ലംബകം

ലംബകം
ലംബകം
	ട്രപ്പിസോയിഡ്
തരം	ചതുർഭുജം
വക്കുകളും ശീർഷങ്ങളും	4
വിസ്തീർണ്ണം
Internal angle (degrees)	90 degree (2 sides)
സവിശേഷതകൾ	convex

രണ്ടുഭുജങ്ങൾ മാത്രം സമാന്തരങ്ങളായ ചതുർഭുജങ്ങളെ ലംബകങ്ങൾ എന്നു പറയുന്നു^[൧]. (രണ്ടുഭുജങ്ങൾ മാത്രം എന്നത് തെറ്റായ പരിഭാഷയാണ്. രണ്ടുഭുജങ്ങൾ സമാന്തരങ്ങളായ എന്നോ രണ്ടുഭുജങ്ങൾ എങ്കിലും സമാന്തരങ്ങളായ എന്നോ ആയിരിക്കണം പരിഭാഷ ).

ചരിത്രംതിരുത്തുക

യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി അനുസരിച്ച്, ഒരു ജോഡി സമാന്തര എതിർ വശങ്ങളുള്ള ഒരു ചതുർഭുജം ട്രപീസിയം എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ട്രപീസിയം എന്ന പദം ഗ്രീക്ക് പദമായ "ട്രപീസ" യിൽ നിന്നാണ് ഉത്ഭവിച്ചത്, അതായത് പട്ടിക എന്നാണ് ഈ വാക്കിന്റെ അർത്ഥം.^[1] യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ആദ്യ പുസ്തകത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അദ്ദേഹത്തിന്റെ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ പ്രോക്ലസ് (എഡി 412 മുതൽ 485 വരെ) രണ്ട് തരം ട്രപീസിയ അവതരിപ്പിച്ചു:^[2]^[3]

ഒരു ജോടി സമാന്തര വശങ്ങൾ - ഒരു ട്രപീസിയം (τραπέζιον), ഐസോസെൽസ് (തുല്യ കാലുകൾ), സ്കെയിൽ (അസമമായ) ട്രപീസിയങ്ങൾ എന്നിങ്ങനെ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു സമാന്തര വശങ്ങളില്ല
ട്രപസോയിഡ് (τραπεζοειδή, ട്രപസോയിഡ്, അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ട്രപീസിയം പോലെയുള്ള (εἶδος എന്നാൽ "സാദൃശ്യം"), ക്യൂബോയ്ഡ് എന്നാൽ ക്യൂബ് പോലെയും റോംബോയിഡ് എന്നാൽ റോംബസ് പോലെയും).

എല്ലാ യൂറോപ്യൻ ഭാഷകളും പ്രോക്ലസിന്റെ ഘടന പിന്തുടരുന്നു. 18 -ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനം വരെ, ചാൾസ് ഹട്ടൺ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഒരു സ്വാധീനമുള്ള ഗണിത നിഘണ്ടു 1795 -ൽ നിബന്ധനകളുടെ വിശദീകരണമില്ലാതെ പിന്തുണയ്ക്കുന്നു. ഈ തെറ്റ് ഏകദേശം 1875 -ൽ ബ്രിട്ടീഷ് ഇംഗ്ലീഷിൽ തിരുത്തി, പക്ഷേ ആധുനിക കാലഘട്ടത്തിൽ അമേരിക്കൻ ഇംഗ്ലീഷിൽ നിലനിർത്തി.

സവിശേഷതകൾതിരുത്തുക

ഒരു ട്രപീസിയത്തിന്റെ (ഐസോസെൽസ്) അടിത്തറ പരസ്പരം സമാന്തരമാണ്.
രണ്ട് ഡയഗണലുകളുടെയും നീളം തുല്യമാണ്.
ഒരു ട്രപീസിയത്തിന്റെ ഡയഗണലുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരസ്പരം വിഭജിക്കുന്നു.
ഒരു ട്രപീസിയത്തിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള ഇന്റീരിയർ കോണുകൾ 180 ° വരെയാണ്.
ഒരു ട്രപീസിയത്തിലെ എല്ലാ ആന്തരിക കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക എപ്പോഴും 360 ° ആണ്.^[1]^[4]

അളവുകൾതിരുത്തുക

പരപ്പളവ്തിരുത്തുക

ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവു കാണുന്നതിനുള്ള സമവാക്യമാണ് ${\tfrac {a+b}{2}}h$ ( ${\frac {1}{2}}h$ (a+b) എന്നും വ്യവഹരിക്കപ്പെടാറുണ്ട്). ഇതിൽ a, b, എന്നിവ ലംബകത്തിന്റെ 2 വശങ്ങളാണ്. രണ്ടു വശങ്ങളുടെ തുകയെ രണ്ടു കൊണ്ട് ഹരിച്ചശേഷം അതിനെ h അഥവാ ലംബകത്തിന്റെ ഉയരം ക ഹരിച്ചാൽ ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവ് അഥവാ വിസ്തീർണ്ണം ലഭിക്കും. ^[5]

ചുറ്റളവ്തിരുത്തുക

ട്രപീസിയത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് അതിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് ABCD എന്ന ഒരു ലംബകത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് AB+BC+CD+DA ആയിരിക്കും.

അവലംബംതിരുത്തുക

↑ ^1.0 ^1.1 "Trapezium". Cuemath.
↑ James A. H. Murray (1926). A New English Dictionary on Historical Principles: Founded Mainly on the Materials Collected by the Philological Society. യൂക്ലിഡിനൊപ്പം (സി 300 ബിസി) τραπέζιον ചതുരം, ദീർഘചതുരം, റോംബസ്, റോംബോയ്ഡ് എന്നിവ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ ചതുർഭുജങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു; ട്രപീസിയയുടെ വൈവിധ്യങ്ങളിലേക്ക് അവൻ പ്രവേശിച്ചില്ല. യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ആദ്യ പുസ്തകമായ AD 450 ൽ വ്യാഖ്യാനങ്ങൾ എഴുതിയ പ്രോക്ലസ്, രണ്ട് വശങ്ങൾ സമാന്തരമായി ഉള്ള ചതുർഭുജങ്ങൾക്ക് മാത്രം τραπέζιον എന്ന പേര് നിലനിർത്തി, ഇവയെ τραπέζιον ἰσοσκελὲς, ഐസോസെൽസ് ട്രപീസിയമായി വിഭജിച്ച്, രണ്ട് സമാന്തരമല്ലാത്ത വശങ്ങളും (ഒപ്പം കോണുകളും അവയുടെ അടിത്തറ) തുല്യവും, σκαληνὸν τραπέζιον, സ്കെലിൻ ട്രപീസിയവും, അതിൽ ഈ വശങ്ങളും കോണുകളും തുല്യമല്ല. സമാന്തരമായി വശങ്ങളില്ലാത്ത ചതുർഭുജങ്ങൾക്ക്, പ്രോക്ലസ് τραπέζοειδὲς TRAPEZOID എന്ന പേര് അവതരിപ്പിച്ചു. ഈ നാമകരണം എല്ലാ ഭൂഖണ്ഡ ഭാഷകളിലും നിലനിർത്തിയിട്ടുണ്ട്, കൂടാതെ പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനത്തിൽ ഇംഗ്ലണ്ടിൽ സാർവത്രികമായിരുന്നു, നിബന്ധനകൾ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്നതുവരെ, അങ്ങനെ മറ്റ് രാജ്യങ്ങളുടെ പ്രോക്ലസും ആധുനിക ജിയോമീറ്ററുകളും പ്രത്യേകമായി ഒരു ട്രപീസിയം (എഫ്. ട്രാപ്പീസ്, ഗെർ ട്രപീസ്, ഡു. ട്രപീസിയം, ഇത്. ട്രപീസിയോ) മിക്ക ഇംഗ്ലീഷ് എഴുത്തുകാരും ഒരു ട്രപസോയിഡായി മാറി, പ്രോക്ലസിന്റെയും മറ്റ് രാജ്യങ്ങളുടെയും ട്രപസോയിഡ് ഒരു ട്രപീസിയം. ട്രപ്പസോയിഡിന്റെ ഈ മാറിയ ബോധം ഹട്ടന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര നിഘണ്ടുവിൽ, 1795, 'ചിലപ്പോൾ' ഉപയോഗിച്ചതുപോലെ നൽകിയിട്ടുണ്ട് - ആരെക്കൊണ്ട് എന്ന് അദ്ദേഹം പറയുന്നില്ല; പക്ഷേ, നിർഭാഗ്യവശാൽ അദ്ദേഹം തന്നെ അത് സ്വീകരിക്കുകയും ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്തു, അദ്ദേഹത്തിന്റെ നിഘണ്ടു അതിന്റെ വ്യാപനത്തിലെ മുഖ്യ ഏജന്റായിരുന്നു എന്നതിൽ സംശയമില്ല. എന്നിരുന്നാലും ചില ജിയോമീറ്ററുകൾ ഈ പദങ്ങൾ അവയുടെ യഥാർത്ഥ അർത്ഥത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നത് തുടർന്നു, സി 1875 മുതൽ ഇത് വ്യാപകമായ ഉപയോഗമാണ്.
↑ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (5 April 2016). The Symmetries of Things. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6489-0.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ "Properties of Quadrilaterals – Rectangle, Square, Parallelogram, Rhombus, Trapezium". E-Gmat.
↑ "ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവ്". SlideShare.

തുടർന്നും വായിക്കുകതിരുത്തുക

D. Fraivert, A. Sigler and M. Stupel : Common properties of trapezoids and convex quadrilaterals

കുറിപ്പുകൾതിരുത്തുക

൧ ^{^} ലംബകത്തിന് അമേരിക്കക്കാർ ട്രപ്പിസോയിഡ് എന്നും ബ്രിട്ടീഷുകാർ ട്രപ്പീസിയം എന്നുമാണ് പറയുന്നത്. അമേരിക്കക്കാർക്ക് സമാന്തരവശങ്ങൾ ഒന്നുമില്ലാത്ത ചതുർഭുജമാണ് ട്രപ്പീസിയം.

[:0-1] 1.0 ^1.1 "Trapezium". Cuemath.

[2] James A. H. Murray (1926). A New English Dictionary on Historical Principles: Founded Mainly on the Materials Collected by the Philological Society. യൂക്ലിഡിനൊപ്പം (സി 300 ബിസി) τραπέζιον ചതുരം, ദീർഘചതുരം, റോംബസ്, റോംബോയ്ഡ് എന്നിവ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ ചതുർഭുജങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു; ട്രപീസിയയുടെ വൈവിധ്യങ്ങളിലേക്ക് അവൻ പ്രവേശിച്ചില്ല. യൂക്ലിഡിന്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ആദ്യ പുസ്തകമായ AD 450 ൽ വ്യാഖ്യാനങ്ങൾ എഴുതിയ പ്രോക്ലസ്, രണ്ട് വശങ്ങൾ സമാന്തരമായി ഉള്ള ചതുർഭുജങ്ങൾക്ക് മാത്രം τραπέζιον എന്ന പേര് നിലനിർത്തി, ഇവയെ τραπέζιον ἰσοσκελὲς, ഐസോസെൽസ് ട്രപീസിയമായി വിഭജിച്ച്, രണ്ട് സമാന്തരമല്ലാത്ത വശങ്ങളും (ഒപ്പം കോണുകളും അവയുടെ അടിത്തറ) തുല്യവും, σκαληνὸν τραπέζιον, സ്കെലിൻ ട്രപീസിയവും, അതിൽ ഈ വശങ്ങളും കോണുകളും തുല്യമല്ല. സമാന്തരമായി വശങ്ങളില്ലാത്ത ചതുർഭുജങ്ങൾക്ക്, പ്രോക്ലസ് τραπέζοειδὲς TRAPEZOID എന്ന പേര് അവതരിപ്പിച്ചു. ഈ നാമകരണം എല്ലാ ഭൂഖണ്ഡ ഭാഷകളിലും നിലനിർത്തിയിട്ടുണ്ട്, കൂടാതെ പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനത്തിൽ ഇംഗ്ലണ്ടിൽ സാർവത്രികമായിരുന്നു, നിബന്ധനകൾ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്നതുവരെ, അങ്ങനെ മറ്റ് രാജ്യങ്ങളുടെ പ്രോക്ലസും ആധുനിക ജിയോമീറ്ററുകളും പ്രത്യേകമായി ഒരു ട്രപീസിയം (എഫ്. ട്രാപ്പീസ്, ഗെർ ട്രപീസ്, ഡു. ട്രപീസിയം, ഇത്. ട്രപീസിയോ) മിക്ക ഇംഗ്ലീഷ് എഴുത്തുകാരും ഒരു ട്രപസോയിഡായി മാറി, പ്രോക്ലസിന്റെയും മറ്റ് രാജ്യങ്ങളുടെയും ട്രപസോയിഡ് ഒരു ട്രപീസിയം. ട്രപ്പസോയിഡിന്റെ ഈ മാറിയ ബോധം ഹട്ടന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര നിഘണ്ടുവിൽ, 1795, 'ചിലപ്പോൾ' ഉപയോഗിച്ചതുപോലെ നൽകിയിട്ടുണ്ട് - ആരെക്കൊണ്ട് എന്ന് അദ്ദേഹം പറയുന്നില്ല; പക്ഷേ, നിർഭാഗ്യവശാൽ അദ്ദേഹം തന്നെ അത് സ്വീകരിക്കുകയും ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്തു, അദ്ദേഹത്തിന്റെ നിഘണ്ടു അതിന്റെ വ്യാപനത്തിലെ മുഖ്യ ഏജന്റായിരുന്നു എന്നതിൽ സംശയമില്ല. എന്നിരുന്നാലും ചില ജിയോമീറ്ററുകൾ ഈ പദങ്ങൾ അവയുടെ യഥാർത്ഥ അർത്ഥത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നത് തുടർന്നു, സി 1875 മുതൽ ഇത് വ്യാപകമായ ഉപയോഗമാണ്.

[3] Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (5 April 2016). The Symmetries of Things. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6489-0.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[4] "Properties of Quadrilaterals – Rectangle, Square, Parallelogram, Rhombus, Trapezium". E-Gmat.

[5] "ലംബകത്തിന്റെ പരപ്പളവ്". SlideShare.

[൧]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]