ദ്വിമാനസമവാക്യം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ദ്വിമാനസമവാക്യം എന്നത് കൃതി രണ്ടായ ഒരു ബഹുപദസമവാക്യമാണ്. ഇതിന്റെ പൊതുരൂപം

$ax^{2}+bx+c=0,\,\!$ a ≠ 0 എന്നാണ്‌.

a, b,c ഇവയെ ഗുണോത്തരങ്ങൾ എന്ന് പറയുന്നു.a,x²ന്റെ കൃതിയും b,xന്റെ കൃതിയും c സ്ഥിരാങ്കവും ആണ്.

ദ്വിമാന സൂത്രവാക്യം

ഒരു ദ്വിമാനസമവാക്യത്തിന് രണ്ട് മൂലങ്ങൾ ഉണ്ട്.ഇവ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളോ വാസ്തവികസംഖ്യകളോ ആവാം. മൂലങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$ എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

"±" എന്ന ചിഹ്നം രണ്ട് മൂലങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കാനാണുപയോഗിക്കുന്നത്.ഇവ

$x_{+}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\textrm {and}}\quad \ x_{-}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ആണ്.

വിവേചകം

വിവേചകത്തിന്റെ ചിഹ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണം
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

മുകളിൽ പ്രസ്താവിച്ച സൂത്രവാക്യത്തിൽ വർഗ്ഗമൂലം എന്ന ചിഹ്നത്തിനു അടിയിൽ കിടക്കുന്ന സംഖ്യയേയാണ് വിവേചകം എന്ന് പറയുന്നത്.ഇതിനെ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം.

$\Delta =b^{2}-4ac,\,\!$

വാസ്തവിക ഗുണോത്തരങ്ങളുള്ള ദ്വിമാനസംകവാക്യത്തിന് സമ്മിശ്രമൂലങ്ങളോ വാസ്തവികമൂലങ്ങളോ ഉണ്ടാവാം.വിവേചകമാണ് മൂലങ്ങളുടെ സ്വഭാവത്തേയും എണ്ണത്തേയും നിർണ്ണയിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

• വിവേചകത്തിന് ധനമൂല്യമാണുള്ളതെങ്കിൽ വ്യത്യസ്തങ്ങളായ രണ്ട് വാസ്തവികമൂലങ്ങളാണ് ദ്വിമാനസമവാക്യത്തിനുണ്ടാവുക.
• വിവേചകത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യം ആണെങ്കിൽ തുല്യങ്ങളായ മൂലങ്ങളാണുണ്ടാവുക.

$x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!$

• വിവേചകത്തിന് ഋണമൂല്യമാണെങ്കിൽ വ്യത്യസ്തങ്ങളായ സമ്മിശ്രസംഖ്യകളായിരിക്കും മൂലങ്ങൾ.

${\begin{aligned}x&={\frac {-b}{2a}}+ix&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}},\\i^{2}&=-1.\end{aligned}}$