കൺവേർജന്റ് സീരിസ്

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, അനന്തമായ അനുക്രമ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ഒരു ശ്രേണി എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, അനന്തമായ ഒരു അനുക്രമം $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$, ഉപയോഗിച്ച് S എന്ന ഒരു ശ്രേണിയെ ഇപ്രകാരം നിർവ്വചിക്കാം,

$S=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.$

അനുക്രമത്തിലെ ആദ്യത്തെ n സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ് n-ാമത് ആംശിക തുക (Partial sum) അഥവാ S_n,

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

ഒരു ശ്രേണി അഭിസരണമാണെങ്കിൽ (Convergent series) ആ ശ്രേണിയുടെ ആംശികതുകകളായ $(S_{1},S_{2},S_{3},\dots )$ എന്നിവ ഒരു പരിധിയിലേയ്ക്ക് പ്രവണമാകും; അതിനർത്ഥം, ഓരോ തവണയും $a_{k}$ എന്ന അംഗത്തെ കൂട്ടിക്കിട്ടുന്ന ആംശികതുക ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യയുമായി കുടുതൽ കൂടുതൽ അടുത്തുകൊണ്ടിരിക്കും.

$\left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .$

ശ്രേണി അഭിസരണമാണെങ്കിൽ , $\ell$ നെ ആ ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ശ്രേണി അതിൻ്റെ ആകെത്തുകയിലേയ്ക്ക് അഭിസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അതിനെ മേൽപ്പറഞ്ഞ അതേ പ്രതീകമായ,

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സങ്കലനക്രിയയ്ക്ക് ഉപയോഗിക്കാറുളള അതേ സമ്പ്രദായത്തിന് തുല്യമാണ് ഇതും: a + b എന്നാൽ a, b എന്നിവയുടെ സങ്കലനക്രിയയെ മാത്രമല്ല സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ആ സങ്കലനക്രിയയുടെ തുകയെക്കൂടിയാണ്.

അഭിസരണമല്ലാത്ത ശ്രേണികളെ അപസരണ ശ്രേണികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കൺവർജന്റും ഡൈവർജന്റുമായ ശ്രേണികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

• ധന പൂർണസംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു ഡൈവർജന്റ് ശ്രേണി (ഹാർമോണിക ശ്രേണി) ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .$

• ധന പൂർണസംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റം വരുത്തിയാൽ അത് ഒരു കൺവർജന്റ് ശ്രേണി ( പ്രത്യാവർത്തി ഹാർമോണിക ശ്രേണി) ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)$

• അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അപസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. :

  ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .$

• ത്രിഭുജസംഖ്യകളുടെ (triangular numbers) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  ${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.$

• ക്രമഗുണിതങ്ങളുടെ (factorials) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അപസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു ( e കാണുക):

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.$

• വർഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ (square numbers) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. (ബേസൽ സമസ്യ):

  ${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.$

• 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. (അതുകൊണ്ടുതന്നെ 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ ഗണം "ചെറുത്" ആണ്):

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.$

• n>1 ആയവയുടെ ഘാതത്തിൻ്റെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  ${1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.$

• 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുന്നത് ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.$

• n>1 ആയവയുടെ ഘാതത്തിൻ്റെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുന്നത് ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

  ${1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.$

• ഫിബനാസി സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു. (ψ കാണുക):

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .$

കൺവർജൻസ് പരിശോധനകൾ

ഒരു ശ്രേണി അഭിസരിക്കുന്നുവോ അപസരിക്കുന്നുവോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്.

നീല ശ്രേണിയായ, $\Sigma b_{n}$, അഭിസരണമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ, ചെറിയ ശ്രേണിയായ, $\Sigma a_{n}$ അഭിസരണമായിരിക്കും. സമാനമായി, ചുവന്ന ശ്രേണിയായ $\Sigma a_{n}$ അപസരണമാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ $\Sigma b_{n}$ ഉം അപസരണമായിരിക്കും.

താരതമ്യ പരിശോധന . അനുക്രമം $\left\{a_{n}\right\}$ ലെ പദങ്ങലെ മറ്റൊരു അനുക്രമം $\left\{b_{n}\right\}$ ഉം ആയി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ,

എല്ലാ n നും, $0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}$, $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ അഭിസരിക്കുന്നു, $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$നും അതു തന്നെ സംഭവിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും,

എല്ലാ n നും, $0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}$, $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ അപസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$ നും അതുതന്നെ സംഭവിക്കും.

അനുപാത പരിശോധന (Ratio test) . എല്ലാ n- നും , $a_{n}$ പൂജ്യമല്ല എന്നു സങ്കൽപ്പിക്കുക. $r$ എന്നൊന്ന് താഴെപ്പറയും പ്രകാരം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

r <1 ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി തികച്ചും അഭിസരണമാണ്. r > 1, ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അപസരണമാണ്. r = 1, ആണെങ്കിൽ, അനുപാത പരിശോധന അനിശ്ചിതമാണ്, ശ്രേണി അഭിസരണമോ അപസരണമോ ആകാം.

വർഗ്ഗമൂല പരിശോധന (Root test) അല്ലെങ്കിൽ n ാം വർഗ്ഗമൂലപരിശോധന. പ്രസ്തുത ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങൾ ഋണമല്ലെന്ന് കരുതുക. r ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവ്വചിക്കുക:

$r=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

ഇവിടെ "lim sup" എന്നത് പരമോന്നത പരിധിയെ (limit superior) സൂചിപ്പിക്കുന്നു (അത് ∞ ആയേക്കാം).

r <1 ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അഭിസരണമാണ്. r > 1, ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അപസരണമാണ്. r = 1, ആണെങ്കിൽ, വർഗ്ഗമൂല പരിശോധന അനിശ്ചിതമാണ്, ശ്രേണി അഭിസരണമോ അപസരണമോ ആകാം.

അനുപാത പരിശോധനയും വർഗ്ഗമൂല പരിശോധനയും ഒരു ജ്യാമിതീയ ശ്രേണിയുമായുള്ള താരതമ്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, അതുപോലെ തന്നെ അവ സമാന സാഹചര്യങ്ങളിൽ വർത്തിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, അനുപാത പരിശോധന വിജയകരമാണെങ്കിൽ വർഗ്ഗമൂലപരിശോധനയും വ്യത്യസ്തമാകുകയില്ല; അതിനാൽ, വർഗ്ഗമൂല പരിശോധനയാണ് കൂടൂതൽ പ്രായോഗികം, എന്നാൽ സാധാരണയായി കാണുന്ന തരത്തിലുള്ള ശ്രേണികളുടെ പരിധി കണക്കാക്കുന്നത് പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

സമാകലന പരിശോധന (Integral Test) . അഭിസരണവും അപസരണവും നിർണയിക്കുന്നതിന് ശ്രേണിയെ ഒരു സമാകല(Integral)വുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാം. $f(n)=a_{n}$ ഒരു പോസിറ്റീവും ഏകതാനമായി കുറയുന്ന ഫലനവും ആണെന്നിരിക്കട്ടെ,

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$

ആയാൽ ശ്രേണി അഭിസരിക്കും. എന്നാൽ സമാകല്യം അപസരിച്ചാൽ ശ്രേണിക്കും അതു തന്നെ സംഭവിക്കും.

പരിധി താരതമ്യ പരിശോധന (Limit comparison test) . $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$ ഉം, $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ എന്ന പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കുകയും, അത് അപൂജ്യവുമാണെങ്കിൽ, $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ അഭിസരിച്ചാൽ മാത്രമേ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ യും അഭിസരിക്കുകയുളളു.

യൂണിഫോം കൺവർജൻസ് (Uniform convergence)

$\left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}$ എന്നിവ ഫലനങ്ങളുടെ ഒരു അനുക്രമം ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ എന്ന ശ്രേണി f ലേയ്ക്ക് ഏകതാനമായി അഭിസരിക്കുന്നു എന്ന് പറയണമെങ്കിൽ ആംശികതുകകളുടെ അനുക്രമമായ $\{s_{n}\}$ ,

$s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$

എന്നത് f ലേയ്ക്ക് ഏകതാനമായി അഭിസരിക്കണം.

പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ

• വെയ്സ്റ്റീൻ, എറിക് (2005). റീമൻ സീരീസ് സിദ്ധാന്തം . ശേഖരിച്ചത് മെയ് 16, 2005.