"രേഖീയസമവാക്യം" എന്ന താളിന്റെ പതിപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
Content deleted Content added
റ്റാഗ്: 2017 സ്രോതസ്സ് തിരുത്ത് |
റ്റാഗ്: 2017 സ്രോതസ്സ് തിരുത്ത് |
||
വരി 122:
''y'' യെ ''x'' ന്റെ ഫലനം ആയി എഴുതിയാൽ താഴെ കാണുന്ന സമവാക്യം ലഭിയ്ക്കും:
:<math>y = m(x - a)</math>
===ബിന്ദു–ആനതി രൂപം===
:<math>y - y_1 = m( x - x_1 ),\,</math>
''m'' എന്നത് സ്ലോപ്പും(ആനതി) (''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>) എന്നത് രേഖയിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവുമാണ്. രേഖീയസമവാക്യത്തിന്റെ ഈ രൂപം മുകളിൽ എഴുതിയ അംശബന്ധത്തിന്റെ ആശയം കൂടുതൽ സ്പഷ്ടമായി കാണിയ്ക്കുന്നു. ഒരു നേർരേഖയിലെ ഏതു രണ്ടു ബിന്ദുക്കളുടെയും ''y'' നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ''x'' നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത മടങ്ങ് (''m'') ആണെന്നാണ് ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നത്.
===ബിന്ദു–ബിന്ദു രൂപം===
:<math>y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1),\,</math>
(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>), (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) എന്നിവ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ ആണ്. മുകളിൽ കൊടുത്ത ബിന്ദു-ആനതി രൂപത്തിന്റ മറ്റൊരു രൂപമാണിത്. ഈ സമവാക്യത്തിൽ 'x''<sub>2</sub> ≠ ''x''<sub>1</sub> ആയിരിയ്ക്കണം. സ്ലോപ്പ് ''m'' എന്നതിനെ താഴെക്കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്നതു പോലെ എഴുതിയിരിയ്ക്കുന്നു.
(''y''<sub>2</sub> − ''y''<sub>1</sub>)/(''x''<sub>2</sub> − ''x''<sub>1</sub>)
ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടു വശങ്ങളെയും (''x''<sub>2</sub> − ''x''<sub>1</sub>) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ ''സമമിതരൂപം'' എന്നറിയപ്പെടുന്ന രൂപം ലഭിയ്ക്കും.
:<math>(x_2 - x_1)(y - y_1)=(y_2 - y_1)(x - x_1).\,</math>
ഇതിനെ വികസിപ്പിച്ചെഴുതിയാൽ മുകളിൽ കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്ന സാമാന്യ രൂപം ലഭിയ്ക്കുന്നു:
:<math>x\,(y_2-y_1) - y\,(x_2-x_1)= x_1y_2 - x_2y_1</math>
[[സാരണികം]] (determinant) ഉപയോഗിച്ച് ഇതിന്റെ സാരണികരൂപം എഴുതാവുന്നതാണ്:
:<math>
\begin{vmatrix}
x&y&1\\
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1
\end{vmatrix}
=0\,.</math>
===ഇന്റർസെപ്റ്റ് രൂപം===
: <math>\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1,\,</math>
''a'' യും ''b'' യും പൂജ്യം ആകരുത്. ഇതിന്റെ ആരേഖത്തിൽ ''x''-ഇന്റർസെപ്റ്റ് ''a'' യും ''y''-ഇന്റർസെപ്റ്റ് ''b'' യും ആകുന്നു. നേർരേഖയുടെ സാമാന്യരൂപത്തെ ''A''/''C'' = 1/''a'' ആയും ''B''/''C'' = 1/''b'' ആയും മാറ്റി ഇന്റർസെപ്റ്റ് രൂപത്തിലേക്ക് ആക്കാം. ആധാരബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖകളോ ലംബരേഖകളോ തിരശ്ചീനരേഖകളോ ഇപ്രകാരം രേഖപ്പെടുത്താൻ സാധ്യമല്ല.
===ചതുരമൂശ (മാട്രിക്സ്) രൂപം===
[[matrix | ചതുരമൂശകൾ]] ഉപയോഗിച്ച് സാമാന്യരൂപത്തെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
:<math>\begin{pmatrix} A&B \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}C\end{pmatrix}.</math>
ഇതേ മാതൃക ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയസമവാക്യങ്ങളുടെ താഴെക്കാണുന്ന ഒരു സിസ്റ്റത്തെ
: <math>A_1x + B_1y = C_1,\,</math>
: <math>A_2x + B_2y = C_2,\,</math>
ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
:<math>
\begin{pmatrix}
A_1&B_1\\
A_2 & B_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
C_1\\
C_2
\end{pmatrix}.</math>
ഈ രൂപം രണ്ടുമാനങ്ങൾക്കു മാത്രം ബാധകമായ ഒന്നല്ല. എത്ര ചരങ്ങൾ ഉള്ള സിസ്റ്റം ആയാലും ഈ രൂപത്തിൽ ഒരു മാട്രിക്സ് നിർമ്മിച്ച് രേഖപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. [[linear algebra |രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിൽ]] ഇത്തരത്തിൽ എഴുതുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ ചതുരമൂശകളുടെ അടിസ്ഥാനസങ്കേതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള വ്യത്യസ്തത പ്രക്രിയകൾ വഴി നിർദ്ധരിയ്ക്കാവുന്നതാണ്. [[Gauss-Jordan | ഗൗസ്-ജോർദാൻ രീതി]] ഇത്തരം ഒരു പ്രക്രിയയാണ്.
===പാരാമെട്രിക്‌ രൂപം===
:<math>x = T t + U\,</math>
:<math>y = V t + W.\,</math>
മുകളിലെ രണ്ടു സമവാക്യങ്ങൾ ഒരുമിച്ചു ചേർന്നതാണ് പാരാമെട്രിക്‌ രൂപം. ഇവിടെ ''t'' എന്നത് മാറിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കുന്ന ഒരു പാരാമീറ്റർ ആണ്. ''x'' ഉം ''y'' ഉം ഈ പാരാമീറ്ററിന്റെ വിലകൾക്കനുസരിച്ച് മാറിക്കൊണ്ടിരിയ്ക്കുന്നു. ഈ രേഖയുടെ സ്ലോപ്പ് {{nowrap|1=''m'' = ''V'' / ''T''}} ഉം ''x''-ഇന്റർസെപ്റ്റ് {{nowrap|1=(''VU'' - ''WT'') / ''V''}} ഉം ''y''-ഇന്റർസെപ്റ്റ് {{nowrap|1=(''WT'' - ''VU'') / ''T''}} ഉം ആണ്.
===പ്രത്യേക രൂപങ്ങൾ===
: <math>y = b\,</math>[[File:y is b.svg|thumb|തിരശ്ചീനരേഖ ''y'' = ''b'']]
ഇത് സാമാന്യരൂപത്തിൽ ''A'' = 0 വും ''B'' = 1 ഉം ആകുന്ന ഒരു പ്രത്യേക കേസ് ആണ്. ഈ നേർരേഖയുടെ ആരേഖം ഒരു തിരശ്ചീനരേഖയാകുന്നു. ഇതേ ''y'' അക്ഷത്തെ ''b'' എന്ന ബിന്ദുവിൽ സന്ധിയ്ക്കുന്നു. ഇതിന് ''x'' ഇന്റർസെപ്റ്റ് ഇല്ല. ''b'' = 0 ആണെങ്കിൽ ഇത് ''x'' അക്ഷം തന്നെയാണ്.
: <math>x = a\,</math>[[File:x is a.svg|thumb|ലംബരേഖ ''x'' = ''a'']]
ഇത് സാമാന്യരൂപത്തിൽ ''A'' = 1 ഉം ''B'' = 0 വും ആകുന്ന ഒരു പ്രത്യേക കേസ് ആണ്. ഈ ലംബരേഖ ''x'' അക്ഷത്തെ ''a'' എന്ന ബിന്ദുവിൽ സന്ധിയ്ക്കുന്നു. ''a'' = 0 ആണെങ്കിൽ ഇത് ''y'' അക്ഷത്തിന്റെ തന്നെ സമവാക്യം ആകുന്നു.
== ഇവയും കാണുക ==
| |||