ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പ്

ക്രമീകൃതബഹുഭുജങ്ങളുടെ ത്രിമാനസമമിതികളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളെ ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. n ഭുജങ്ങളുള്ള ക്രമീകൃതബഹുഭുജത്തിന്റെ സമമിതികൾ തൽസമകത്തിനു പുറമെ n-1 പരിക്രമണങ്ങളും n പ്രതിഫലനങ്ങളുമാണ്. ആകെ 2n അംഗങ്ങളുള്ള ഈ ഗ്രൂപ്പിനെ $D_{n}$ എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിനു പുറമെ ജ്യാമിതിയിലും രസതന്ത്രത്തിലും ഈ ഗ്രൂപ്പിന് ഏറെ ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്.

അശോകചക്രത്തിന്റെ ത്രിമാനസമമിതികളുടെ ഗ്രൂപ്പ് ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ $D_{24}$ ആണ്

അംഗങ്ങൾ

ഒരു ക്രമീകൃത n-ഭുജത്തിന് n പരിക്രമണസമമിതികളും (ഇതിൽ തൽസമകം ഉൾപ്പെടുന്നു) n പ്രതിഫലനസമമിതികളുമുണ്ട്. ഒരു ക്രമീകൃത അഷ്ടഭുജത്തിന്റെ സമമിതികൾ ഒരു STOP ചിഹ്നം വഴി താഴത്തെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഇവിടെ ആദ്യത്തെ വരിയിലുള്ളവയെല്ലാം പരിക്രമണസമമിതികളും രണ്ടാമത്തെ വരിയിലുള്ളവയെല്ലാം പ്രതിഫലനസമമിതികളുമാണ്.

പ്രത്യേകതകൾ

$D_{1}$, $D_{2}$ എന്നിവ ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പുകൾക്കിടയിൽ വേറിട്ടു നില്ക്കുന്നു, എന്തെന്നാൽ ഇവ:

• യഥാർത്ഥ ക്രമീകൃതബഹുഭുജങ്ങളുടെ സമമിതികളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നില്ല
• ഇവ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളാണ്
• ഇവ യഥാക്രമം $S_{1}$, $S_{2}$ എന്നിവയുടെ ഉപഗ്രൂപ്പുകളല്ല

മറ്റു ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പുകളൊന്നും തന്നെ ക്രമഗ്രൂപ്പുകളല്ല. ക്രമഗ്രൂപ്പല്ലാത്ത ഏറ്റവും ചെറിയ ഗ്രൂപ്പ് ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ $D_{3}$ ആണ്. n 2-നെക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ $D_{n}$ സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ $S_{n}$ ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പാണെന്നും വരുന്നു.

$D_{2}$ ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പിന് സമരൂപമാണ്.

അവലംബം

• http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroup.html