തൊടുവര

IRU VAR

പ്രത്യേകതകൾ

• ഒരു വൃത്തത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ തൊടുന്ന വരയെ വൃത്തത്തിൻ്റെ തൊടുവര എന്നുപറയുന്നു.
• ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽക്കൂടിയുള്ള രേഖ, ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടി യുള്ള ആരത്തിനു ലംബമാണെങ്കിൽ ആ രേഖ വൃത്തത്തിൻ്റെ തൊടുവരയായിരിക്കും.
• ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിലെ തൊടുവര ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടിയുള്ള ആരത്തിനു ലംബമാണ്.ഒരു ബാഹ്യബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു വൃത്തത്തിലേയ്ക്ക് രണ്ടു തൊടുവരകൾ വരയ്ക്കാം.
• വരയ്ക്കുന്ന തൊടുവരകൾ രണ്ടും തുല്യമാണ്.
• ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽകൂടി ഒരു തൊടുവര മാത്രമേ വരയ്ക്കാൻ കഴിയൂ.

ദ്വിമാന തലത്തിൽ $y=f(x)$ എന്ന വക്രത്തിലെ $P(x,y)$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകം $x$ അക്ഷത്തിൻ്റെ ധനാത്മകദിശയുമായി ചരിഞ്ഞിരിക്കുന്ന കോണത്തിൻ്റെ അളവ് $\theta$ ആയാൽ $\tan(\theta )=f'(x)$. $\tan(\theta )$ യെ സ്പർശകത്തിൻ്റെ ചരിവ് (slope) എന്നു പറയുന്നു. ചരിവിനെ കുറിക്കാൻ $m$ എന്ന പ്രതീകമുപയോഗിച്ചാൽ $m=f'(x)$ എന്നു കിട്ടുന്നു. വക്രത്തിലെ $(x_{1},y_{1})$ എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പർശകത്തിൻ്റെ സമീകരണമാണ് $y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1})$.

ഉദാഹരണമായി $x_{2}+y_{2}=a^{2}$ എന്ന വൃത്തത്തിലെ $(x_{1},y_{1})$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ വരയ്ക്കുന്ന സ്പർശകത്തിൻ്റെ സമീകരണമാണ് $x\cdot x_{1}+y\cdot y_{1}=a^{2}$. പരവലയത്തിൻ്റെ മാനക സമീകരണം $y_{2}=4ax$. ഇതിലെ $(x_{1},y_{1})$ എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള സ്പർശകത്തിൻ്റെ സമീകരണം $y\cdot y_{1}=2a(x+x_{1})$ ആണ്.

ഒരു വക്രത്തിലെ $P(x,y)$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശകം $x$ അക്ഷത്തെ $T$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ പ്രതിച്ഛേദിച്ചാൽ $P$ യും $T$ യും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ സ്പർശക ദൂരം (length of the tangent) എന്നു പറയുന്നു.

സ്പർശതലം (tangent plane). ഒരു പ്രതല(surface)ത്തിലുള്ള $P$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു രേഖ സ്പർശകമാകണമെങ്കിൽ ആ ബിന്ദുവിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വക്രത്തിന് (പ്രതലത്തിലുള്ളത്) ഈ രേഖ സ്പർശകമായിരിക്കണം. $P$ യിൽക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ സ്പർശകങ്ങളും ഉള്ള സമതലത്തെ സ്പർശതലം എന്നു പറയുന്നു. $f(x,y,z)=0$ എന്ന പ്രതലത്തിലെ $(x_{1},y_{1},z_{1})$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശതലത്തിൻ്റെ സമീകരണമാണ് $f_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})(x-x_{1})+f_{2}(x_{1},y_{1},z_{1})(y-y_{1}1)+f_{3}(x_{1},y_{1},z_{1})(z-z_{1}1)=0$.

ഇതിൽ $f_{1},f_{2},f_{3}$ എന്നിവ $(x_{1},y_{1},z_{1})$ ലെ $f$ ൻ്റെ $x,y,z$ കൊണ്ടുള്ള ആംശിക (partial) അവകലജങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് $x_{2}+y_{2}+z_{2}=a^{2}$ എന്ന ഗോളത്തിൻ്റെ $(x_{1},y_{1},z_{1})$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ സ്പർശതലമാണ് $x\cdot x_{1}+y\cdot y_{1}+z\cdot z_{1}=a^{2}$.

ടാൻജെന്റ് ഫലനം (tangent function). സമകോണിക കാർട്ടീഷ്യൻ തലത്തിൽ $P(x,y)$ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവും $\angle XOP=A$ യും ആയാൽ അ യുടെ ടാൻജെന്റ് ഫലനം $\tan(A)={\tfrac {y}{x}}$ എന്ന് എഴുതുന്നു. A-യ്ക്ക് മാറ്റം വരുന്നതനുസരിച്ച് $\tan(A)$ യുടെ വിലയും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന് $\tan(0^{\circ })=0;\ \tan(45^{\circ })=1;\ \tan(90^{\circ })=\infty$. ഏതെങ്കിലുമൊരു ത്രികോണം $ABC$ യിൽ കോണങ്ങൾ $A,B,C$ യുടെ എതിർവശങ്ങൾ $a,b,c$ ആയാൽ

$\tan \left({\frac {B-C}{2}}\right)={\frac {b-c}{b+c}}\cot \left({\frac {A}{2}}\right)$

ത്രികോണമിതിയിൽ ഇതിനെ ടാൻജെന്റ് നിയമം (tangent law) എന്നു പറയുന്നു. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ത്രികോണനിർധാരണത്തിന് ഈ ഫോർമുലയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

$y=\tan(x)$ എന്ന ഫലനത്തിൻ്റെ ആലേഖ(graph)ത്തെ ടാൻജെന്റ് വക്രം (tangent curve) എന്നു പറയുന്നു. ഇതൊരു സന്തത (continuous) വക്രമല്ല. മൂലബിന്ദുവിൽക്കൂടി പോകുന്ന വക്രത്തിൻ്റെ ശാഖ $x=-{\tfrac {\pi }{2}},\ x={\tfrac {\pi }{2}}$ ഈ രേഖകൾക്ക് അനന്തസ്പർശരേഖീയ (asymptotic)മാണ്

കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ ടാൻജെന്റ് എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. വിക്കിപീഡിയയിലേക്ക് പകർത്തിയതിന് ശേഷം പ്രസ്തുത ഉള്ളടക്കത്തിന് സാരമായ മാറ്റങ്ങൾ വന്നിട്ടുണ്ടാകാം.