വിശ്ലേഷകജ്യാമിതി

ബീജീയസമ്പ്രദായങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്ഷേത്രഗണിതത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾക്കു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയാണ് വിശ്ളേഷകജ്യാമിതി (Analytic Geometry). നിർദ്ദേശാങ്കജ്യാമിതി (Co-ordinate Geometry), കാർത്തീയജ്യാമിതി (Cartesian Geometry) എന്നീ പേരുകളിലും ഇതറിയപ്പെടുന്നു.

സിറാക്കൂസിലെ ആർക്കിമിഡീസിന്റെയും പെർഗയിലെ അപ്പോളോണിയസിന്റെയും കാലഘട്ടം മുതൽ ഈ ഗണിത ശാഖയെപ്പറ്റിയുള്ള ചില പരിജ്ഞാനശകലങ്ങൾ പ്രചരിച്ചിരുന്നു. ഈജിപ്തുകാർക്ക് ഇതേപ്പറ്റി സ്ഥൂലമായ ജ്ഞാനം ഉണ്ടായിരുന്നതായി കരുതപ്പെടുന്നു. എങ്കിലും ഈ ശാസ്ത്രശാഖയ്ക്കു വികാസം സിദ്ധിച്ചത് പിയേർ ദെ ഫെർമെ (1601-65), റെനെ ദെക്കാർത്ത് (1596-1650) എന്നീ ഫ്രഞ്ചു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻമാരുടെ കാലത്തായിരുന്നു. ഐസക് ന്യൂട്ടൻ (1642-1727), ലൈബ്നിറ്റ്സ് (1646-1716) എന്നിവരും മികച്ച സംഭാവനകൾ ഈ ശാഖയ്ക്കു നല്കിയിട്ടുണ്ട്.

അക്ഷങ്ങളും നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളും

ഒരു സമതലത്തിൽ O എന്നൊരു സ്ഥിരബിന്ദുവിൽകൂടി രണ്ടു ലംബരേഖകൾ വരയ്ക്കുക. ഈ രേഖകളെ ആധാരമാക്കി ആ സമതലത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവും അടയാളപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. ചിത്രം 1-ൽ O കേന്ദ്രവും XOY', YOY' എന്നീ പരസ്പരലംബങ്ങളായ രേഖകൾ നിർദ്ദേശാക്ഷങ്ങളും(Co-ordinates axes) ആണ്. 1, II, III, IV എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന നാലു ഭാഗങ്ങളായി ഈ സമതലത്തെ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ഓരോ ഭാഗത്തിനും പാദഖണ്ഡം അഥവാ പാദാംശം(quadrant) എന്നു പറയുന്നു. p ഒരു സാമാന്യബിന്ദു ആണെന്നു കരുതുക; PL, X-അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള ലംബമാണെങ്കിൽ OL, LP എന്നിവയുടെ നീളം X,Y, എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം.X,Y എന്നിവ ക്രമത്തിൽ P-യുടെ X-നിർദ്ദേശാങ്കവും Y-നിർദ്ദേശാങ്കവുമാണ്. O-ൽ നിന്നു OX ദിശയിൽ അളക്കുന്നതെല്ലാം ധനാത്മകവും(positive), OX എന്ന ദിശയിലുള്ളത് ഋണാത്മകവും (negative) ആയി പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. അതുപോലെ OY ധനാത്മകവും, OY' ഋണാത്മകവും. ഈ സങ്കല്പങ്ങളനുസരിച്ച് ചിത്രം(1) OL,LP, എന്നിവ ധനാത്മകമാണ്. ഒന്നാം പാദഖണ്ഡത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ രണ്ടും ധനാത്മകമാണ്; രണ്ടാം പാദത്തിൽ X ഋണാത്മകവും Y ധനാത്മകവും; മൂന്നിൽ രണ്ടും ഋണാത്മകം; നാലിൽ X ധനാത്മകവും Y ഋണാത്മകവും. ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ x-നിർദ്ദേശാങ്കത്തെ 'ആബ്സിസ' എന്നും y-നിർദ്ദേശാങ്കത്തെ 'ഓർഡിനേറ്റ്' എന്നും പറയാറുണ്ട്. p എന്ന ബിന്ദുവിനെ (x, y) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

തിര്യഗക്ഷങ്ങൾ

ലംബമല്ലാത്ത രണ്ടു നേർവരകൾ അവയുടെ സമതലത്തിലെ ബിന്ദുക്കളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാനുള്ള അക്ഷങ്ങളായി ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ് (ചിത്രം 2). ഇതിൽ o കേന്ദ്രവും xox', yoy' അക്ഷരേഖകളുമാണ്; pഏതെങ്കിലുമൊരു സാമാന്യബിന്ദുവും. p-ൽ നിന്നു yoy'നു സമാന്തരമായി ഒരു രേഖ വരച്ചാൽ അത് xox' നെ L എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഛേദിക്കുന്നു എന്നിരിക്കട്ടെ. എങ്കിൽ OL ആബ്സിസയും LP ഓർഡിനേറ്റുമാണ്.

XOX എന്ന X-അക്ഷരേഖയിലുള്ള ഏതു ബിന്ദുവിന്റെയും Y-നിർദ്ദേശാങ്കം (y-കോടി അഥവാ ഓർഡിനേറ്റ്) പൂജ്യവും YOY'ലുള്ള ബിന്ദുവിന്റെ x-നിർദ്ദേശാങ്കം (x-കോടി അഥവാ ആബ്സിസ) പൂജ്യവുമാണ്. അതുകൊണ്ട് x-അക്ഷത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവും (x,o) എന്നും y-അക്ഷത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവും (o,y) എന്നും സൂചിപ്പിക്കാം. ഈ രണ്ടു രേഖകളുടെയും സംഗമസ്ഥാനത്തെ പ്രഭവസ്ഥാനം (initial point) എന്നു വിളിച്ചുപോരുന്നു. ആ ബിന്ദുവിനെ (o,o) എന്ന നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾകൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കാം.

ബിന്ദുപഥങ്ങൾ

അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യോമട്രി അനുസരിച്ച്, നിയതമായ ഏതു വക്രരേഖയും (ordered curve) ചില പ്രത്യേകനിയമപ്രകാരം നീങ്ങുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ സഞ്ചാരപഥമാണ്. നിർദിഷ്ടമായ നിയമങ്ങളനുസരിച്ച് തുടർന്നുവരുമ്പോൾ ഒരു പഥം സംജാതമാകുന്നു. ഇതാണ്, സഞ്ചാരപഥമെന്നതുകൊണ്ട് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. ഇവിടെ ജ്യാമിതീയ നിയമങ്ങളെ ബീജീയ വാക്യങ്ങളായി മാറ്റുന്നു. x-അക്ഷത്തിൽനിന്ന് ഇരുവശത്തേക്കും നീങ്ങാത്ത ബിന്ദുക്കളുടെ പഥം XOX' എന്ന നേർവരതന്നെ. അതുകൊണ്ട് XOX'-ന്റെ സമവാക്യം y = 0. x-അക്ഷത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കൾക്കും അനുയോജ്യമായ നിയമമാണിത്. അതുപോലെ yoy'-ന്റെ സമവാക്യം X = 0. ഒരു സ്ഥിരബിന്ദു(fixed point)വിൽനിന്ന് എപ്പോഴും r ദൂരത്തിൽ കിടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ബിന്ദുപഥം ആ സ്ഥിരബിന്ദു കേന്ദ്രമാക്കിക്കൊണ്ടും, r വ്യാസാർധമാക്കിക്കൊണ്ടുമുള്ള വൃത്ത പരിധിയാണ്. ബിന്ദുപഥത്തിനു കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ തുടർന്നു കാണാവുന്നതാണ്.

നേർവരകൾ

നേർവരയെ പൊതുവായി പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നത് ഏകഘാത സമവാക്യ(first degree equation)ത്തിലൂടെയാണ്: ax + by + c = 0. ഒരു നേർവര ഉറപ്പിക്കാൻ അത്യാവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകളെ ആധാരമാക്കിയാണ് അതിന്റെ സമവാക്യം രൂപപ്പെടുന്നത്. (1) രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചാൽ ഒരു നേർവരയുണ്ടാകുന്നു. (II) ഒരു ബിന്ദുവും നേർവര X-അക്ഷവുമായുണ്ടാക്കുന്ന ചരിവുമാനവും (slope) അറിഞ്ഞാൽ ഒരു നേർവരയുണ്ടാക്കാം. (III) ചരിവുമാനവും y-അക്ഷരേഖയിലുണ്ടാക്കുന്ന ഛേദഖണ്ഡവും (intercept) അറിഞ്ഞാൽ ഒരു നേർവരയുണ്ടാക്കാം. (iv) രേഖ x, y അക്ഷങ്ങളിലുണ്ടാക്കുന്ന ഛേദഖണ്ഡങ്ങൾ അറിഞ്ഞാൽ ഒരു രേഖ വരയ്ക്കാം. സാധാരണയായി ഇത്തരത്തിലുള്ള വ്യവസ്ഥകളനുസരിച്ചാണ് നേർവരയുണ്ടാകുന്നത്.

(1) ചിത്രം 3-ൽ A,B ആ എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ (x₁, y₁), (x₂,y₂) ആണ്. ഇവ യോജിപ്പിച്ചുണ്ടാവുന്ന നേർവര(AB)യുടെ സമവാക്യം നിർണയിക്കാം. p(x,y) രേഖയിലുള്ള ഒരു സാമാന്യ ബിന്ദുവാണെങ്കിൽ AP,AB എന്നീ രേഖകൾ ഒരേ നേർവരയിലായതിനാൽ ചരിവുമാനങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കും. അതായത് . AC/PC = AD/BD ഇതിൽനിന്നു

y-y₁ / x- x₁ = y₁ - y ₂/x₁ - x₂ എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. അതായത്,

(ii) A(x₁,y₁) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടക്കുന്നതും mചരിവുമാനം ഉള്ളതുമായ നേർവരയുടെ സമവാക്യം എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. (1)-ൽ ചരിവുമാനമാണ്. ചരിവുകോൺ ø ആണെങ്കിൽ tanø ആണ് ചരിവുമാനം.

(iii) ചരിവുമാനം m-ഉം രേഖ y-അക്ഷത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഖണ്ഡം കേന്ദ്രത്തിൽനിന്ന് അളക്കുമ്പോൾ c-യുമാണെങ്കിൽ, രേഖ വരയ്ക്കാൻ കഴിയും. ചിത്രം 5 നോക്കിയാൽ p(x,y) രേഖയിലെ ഒരു സാമാന്യബിന്ദുവും OQ = c ഛേദഖണ്ഡവും øചരിവുകോണുമാണെന്നും കാണാം. എങ്കിൽ m = tanø = PN/QN; അതായത്

PN =m.QN. ഇതിൽനിന്നു y =mx + c എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. PQ എന്ന രേഖയുടെ സമവാക്യമാണിത്.

(iv) ചിത്രം 6 പരിശോധിച്ചാൽ a, b എന്നിവ, അക്ഷങ്ങളിലുണ്ടാക്കുന്ന ഛേദഖണ്ഡങ്ങളും p(x,y) ഒരു സാമാന്യബിന്ദുവുമാണെന്നു മനസ്സിലാക്കാം. ത്രികോണങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ സവിശേഷതയനുസരിച്ച് AM/AO = MP/OB ആണ്. ഇതിൽനിന്നു a-x/a = y/b എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. അതായത് x/a + y/b = 1

(V) (ചിത്രം 7). കേന്ദ്രത്തിൽനിന്നു AB എന്ന ഋജുരേഖയിലേക്കുള്ള ലംബത്തി(OM)ന്റെ നീളം p-ഉം OM x-അക്ഷവുമായുണ്ടാക്കുന്ന കോണം α-യുമാണ്. എങ്കിൽ AB-യുടെ സമവാക്യം

x cosα + y sinα = p ആയിരിക്കും.

മേല്പറഞ്ഞ സമവാക്യരൂപങ്ങളിൽനിന്നു മനസ്സിലാക്കാവുന്നത്, നേർവരയുടെ സമവാക്യം ഏകഘാതസമവാക്യമായിരിക്കുമെന്നതാണ്. അതായത്, ax + by + c = 0 രണ്ടു നേർവരകൾക്കിടയിലുള്ള കോണം ø ആണെങ്കിൽ താഴെ കാണുന്നവിധം കണക്കാക്കാൻ കഴിയും: (m1 > m2)

tan ø = m₁ - m₂ / 1+m₁ m₂

ഇവിടെ m₁,m₂ എന്നിവ, രേഖകളുടെ ചരിവുമാനമാണ്. രേഖകൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ,m₁= m₂; ലംബമാണെങ്കിൽ

m₁m₂ = -1.

ദ്വിഘാത സമവാക്യങ്ങൾ

പൊതുവായ ദ്വിഘാതസമവാക്യമാണ് ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 ചില വ്യവസ്ഥകളനുസരിച്ച് ഈ വാക്യം ഒരു ജോടി നേർരേഖകളെയോ ഒരു വൃത്തത്തെയോ മറ്റു കോണികഖണ്ഡങ്ങ(conic sections)ളെയോ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നതാണ്. രണ്ടു ഏകഘാതവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണിതമാണ് ഇതിലെ വാക്യമെങ്കിൽ ആ വാക്യം രണ്ടു നേർവരകളെ കുറിക്കുന്നു. ഈ വ്യവസ്ഥ നിർണയിക്കാൻ കഴിയും. abc + 2fgh- af ²- bg²- ch² = 0 എന്നതാണ് ഈ വ്യവസ്ഥ. x²,y² എന്നിവയുടെ ഗുണനാങ്കങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കയും, xyയുടെ ഗുണനാങ്കം പൂജ്യമായിരിക്കുകയുമാണെങ്കിൽ, അതായത് ax² + ay² + 2gx + 2fy + c = 0, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യമുണ്ടാകുന്നു.

x²+y²+2gx+2fy+c=0,

x²/a² + y² / b² = 1

y² = 4ax,x²/a² - y² /b² =1

എന്നീ പ്രത്യേക സമവാക്യ രൂപങ്ങൾ വൃത്തം, ദീർഘവൃത്തം (ellipse), പരവളയം (parabola), ബഹിർവളയം (hyperbola) എന്നിവയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിർദിഷ്ടാങ്കrപദ്ധതിയിലെ കേന്ദ്രം വൃത്തകേന്ദ്രമായും r വ്യാസാർധമായും ഉള്ള വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ചിത്രം 8-ൽ നിന്നു കണക്കാക്കാം: x² + y² = r².

ദൂരം

A (x₁,y₁), B (x₂, y₂) എന്നീ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം പിത്തഗറസ്തത്ത്വം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ചിത്രം 9-ൽ ACB ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്. BC² + AC² = AB ². ഇതിൽനിന്നു, AB=√(x₁ - x ₂)²+(y₁-y₂)² എന്നു നിർണയിക്കാം. ഇതിൽ B കേന്ദ്രത്തിൽ തന്നെയാണെങ്കിൽ BA, അതായത് OA=√x₁²+y₁²എന്നു കാണാം. (x₁,y₁)ൽ നിന്നു ax + by + c = 0 എന്ന നേർവരയിലേക്കു വരയ്ക്കുന്ന ലംബത്തിന്റെ നീളം,

x cos α+y sin α=p എന്ന സമവാക്യത്തോട് ax + by + c = 0 താരതമ്യപ്പെടുത്തിയാൽ കിട്ടുന്നതാണ്:

കേന്ദ്രത്തിൽനിന്നുള്ള ദൂരം താഴെ കാണുന്നവിധം ആണ് എന്നു മനസ്സിലാക്കാം. (കേന്ദ്രം:x1 = 0, y1 = 0)

p=+- ax₁+by₁+c/√a² +b²

വിസ്തീർണം

A (x₁,y₁), B (x₂, y₂), C (x₃,y₃) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ശീർഷ(vertices)ങ്ങളായുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണം കാണുന്നത്, ഈ ബിന്ദുക്കളിൽ നിന്നും X-അക്ഷത്തിലേക്ക് ലംബം വരച്ച് ദ്വിവശസമാന്തര ചതുർഭുജങ്ങളുടെ (trapezium) വിസ്തീർണങ്ങൾ നിർണയിച്ചാണ് (ചിത്രം 10); വിസ്തീർണത്തിനു Δഎന്ന ചിഹ്നമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

മൂന്നു ബിന്ദുക്കൾ ഈരണ്ടെണ്ണം നേർവരകൊണ്ടു യോജിപ്പിച്ചുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണം പൂജ്യം ആണെങ്കിൽ ആ മൂന്നു ബിന്ദുക്കളും ഒരേ നേർവരയിലാണെന്ന് അതിൽ നിന്നു മനസ്സിലാക്കാം.

ധ്രുവാങ്ക പദ്ധതി

ഇതുവരെ പ്രതിപാദിച്ച കാർത്തീയ നിർദ്ദേശാങ്കപദ്ധതി പോലെ തന്നെ പ്രയോജനകരമായ മറ്റൊരു പദ്ധതിയാണിത്. ഒരു സ്ഥിരബിന്ദുവും അതിൽ നിന്നുള്ള ഒരു സ്ഥിര നേർവരയും അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തി പ്രതലത്തിലെ ബിന്ദുക്കൾ നിർണയിക്കുന്ന സമ്പ്രദായമാണിത്. ചിത്രം 11-ൽ o സ്ഥിരബിന്ദുവും ox സ്ഥിരരേഖയും ആണ്. p എന്ന ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ധ്രുവാങ്കങ്ങൾ നിർണയിക്കുന്നത് op എന്ന ത്രിജ്യരേഖ(radius vector)യുടെ നീളം r-ഉം OX-ൽ നിന്ന് സമതലത്തിലൂടെ O കേന്ദ്രമാക്കി അപ്രദക്ഷിണമായി (anticlock-wise) തിരിയുമ്പോൾ op ഉണ്ടാക്കുന്ന e എന്ന കോണവും ഉപയോഗിച്ചാണ്. ഇവിടെ r ,ø ഇവ ആണ് p-യുടെ ധ്രുവാങ്കങ്ങൾ. p എന്ന ബിന്ദുവിനെ (r,ø) എന്നു രേഖപ്പെടുത്താം.

സമ്മിശ്ര സംഖ്യകളെ (Complex numbers) വിശ്ളേഷകജ്യാമിതിയിൽ അവതരിപ്പിക്കാൻ ധ്രുവാങ്കങ്ങൾ ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്നു. x + iy-യുടെ ആംപ്ളിറ്റ്യൂഡ് ø,r=+√x²+y² മോഡുലസ് എന്നിവ (r,ø) എന്ന ബിന്ദുവായി അങ്കനം ചെയ്യുന്നു. (r,ø) എന്നതു (r,ø+2nπ + 2nII ആയും എഴുതാം. നോ: സമ്മിശ്ര സംഖ്യ

അക്ഷ രൂപാന്തരണം

(i) കേന്ദ്രം o-യിൽനിന്നു o'-യിലേക്കും ആധാരരേഖകൾ x, oy എന്നിവയ്ക്കു സമാന്തരമായി o'x, o'y (ലംബം) എന്നിവയിലേക്കും മാറ്റിയാൽ, പുതിയ ആധാരരേഖകളെ അപേക്ഷിച്ച് നിർദിഷ്ടാങ്കങ്ങൾ നിർണയിക്കാം. p എന്ന ബിന്ദു x-,y- അക്ഷങ്ങളെ ആധാരമാക്കി (x,y) x -, y- എന്നിവയെ ആസ്പദമാക്കി (x,y) യും ആണെങ്കിൽ, ചിത്രം 12-ൽ നിന്ന്, x = X + h, y = Y + K എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. അതായത് X = x-h, Y =y-k. ഇവിടെx-, y- അക്ഷങ്ങളെ അപേക്ഷിച്ചുള്ള കോടികളാണ് (h, k).

(ii) O കേന്ദ്രമാക്കി അക്ഷങ്ങളെ αകോണിലൂടെ തിരിച്ചും അക്ഷങ്ങളുടെ രൂപാന്തരണം സാധിക്കാം (ചിത്രം 13). p-യുടെ ധ്രുവാങ്കങ്ങൾ (r,ø) ആയിരുന്നെങ്കിൽ ഇതനുസരിച്ച് (r,ø+α) ആയിത്തീരും. അങ്ങനെx =r cos ø,y=r sin ø എന്നിവയുപയോഗിച്ച് X= r cos(ø+α),Y=r sin (ø+α) എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. അതായത്, X = r cosøcos α -ysinα

Y = r sinøcos α + r cosø sin α =x sinα +y cos α

വിസ്തീർണ കോടികൾ

ഒരു ത്രികോണത്തെ ആധാരമാക്കി കോടികൾ നിർണയിക്കുന്ന സമ്പ്രദായമാണിത്. p എന്ന സാമാന്യബിന്ദുവിന്റെ കോടികൾ ΔBPC,ΔCPA,ΔAPB എന്നീ വിസ്തീർണങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. അതായത് t1, t2, t3 ആണ് കോടികളെങ്കിൽ t₁: t₂ :t₃ = ΔBPC :ΔCPA :ΔAPB ഇവയ്ക്ക് p-യുടെ ബേരികേന്ദ്രീയ കോടികളെന്നും (Bary-centric co-ordinates) പറയുന്നു. ഇവിടെ t₁ + t₂ + t₃ = 1 എന്നാകുന്ന വിധത്തിലാണെങ്കിൽ ഇവയെ വിസ്തീർണ കോടികൾ എന്നു പറയാം.

കോണിക ഖണ്ഡങ്ങൾ

ഇരുഭാഗത്തേക്കും നീണ്ടുകിടക്കുന്ന (ചിത്രം 14) കോണിന്റെ (Cone) പ്രത്യേക ഖണ്ഡങ്ങളുടെ പഠനം വിശ്ളേഷകജ്യാമിതിയിൽ സുപ്രധാനമാണ്. കോണിന്റെ അക്ഷത്തോടു ചേർത്ത് കോണിനെ ഒരു സമതലംകൊണ്ടു ഛേദിക്കുകയാണെങ്കിൽ ബാഹ്യമായി കാണുന്ന പരിച്ഛേദം (cross section) രണ്ടു ഋജുരേഖകളായിരിക്കും. അക്ഷത്തിനു ലംബമായി ഖണ്ഡിക്കുമ്പോൾ പരിച്ഛേദം വൃത്താകാരവും ചരിവു വശത്തിനു സമാന്തരമായിട്ടാണെങ്കിൽ പരവളയവും സമാന്തരമല്ലാതെയാണെങ്കിൽ ദീർഘവൃത്തവും രണ്ടു ഭാഗത്തെ അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായി ഖണ്ഡിക്കുമ്പോൾ ബഹിർവളയവും ഉണ്ടാകുന്നു.

കോണിക(conic)ത്തെ സാമാന്യമായി ഇങ്ങനെയാണ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്: s ഒരു സ്ഥിരബിന്ദുവും d ഒരു സ്ഥിര ഋജുരേഖയുമാണെന്നു സങ്കല്പിക്കുക; p കോണികത്തിലെ ഏതെങ്കിലുമൊരു സാമാന്യബിന്ദുവും; p-ൽ നിന്നു d-യിലേക്കുള്ള ദൂരം PM . എങ്കിൽ SP/PM =e (e ഏതെങ്കിലുമൊരു സംഖ്യയാകാം). e ക്ളിപ്തമായിരിക്കുന്നവിധം p ചലിക്കുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന ബിന്ദുപദമാണ് കോണികം; e കോണികത്തിന്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയും (eccentricity). eയുടെ മൂല്യം 1 ആകുമ്പോൾ കോണികം ഒരു പരവളയവും e യുടെ മൂല്യം 1-ൽ കുറവാകുമ്പോൾ ദീർഘവൃത്തവും e യുടെ മൂല്യം 1-ൽ കൂടുതൽ ആകുമ്പോൾ ബഹിർവളയവും ആയിരിക്കും (ചിത്രം 15).

വൃത്തം

പ്രധാന ലേഖനം: വൃത്തം

x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ആണ് ഒരു സാധാരണ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം. ഈ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും വ്യാസാർധവും കാണാൻ സമവാക്യത്തെ (x + g)² +(y + f)²= √g²+f²-c)² എന്നാക്കിയാൽ മതി. കേന്ദ്രം (-g,-f)-ഉം വ്യാസാർധം √g² +f²-cയുമാണ്. വൃത്തത്തിൻമേലുള്ള ഏതു ബിന്ദുവിനേയും പ്രാചല(parameter)ത്തിലൂടെ കാണിക്കാൻ കഴിയും. x² + y² = r² എന്ന വൃത്തത്തിൻമേലുള്ള ഏതു ബിന്ദു വും x = r cos ø, y= r sin ø എന്ന പ്രാചലപ്രതിനിധാനം വഴി സൂചിപ്പിക്കാം.

പരവളയം

പ്രധാന ലേഖനം: പരാബൊള (ഗണിതം)

കോണികത്തിന്റെ പൊതു തത്ത്വമനുസരിച്ച്, ചിത്രം (16)-ൽ നിന്നു SP = PM. p(x,y) ഇവിടെ പരവളയത്തിൻമേലുള്ള സാമാന്യ ബിന്ദുവാണ്. s-ൽ കൂടി d-ക്കു ലംബം വരച്ച് അത് x-അക്ഷമായി എടുക്കുകയും SZ (= 2a)-ന്റെ മധ്യബിന്ദു o കേന്ദ്രമായും o-ൽ കൂടി ox-നു വരയ്ക്കുന്ന ലംബം y-അക്ഷമായും എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, s (a, o)-ഉം PM = x+a യുമാണെന്നുകാണാം. SP = PM-ൽ നിന്നു Y2 = 4 ax എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. S-ൽ കൂടി അക്ഷത്തിനുള്ള ലംബഖണ്ഡമാണ് LSL' . LSL' = 4a. S പരവളയത്തിന്റെ അഭികേന്ദ്ര(focus)വും d നിയന്ത്രണരേഖ(directrix)യുമാണ്.

ദീർഘവൃത്തം

CA, CB എന്നിവയാണ് അക്ഷങ്ങൾ; C കേന്ദ്രവും. (ചിത്രം 17) CA = a എന്നെടുത്താൽ CS = ae, CZ = a/e എന്നിവ നിർണയിക്കാം. ഇവിടെ e ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയാണ്. ഒന്നിനെക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും e. SP = e PM ഉപയോഗിച്ചാൽ

x²/a² + y²/b² =1, b²=a²(1-e²)

എന്നു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ഉണ്ടാകുന്നു. b = a ആയാൽ ദീർഘവൃത്തം വൃത്തമായി മാറും.

ബഹിർവളയം

ചിത്രം 18-ൽ ചിത്രം (17)-ലെ നിർദിഷ്ടാങ്കപദ്ധതിതന്നെ. A, A' എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ബഹിർവളയത്തിലെ ബിന്ദുക്കളാണെന്നു കരുതുക. AA' = 2a എന്നെടുത്ത് അതിന്റെ മധ്യബിന്ദു C കേന്ദ്രമായും C യിലൂടെയുള്ള ലംബം CY എന്നത് Y-അക്ഷമായും സ്വീകരിക്കുക. CA = a, CZ = a/e, CS = ae. ഇവിടെ ഉത്കേന്ദ്രത e ഒന്നിനേക്കാൾ വലുതായിരിക്കും. P(x,y) ബഹിർവളയത്തിലെ ഒരു സാമാന്യ ബിന്ദുവാണ് SP = e PM ഉപയോഗിച്ചാൽ

x²/a² - y²/b² = 1 b² = a²(e²-1)

എന്ന സമവാക്യങ്ങൾ സിദ്ധിക്കുന്നു.

x = at², y = 2 at പരവളയത്തിന്റെയും x = a cos ø, y= b sin ø ദീീർഘവൃത്തത്തിന്റെയും x = a sec ø, y = b tan ø, ബഹിർവളയത്തിന്റേയും പ്രാചലപ്രതിനിധാനങ്ങളാണ്.

ജ്യാവ് (chord), സ്പർശകം (tangent) എന്നിങ്ങനെയുള്ള മറ്റു പ്രമേയങ്ങളും വിശ്ളേഷക ജ്യാമിതിയിൽ പ്രതിപാദിക്കപ്പെടുന്നു.

ത്രിമാന പദ്ധതി

ഭൌതിക സ്വഭാവമുള്ള ഏതു വസ്തുവിനും മൂന്നു അളവുകളുണ്ട്: നീളം, വീതി, കനം. ഇവയെ ആസ്പദമാക്കിയുള്ള പദ്ധതിയാണിത്. ദ്വിമാനപദ്ധതിയുടെ ഒരു വിപുലീകരണം മാത്രമാണിത്.

പരസ്പരം ലംബങ്ങളായ മൂന്നു ഋജുരേഖകൾ O എന്ന ബിന്ദുവിൽ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു (ചിത്രം 19). XOX', YOY', ZOZ' എന്നിവയാണ് അക്ഷങ്ങൾ; O കേന്ദ്രവും. XOY, YOZ, ZOX എന്നീ മൂന്നു സമതലങ്ങൾ ഈരണ്ടെണ്ണം യോജിക്കുന്ന രേഖകളാണ് OX, OY, OZ എന്നീ അക്ഷങ്ങൾ. p എന്നൊരു സാമാന്യ ബിന്ദുവിന്റെ നിർദിഷ്ടാങ്കങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കാൻ p-ൽ നിന്നു XOY തലത്തിലേക്കു ലംബം വരയ്ക്കുന്നു. M ലംബത്തിന്റെ പാദമാണ്. M-ൽ നിന്നു XOX' ലേക്കു ലംബം MN വരയ്ക്കുക. എങ്കിൽ ON, NM, MP എന്നിവ, ദിശകൾ കൂടി കണക്കിലെടുത്തുകൊണ്ട് x, y, z എന്ന ക്രമത്തിൽ p-യുടെ അങ്കങ്ങളാണെന്നു പറയുന്നു.

ദിശാകോണുകളും ദിശാകൊസൈനുകളും

ഒരു സാമാന്യ ഋജുരേഖയും l¹ഈരേഖയ്ക്കു സമാന്തരമായി കേന്ദ്രത്തിലൂടെയുള്ള രേഖയും αβγഎന്നിവ OX, OY, OZ എന്നീ അക്ഷരേഖകളുമായി l¹ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളുമാണെന്നു സങ്കല്പിക്കുക.എങ്കിൽαβ&gama;എന്നിവ l-ന്റെ ദിശാകോണുകളും cosα, cosβcos&gama;ദിശാകൊസൈനുകളുമാണ്.cos²α, cos²βB,cos²γ=1എന്നു തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.y2+u2=1 ആയിരിക്കുന്ന വിധത്തിലുള്ള ഏതു സംഖ്യകളും ^,u,yക്ലുപ്തദിശയിലുള്ള ഏതു ഋജുരേഖയുടേയും ദിശാകൊസൈനുകളായിരിക്കും. ദിശാകൊസൈനുകൾക്ക് ആനുപാതികമായിട്ടുള്ള a, b, c സംഖ്യകളെ ദിശാസംഖ്യകളെന്നു പറയുന്നു. x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁ എന്നിവ AB ഋജുരേഖയുടെ ദിശാസംഖ്യകളാണ്. AB യിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് p(x,y) എങ്കിൽ AP-ക്കും PB-ക്കും ദിശാസംഖ്യകൾ ഒരേ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. അതായത് x₁-x = k (x₂-x₁),y₁-y = k (y₂-y₁), z₁-z = k (z₂ - z₁). ഇതിൽ k ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യയാണ്. AB യുടെ ദിശാസംഖ്യകൾ

ആണ്;d = √(x₁-x₂)2+(y₁-y₂ )²+(z₁-z₂)² .l₁,l₂ എന്നീ ഋജുരേഖകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺയും അവയുടെ ദിശാകൊസൈനുകൾ cos α₁ cosβ₁ cosγ₁ cos α₂ cosβ₂cosγ₂എന്നിവയുമാണെങ്കിൽ cosø=cosα₁cosα₂+ cosβ₁cosβ₂+cosγ₁ cosγ₂ആയിരിക്കും. ക്രമത്തിൽ a₁, b₁, c₁; a₂, b₂, c ₂ എന്നിവ രണ്ടു ലംബരേഖകളുടെ ദിശാസംഖ്യകളെങ്കിൽ, a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 0 ആകുന്നു.

തലങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും

ചിത്രം 20-ൽ, π ഒരു സമതലം; l π-ക്കു ലംബരേഖ; a, b, c l-ന്റെ ദിശാസംഖ്യകൾ; A(x₁, y₁, z₁) l ന്റെ പാദം;B(x,y,z) π -ലുള്ള മറ്റൊരു ബിന്ദു. ഇതിൽ BAയും l രേഖയും ലംബമാണ്. അതുകൊണ്ട്

a(x₁-x) + b(y₁-y) + c(z₁-z) = 0. ഏതെങ്കിലുമൊരു സമതലവുമായി ഇങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ഏകഘാത സമവാക്യമുണ്ടായിരിക്കും. അതായത് ax + by + cz + d = 0 എന്ന ഏകഘാതസമവാക്യത്തെ A(x₁, y₁, z₁) എന്നൊരു ബിന്ദു 'തൃപ്തിപ്പെടുത്തു'മെങ്കിൽ, ഈ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതും a, b, c എന്നിവ ദിശാസംഖ്യകളുള്ള ഋജുരേഖയ്ക്കു ലംബവുമായ സമതലത്തിന്റെ സമവാക്യം. a(x-x₁) + b(y-y₁) + c(z-z₁) = 0 ആയിരിക്കും. yoz,zox,xoyഛദ, ദഛത, തഛഥ എന്നീ സമതലങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ക്രമത്തിൽ x=o,z=o = 0, എന്നിവയാണ്.

ലംബീയ ദൂരം

A(x₁,y₁,z₁)-ൽ നിന്നു ax + by + cz + d = 0 എന്ന സമതലത്തിലേക്കുള്ള

a₁x+ b₁y +c₁z + d₁ = 0, a₂x + b₂ + y₂ + d₂ = 0 എന്നീ സമതലങ്ങൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, a₁, b₁, c₁; a₂, b₂, c₂ എന്നിവ ക്രമത്തിൽ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. ലംബമാണെങ്കിൽ, a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂= 0. ഒരേ രേഖയിലല്ലാത്ത മൂന്നു ബിന്ദുക്കൾ A(x_i,y_i,z_i),

i = 1,2,3 ഒരു സമതലം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ആ സമതലത്തിന്റെ സമവാക്യം:

a_i x + b_i,y + c_iz + d = 0, i = 1, 2, 3; എന്നീ 3 സമതലങ്ങൾ ഒരേ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുവെന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥ.

f(x, y, z) = 0 എന്നൊരു സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ബിന്ദുപഥത്തെ പ്രതലം (surface) എന്നു പറയുന്നു. വക്രരേഖകളുണ്ടാകുന്നതു രണ്ടു തലങ്ങൾ കൂട്ടിമുട്ടുമ്പോഴാണ്. അതുകൊണ്ട് f₁(x1, y1 z) = 0, f₂ (x, y, z) = 0 എന്നിവ ചേർന്ന് ആ വക്രരേഖകളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നു; പ്രാചലം (t) ഉപയോഗിച്ചും വക്രരേഖകളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാം:

x = f(t), y = g(t), z = h(t).

ഗോള പ്രതലം

r വ്യാസാർധവും (x₁, y₁, z₁) കേന്ദ്രവുമുള്ള ഗോളപ്രതലത്തിന്റെ സമവാക്യം

(x-x₁)² + (y-y₁)² + (z-z₁)² = r² ആണ്. അതായത്,

x² + y² + z² + 2 dx + 2 ey + 2 fz + g = 0.

വൃത്തസ്തംഭ പ്രതലം

zഅക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ സമവാക്യം

x2+y2 = r2, z = 0; വൃത്താകാരമായ പരിച്ഛേദത്തിന്റെ വ്യാസാർധം r

ചക്രണതലം (surface of rotation ) ഉണ്ടാകുന്നത് സമതലവക്രം (c: plane curve) ഏതെങ്കിലുമൊരു നേർരേഖ(l)യ്ക്കു ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോഴാണ്. f(x,y) = 0, z = 0 എന്നിവ c എന്ന വക്രത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളും l രേഖ x-അക്ഷവുമാണെങ്കിൽ ചക്രണതലസമവാക്യം f(x,√y²+z² ആയിരിക്കും.

n-മാന പദ്ധതി

ത്രിമാനപദ്ധതിയുടെ മാതൃകയെ സാമാന്യവത്കരിക്കുമ്പോൾ n-മാനപദ്ധതിയുണ്ടാകുന്നു. താത്ത്വിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെന്നല്ല ഭൌതികശാസ്ത്രം, സ്ഥിതിവിവരശാസ്ത്രം എന്നിവയിലും n-മാനപദ്ധതി ഫലപ്രദമായി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. നോ: ആൾജിബ്ര, ത്രികോണമിതി, ജ്യാമിതി

അവലംബം

കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ വിശ്ലേഷകജ്യാമിതി എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. വിക്കിപീഡിയയിലേക്ക് പകർത്തിയതിന് ശേഷം പ്രസ്തുത ഉള്ളടക്കത്തിന് സാരമായ മാറ്റങ്ങൾ വന്നിട്ടുണ്ടാകാം.