പ്രദിശം

പ്രയുക്ത ഗണിതത്തിന്റെ ഒരു ആധുനിക ശാഖ. നിർദിഷ്ടമായ രൂപാന്തരണ(transformation) നിയമങ്ങളനുസരിച്ച് മാറ്റംവരുന്ന ഘടകങ്ങളോടുകൂടിയ സത്ത(entity)യാണ് ടെൻസർ(Tensor) അഥവാ പ്രദിശം. ടെൻസറുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് പ്രദിശ വിശ്ലേഷണം(Tensor Analysis). ആപേക്ഷികതാസിദ്ധാന്തം, ഇലാസ്തികതാസിദ്ധാന്തം, അവകലജ്യാമിതി തുടങ്ങിയ ഗണിതശാഖകളിൽ ടെൻസർ വിശ്ലേഷണത്തിന് വളരെയേറെ പ്രാധാന്യമുണ്ട്. ബഹിരാകാശ പഠനത്തിലേർപ്പെട്ട ശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും എൻജിനീയർമാർക്കും അവരുടെ ഗവേഷണത്തിൽ ടെൻസർ വിശ്ലേഷണം ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പശ്ചാത്തലമൊരുക്കുന്നു.

Stress, a second-order tensor. The tensor's components, in a three-dimensional Cartesian coordinate system, form the matrix :${\begin{aligned}\sigma &={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$
whose columns are the forces acting on the e₁, e₂, and e₃ faces of the cube.

സാമാന്യ ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തം ആവിഷ്കരിക്കാൻ ഐൻസ്റ്റൈൻ ടെൻസറുകൾ ഉപയോഗിച്ചുതുടങ്ങിയതോടെയാണ് ശാസ്ത്രലോകത്തിന്റെ ശ്രദ്ധയിൽ ഈ ഗണിതശാഖയ്ക്ക് പ്രത്യേക പ്രാധാന്യവും പരിഗണനയും ലഭിച്ചത്. ഇതിനുശേഷം മറ്റു ശാസ്ത്രശാഖകളിലും ഈ വിഷയം ഉപയോഗിച്ചുതുടങ്ങി. ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ റിക്കി (Ricci:18531925) ആയിരുന്നു ഈ ഗണിതശാഖ ആവിഷ്കരിച്ചത് (1887). അതിനുശേഷം ഈ വിഷയത്തിൽ കൂടുതൽ ഗവേഷണം നടത്തിയത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യനായ ലെവി-സിവിറ്റ (Levi-civita:18731941) ആണ്.

പ്രദിശം

ഒരു സദിശ(vector)ത്തിന്റെ n-വിമീയ സ്പേസിലുള്ള പൊതുരൂപമാണ് പ്രദിശം. നാം സാധാരണ ഉപയോഗിക്കുന്ന അദിശങ്ങൾ (scalars) പൂജ്യം ക്രമവും (പൂജ്യം റാങ്കും) സദിശങ്ങൾ (vector) ഒന്നാം ക്രമവും (ഒന്നാം റാങ്കും) ഉള്ള ടെൻസറുകളാണ്.ടെൻസറുകളെക്കുറിച്ചു മനസ്സിലാക്കാൻ ചില പ്രത്യേക സങ്കേതങ്ങളും ചിഹ്നനസമ്പ്രദായവും ആവശ്യമായിവരുന്നു.

സങ്കലന സങ്കേതം

Summation convention സങ്കലന സമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഒരു ചുരുക്കെഴുത്താണ് ഐൻസ്റ്റൈൻ ആവിഷ്ക്കരിച്ച ഈ രീതി.a1x1 + ...... + anxn അതായത് \sum_{i=1}^n a_i x_iഎന്ന വ്യംജകം (expression) എടുക്കുക. ടെൻസർ വിശ്ലേഷണത്തില് ‍x1,X2,....,x2എന്നീ ചരങ്ങളുടെ കീഴ്ക്കുറി (subscript) മാറ്റി മേൽക്കുറി (superscript) ആയിx1,x2,....,xn എന്നെഴുതുന്നു. അതായത് \sum_{i=1}^n a_i x_i എന്ന വ്യംജകത്തെ \sum_{i=1}^n a_i x^iഎന്നെഴുതുന്നു. ഇതിനെ വീണ്ടും ചുരുക്കി aixi എന്നെഴുതാം. ഇതിൽ ശ സൂചിപ്പിക്കുന്ന വിലകൾ 1, 2, 3,......., nഇവയാണ്. അതുകൊണ്ട് a1x1 + a2x2 + ..... + anxn = aixi വലതുവശത്തുള്ള അങ്കനസമ്പ്രദായത്തെ സങ്കലന സങ്കേതമെന്നു പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, n ചരങ്ങൾ x1,x2,....,xnഇവയുടെ ഫലനം f ആയിരിക്കട്ടെ. അതായത് f = f(x1,x2,..........,xn)

ക്രോനെക്കർ ഡെൽറ്റ

i,j എന്ന രണ്ടു സൂചകങ്ങളുള്ളതും i യും j യും തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ മൂല്യം ഒന്നും, i യും j യും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കുമ്പോൾ മൂല്യം പൂജ്യവും ആയ രാശിയെ (quantity) ക്രോനെക്കർ ഡെൽറ്റ എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഇതിനെ കുറിക്കാൻ \partial^i_j എന്ന പ്രതീകമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഭൗതികശാസ്ത്രനിയമങ്ങളെ സൗകര്യപൂർവം ഗണിതത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ ആവിഷ്ക്കരിക്കുന്നതിന് ഒരു നിർദ്ദേശാങ്ക വ്യൂഹം (co-ordinate system) ആവശ്യമാണ്. ഒരു പ്രത്യേക നിർദ്ദേശാങ്കവ്യൂഹത്തെ അവലംബിച്ചല്ല ഭൗതിക നിയമങ്ങളുടെ സാധുത നിലനിൽക്കുന്നത്. അതുകൊണ്ട് ഭൗതിക നിയമങ്ങൾ നിർദ്ദേശാങ്ക രൂപാന്തരണത്തിൽ (transformation of co-ordinate) നിശ്ചര (invariant) മായിരിക്കും. നിർദ്ദേശാങ്ക രൂപാന്തരണത്തിന് ടെൻസർ വിശ്ലേഷണത്തിൽ അടിസ്ഥാനപരമായ പ്രാധാന്യമുണ്ട്.

പുറം കണ്ണികൾ

കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ പ്രദിശം എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. വിക്കിപീഡിയയിലേക്ക് പകർത്തിയതിന് ശേഷം പ്രസ്തുത ഉള്ളടക്കത്തിന് സാരമായ മാറ്റങ്ങൾ വന്നിട്ടുണ്ടാകാം.