ഘൂർണന ആരം

ഒരു ഭ്രമണ അക്ഷത്തെ ആധാരമാക്കിയുളള ഒരു വസ്തുവിന്റെ ഘൂർണനആരം ( Radius of Gyration) എന്നാൽ ആ വസ്തുവിന്റെ യഥാർത്ഥ പിണ്ഡവിതാനം മൂലമുണ്ടാകുന്ന അതേ ജഢത്വാഘൂർണം ആ വസ്തുവിന്റെ ആകെ പിണ്ഡം ഒരു ബിന്ദുവിൽ കേന്ദീകരിച്ചിരുന്നാൽ ഉണ്ടാകുമെങ്കിൽ ആ ബിന്ദുവിലേയ്ക്കുളള അകലമാണ്. .

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഘൂർണന ആരം എന്നാൽ അതിന്റെ പിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നോ അല്ലെങ്കിൽ ഏതെങ്കിലും നിശ്ചിത അക്ഷത്തിൽ നിന്നോ ഉളള ആ വസ്തുവിന്റെ ഭാഗങ്ങങ്ങളുടെ അകലത്തിന്റെ വർഗ്ഗശരാശരിമൂലം ആണ്. കറങ്ങുന്ന ഒരു പിണ്ഡത്തിനെ ഒറ്റബിന്ദുവായി സങ്കല്പിച്ചാൽ ആ ബിന്ദുവിന് അതിന്റെ ഭ്രമണാക്ഷവുമായുളള ലംബദൂരമാണ് ഇത്.

ഒരു വസ്തു $m$ പിണ്ഡമുളള $n$ ഘടകഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് കരുതുക. $r_{1},r_{2},r_{3},\dots ,r_{n}$ എന്നിവ ഭ്രമണത്തിന്റെ അക്ഷത്തിൽ നിന്ന് അവയുടെ ലംബമായ അകലമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. ഭ്രമണാക്ഷത്തെ ആധാരമാക്കിയുളള ആ വസ്തുവിൻ്റെ ജഢത്വാഘൂർണം $I$ എന്നാൽ

$I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}$

എല്ലാ പിണ്ഡങ്ങളും തുല്യമായാൽ ( $m$ ), ജഢത്വാഘൂർണം, $I=m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})$ .

$m=M/n$ ആയതിനാൽ ( $M$ എന്നാൽ ആകെ പിണ്ഡം),

$I=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n$

മുകളിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്,

$MR_{g}^{2}=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n$

ഘൂർണന ആരം എന്നാൽ ഘടകഭാഗങ്ങൾക്ക് അക്ഷത്തിൽ നിന്നുളള ദൂരത്തിന്റെ വർഗ്ഗശരാശരിമൂലമാണ്.

$R_{g}^{2}=(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n$

ബലതന്ത്രത്തിലെ പ്രായോഗിക ഉപയോഗങ്ങൾ

ഒരു അക്ഷത്തെ ആസ്പദമാക്കിയുളള ഘൂർണന ആരം ( $r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}$ ) ആ അക്ഷത്തെ ചുറ്റിയുളള പിണ്ഡജഢത്വാഘൂർണത്തിന്റെയും $I_{\text{axis}}$ മൊത്തം പിണ്ഡത്തിന്റെയും m അടിസ്ഥാനത്തിൽ കണക്കാക്കാം;

$r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}^{2}={\frac {I_{\text{axis}}}{m}}$

അഥവാ

$r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}={\sqrt {\frac {I_{\text{axis}}}{m}}}$

$I_{\text{axis}}$ ഒരു അദിശപരിമാണമാണ്,

തന്മാത്രീയതലത്തിലുളള പ്രായോഗിക ഉപയോഗങ്ങൾ

പോളിമർ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ , പോളിമർ ശൃംഖലയുടെ അളവുകൾ വിവരിക്കാൻ ഘൂർണന ആരം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു നിശ്ചിത സമയത്തിലുളള ഒരു തന്മാത്രയുടെ ഘൂർണന ആരം ഇപ്രകാരമാണ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2}$

ഇവിടെ $\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }$ മോണോമറുകളുടെ ശരാശരി സ്ഥാനം. ചുവടെ വിശദമാക്കിയിരിക്കുന്നതുപോലെ, മോണോമറുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ വർഗ്ഗശരാശരിമൂലത്തിന് ആനുപാതികമാണ് ഘൂർണന ആരം:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right)^{2}$

അവലംബം

• ഗ്രോസ്ബെർഗ് എ.വൈ, ഖോക്ലോവ് എ.ആർ. (1994) സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഫിസിക്സ് ഓഫ് മാക്രോമോളികുൾസ് (അറ്റനോവ് വൈഎ വിവർത്തനം ചെയ്തത്), എഐപി പ്രസ്സ്.ISBN 1-56396-071-0ISBN 1-56396-071-0
• ഫ്ലോറി പി.ജെ. (1953) പോളിമർ കെമിസ്ട്രിയുടെ തത്ത്വങ്ങൾ, കോർനെൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റി, പേജ്. 428–429 (പത്താം അധ്യായത്തിന്റെ അനുബന്ധം സി).