ലഗ്രാഞ്ചിയൻ ബലതന്ത്രം

സം‌വേഗസം‌രക്ഷണനിയമം, ഊർജ്ജസം‌രക്ഷണനിയമം എന്നിവ ഒരുമിച്ചുചേർത്തുകൊണ്ടുള്ള ഉദാത്തബലതന്ത്രത്തിന്റെ (Classical Mechanics) പുനരാസൂത്രണമാണ്‌ ലഗ്രാഞ്ചിയൻ ബലതന്ത്രം (Lagrangian mechanics). ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോസഫ് ലൂയി ലഗ്രാഞ്ചാണ്‌ 1788-ൽ ഈ രീതി ആവിഷ്കരിച്ചത്. ലഗ്രാഞ്ചിയൻ ബലതന്ത്രത്തിൽ ഒരു വ്യവസ്ഥയുടെ പരിണാമം കണ്ടെത്തുന്നത് ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധരിച്ചുകൊണ്ടാണ്‌. ആദ്യത്തെ തരം ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ ജ്യാമിതീയമായ നിബന്ധനകളെ (constraints) സമവാക്യങ്ങളായിത്തന്നെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണകങ്ങൾ (Lagrange multipliers) ഇതിനായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ തരം ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾ ജ്യാമിതീയനിബന്ധനകളിൽ സാമാന്യനിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളെ (generalised coordinates) ശരിയായ രീതിയിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ ഉൾക്കൊള്ളിക്കുന്നു. ലഗ്രാഞ്ച് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് നിർദ്ധാരണം കാണുന്നത് ലഗ്രാഞ്ചിയന്റെ സമയത്തിലുള്ള സമാകലനം (ഇത് ആക്ഷൻ എന്നറിയപ്പെടുന്നു) സ്ഥിരമായി നിൽക്കുന്ന പാതയാണ്‌ നൽകുകയെന്ന് വാരിയേഷണൽ കാൽകുലസിലൂടെ തെളിയിക്കാനാകും.

സാമാന്യനിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളെ ശരിയായ രീതിയിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ജ്യാമിതീയനിബന്ധനകൾക്ക് കാരണമാകുന്ന ബലങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഭാഗമാവുകയില്ല എന്നതിനാൽ ഈ രീതി മിക്ക വ്യവസ്ഥകളുടെയും നിർദ്ധാരണം വളരെ സരളമാക്കുന്നു. ഇത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ ന്യൂട്ടോണിയൻ ബലതന്ത്രത്തെക്കാൾ എളുപ്പത്തിൽ വ്യവസ്ഥകളുടെ പരിണാമം കണ്ടുപിടിക്കാൻ ലഗ്രാഞ്ചിയൻ ബലതന്ത്രത്തിലൂടെ സാധിക്കുന്നു.