പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പ്

ഒരു പരിബദ്ധഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ ഇരട്ടക്രമചയങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പാണ് പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പ് (alternating group). സമമിതീയഗ്രൂപ്പിലേതുപോലെ ക്രമചയമിശ്രണം (composition of permutations) ആണ് ഈ ഗ്രൂപ്പിലെയും ദ്വയാങ്കസംക്രിയ. n അംഗങ്ങളുടെ ക്രമചയങ്ങളുടെ പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പിനെ $A_{n}$ എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം n!/2 ആണ്.

A₄ ന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക.

നിർവചനം

{1,2,3...n} എന്ന ഗണത്തിന്റെ ക്രമചയമാണ് {σ₁,σ₂,σ₃...σ_n} എന്ന് കരുതുക. ഒരേ സമയം x > y എന്നും σ_x < σ_y എന്നും വരുന്നുവെങ്കിൽ (x,y) ജോഡിയെ ഒരു ഇൻവെർഷൻ (inversion) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ക്രമചയത്തിലെ ആകെ ഇൻവെർഷനുകളുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയാണെങ്കിൽ അതിനെ ഒറ്റക്രമചയം എന്നും ഇരട്ടസംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഇരട്ടക്രമചയം എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഗണത്തിലെ എല്ലാ ഇരട്ടക്രമചയങ്ങളുമടങ്ങിയ ഗ്രൂപ്പാണ് പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പ്

സവിശേഷതകൾ

• n > 1 ആണെങ്കിൽ പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പ് സമമിതീയഗ്രൂപ്പിന്റെ സൂചകാങ്കം 2 ആയുള്ള ക്രമവിനിമയക ഉപഗ്രൂപ്പ് ആണ്.
• പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പ് ഒരു ക്രമഗ്രൂപ്പാവുന്നത് n < 4 ആകുമ്പോൾ മാത്രമാണ്.
• പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പ് ഒരു ലളിതഗ്രൂപ്പാവുന്നത് n = 3 അഥവാ n > 4 ആവുമ്പോഴാണ്. A₅ ആണ് ക്രമമല്ലാത്ത ഏറ്റവും ചെറിയ ലളിതഗ്രൂപ്പ്.

അവലംബം

• http://mathworld.wolfram.com/AlternatingGroup.html