ക്രമഗുണിതം

ഋണമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യയും അതിനേക്കാൾ ചെറിയ എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളും തമ്മിൽ ഗുണിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ഫലമാണ് ആ പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഫാക്ടോറിയൽ (Factorial) അഥവാ ക്രമഗുണിതം. ഗണിതത്തിൽ n എന്ന സംഖ്യയുടെ ഫാക്ടോറിയലിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് n! എന്നാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ:

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5,040
8	40,320
9	362,880
10	3,628,800
11	39,916,800
12	479,001,600
13	6,227,020,800
14	87,178,291,200
15	1,307,674,368,000
20	2,432,902,008,176,640,000
25	15,511,210,043,330,985,984,000,000
50	3.04140932... × 1064
70	1.19785717... × 10100
450	1.73336873... × 101,000
1754	1.979262... × 104,930
3,249	6.41233768... × 1010,000
25,206	1.205703438... × 10100,000
47,176	8.4485731495... × 10200,001
100,000	2.8242294079... × 10456,573
1,000,000	8.2639316883... × 105,565,708
9.99... × 10304	1 × 103.045657055180967... × 10307

ആദ്യത്തെ ഏതാനും സംഖ്യകളുടേയും തിരഞ്ഞെടുത്ത വലിയ സംഖ്യകളുടേയും ഫാക്ടോറിയലുകൾ (പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അനുക്രമങ്ങളുടെ ഓൺലൈൻ വിജ്ഞാനകോശത്തിൽ A000142)

$5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120\$

$6!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6=720.\$

നിർവ്വചനം

ഫാക്ടോറിയലിന്റെ ഔപചാരിക നിർവ്വചനം

$n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} \!$

അല്ലെങ്കിൽ തുടർച്ചയായുള്ള നിർവ്വചനം

$n!={\begin{cases}1&{\text{ if }}n=0\\n(n-1)!&{\text{ if }}n>0\\\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} .$

രണ്ട് നിർവ്വചനങ്ങളിലും ഇതുകൂടി ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

$0!=1\$

ശൂന്യമായ സംഖ്യകളുടെ തുക 1 ആണെന്ന വസ്തുത ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഫാക്ടോറിയലിന് പ്രയോജനപ്രദമാണ് ഈ വസ്തുത, കാരണം:

• $(n+1)!=n!\times (n+1)$ എന്ന ആവർത്തന ബന്ധം (recurrence relation) $n>0$ എന്നതിന് (പൂജ്യത്തിനു മുകളിലുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകൾക്കും) സാധ്യമാകുന്നു;
• അനന്ത ബഹുപദങ്ങൾക്കുള്ള (polynomials) വ്യഞ്ജകങ്ങളുടെ (expressions) ലളിതമായ രൂപവത്കരണത്തിനി ഇത് സഹായിക്കുന്നു, ഉദാ: $e^{x}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$;
• കോമ്പിനേറ്റോറിക്സിലെ പല സമകങ്ങളേയും (identities) പൂജ്യം വലിപ്പങ്ങളിലും ഇത് സാധൂകരിക്കുന്നു. ഒരു ശൂന്യഗണത്തിൽ നിന്ന് 0 അംഗങ്ങളെ എടുക്കാവുന്ന വഴി നോക്കുക: ${\binom {0}{0}}={0! \over 0!0!}=1$.