റെ ഒന്നാം വ്യവസ്ഥ എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ആഘൂർണം പൂജ്യത്തോട് തുലനം ചെയ്യുന്നതിനെ സന്തുലനത്തിന്റെ രണ്ടാം വ്യവസ്ഥ എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

സദിശങ്ങൾ

സ്ഥിതസന്തുലനത്തിലുളള ഒരു തുലാം(beam). ബലങ്ങളുടെയും ആഘൂർണങ്ങളുടെയും തുക പൂജ്യമാണ്.

പിണ്ഡം, താപനില എന്നിവപോലെ പരിമാണം മാത്രമുളള അളവുകളാണ് അദിശങ്ങൾ. സദിശങ്ങൾക്കാകട്ടെ പരിമാണവും ദിശയും ഉണ്ട്. ഒരു സദിശത്തെ പലരീതികളിൽ സൂചിപ്പിക്കാറുണ്ട്:

• കടുപ്പിച്ച അക്ഷരം കൊണ്ട് V
• അടിവരയിട്ടുകൊണ്ട് V
• അക്ഷരത്തിനുമുകളിൽ അമ്പടയാളം ഇട്ടുകൊണ്ട് ${\overrightarrow {V}}$.

സദിശങ്ങളെ സാമാന്തരികനിയമം കൊണ്ടോ ത്രികോണനിയമം കൊണ്ടോ സങ്കലനം ചെയ്യാൻ കഴിയും. സദിശങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ മൂലത്തിൽ പരസ്പരലംബങ്ങളായ ഘടകാംശങ്ങൾ ഉണ്ടാകും. x, y, z അക്ഷങ്ങളിലുളള ഏകമാത്രസദിശങ്ങളെ (unit vector) യഥാക്രമം (unit vector) i, j, k എന്നുപറയുന്നു.

ബലം

ഒരു വസ്തു മറ്റൊന്നിൻമേൽ ചെലുത്തുന്നതാണ് ബലം. ബലം ഒന്നുകിൽ തള്ളലോ അല്ലെങ്കിൽ വലിക്കലോ ആകാം കൂടാതെ അത് ഒരു വസ്തുവിനെ അതിന്റെ പ്രവർത്തനദിശയിലേയ്ക്ക് ചലിപ്പിക്കുന്നു. ബലത്തെ അതിന്റ പരിമാണം, അത് പ്രവർത്തിക്കുന്ന ദിശ, അതിന്റെ പ്രയുക്തബിന്ദു (point of application) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചാണ് വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത്. ബലത്തിന്റെ സ്വാധീനം അതിന്റെ പരിമാണത്തെ മാത്രമല്ല, ദിശയെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. അതിനാൽ അത് ഒരു സദിശമാണ്.

ബലങ്ങളെ സമ്പർക്കബലങ്ങൾ(contact forces) എന്നും ഉടൽബലങ്ങൾ(body forces) എന്നും തരംതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഭൗതികസമ്പർക്കം മൂലം ഉണ്ടാകുന്ന ബലമാണ് സമ്പർക്കബലം; ഉദാഹണമായി ഒരു വസ്തുവിന്മേൽ അതിനെ താങ്ങിനിർത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രതലത്തിൽ നിന്നും ചെലുത്തപ്പെടുന്ന ബലം. എന്നാൽ മറ്റൊരു വസ്തുവുമായി സമ്പർക്കത്തിൽ വരാതെ തന്നെ ഗുരുത്വബലം മൂലമോ വിദ്യുതപ്രഭാവത്താലോ കാന്തികപ്രഭാവത്താലോ ഒരു വസ്തുവിൽ ഉണ്ടാകുന്നതാണ‌് ഉടൽബലം. ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഭാരം ഉടൽബലത്തിന് ഒരുദാഹരണമാണ്.

ബലത്തിന്റെ ആഘൂർണം

ബലത്തിന്റെ പ്രയുക്തദിശയിലേയ്ക്ക് വസ്തുക്കളെ ചലിപ്പിക്കുന്നതിലുപരി ഒരു ബലത്തിന് വസ്തുക്കളെ ഒരു അക്ഷത്തിനെ ആധാരമാക്കി കറക്കാനും കഴിയും. ഈ അക്ഷം ഒരിക്കലും ബലത്തിന്റെ പ്രയുക്തരേഖയ്ക്ക് (line of action) സമാന്തരമോ സംഗാമമോ (Intersect) ആയിരിക്കില്ല. കറങ്ങാനുളള ഈ പ്രവണതയെ ആണ് ബലത്തിന്റെ ആഘൂർണം ('moment, M) എന്നുപറയുന്നത്. ഈ ആഘൂർണത്തെ ചുഴറ്റുബലം (torque) എന്നും പരാമർശിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ബിന്ദുവിനെ ആധാരമാക്കിയുളള ആഘൂർണം

F എന്നബലത്തിന്റെ ആഘൂർണ ഭുജ(arm)ത്തിന്റെ രേഖാചിത്രം.

ഒരു ബലത്തിന്റ O എന്ന ബിന്ദുവിലെ ആഘൂർണം ആ ബലത്തിന്റെ പ്രയുക്തരേഖയും O യുമായുളള ലംബദൂരവും ബലത്തിന്റെ അളവും തമ്മിലുളള ഗുണനഫലമാണ്:

M = F · d

ഇതിൽ,

F = പ്രയോഗിച്ച ബലം

d = അക്ഷത്തിൽ നിന്നും ബലത്തിന്റെ പ്രയുക്തരേഖയിലേയ്ക്കുളള ലംബദൂരം. ലംബദൂരത്തിന് ആഘൂർണഭുജം (Moment arm) എന്നുപറയുന്നു.

ആഘൂർണത്തിന്റെ ദിശ വലംകൈനിയമപ്രകാരം (right hand rule) വിവക്ഷിക്കുന്നു. അതായത്, എതിർഘടികാരദിശ താളിനു പുറത്തേയ്ക്കും ഘടികാരദിശ താളിനകത്തേയ്ക്കും. ആഘൂർണത്തിന്റെ ദിശ ചിഹ്നനസംബ്രദായത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. അധിക(+)ചിഹ്നം എതിർഘടികാര ആഘൂർണത്തിനും ന്യൂന(−)ചിഹ്നം ഘടികാര ആഘൂർണത്തിനും തിരിച്ചും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആഘൂർണങ്ങളെ സദിശങ്ങളുടെ മാതിരി സങ്കലനം ചെയ്യാൻ സാധിക്കും.

സദിശരൂപത്തിൽ ആഘൂർണം എന്നാൽ ആര-സദിശ(radius vector)മായ r ന്റെയും ബലസദിശമായ F ന്റെയും സദിശഗുണനഫലം (Cross product) ആണ‌്.

${\textbf {M}}_{O}={\textbf {r}}\times {\textbf {F}}$

$r=\left({\begin{array}{cc}x_{00}&...&x_{0j}\\x_{01}&...&x_{1j}\\...&...&...\\x_{i0}&...&x_{ij}\\\end{array}}\right)$

$F=\left({\begin{array}{cc}f_{00}&...&f_{0j}\\f_{01}&...&f_{1j}\\...&...&...\\f_{i0}&...&f_{ij}\\\end{array}}\right)$

വരിഗ്നൻ സിദ്ധാന്തം

ഒരു ബിന്ദുവിനെ ആധാരമാക്കിയുളള ഒരു ബലത്തിന്റെ ആഘൂർണങ്ങളുടെ ആകെതുക ആ ബലത്തിന്റെ ഘടകാംശ()ങ്ങൾക്ക് ആ ബിന്ദുവിലുളള ആഘൂർണങ്ങളുടെ ആകെതുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും എന്നാണ് വരിഗ്നൻ സിദ്ധാന്തം പ്രസ്താവിക്കുന്നത്.