വഴക്കബിന്ദു

പദാർത്ഥശാസ്ത്രത്തിലും എൻജിനീയറിംഗിലും വഴക്കബിന്ദു (yield point) എന്നാൽ ഇലാസ്തികസ്വഭാവത്തിന്റെ അവസാനവും പ്ലാസ്തികസ്വഭാവത്തിന്റെ ആരംഭവും സൂചിപ്പിക്കുന്ന ആയാസആതാനവക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്. വഴക്കബിന്ദുവിൽ എത്തുന്നതുവരെ വസ്തുക്കൾ ഇലാസ്തികമായി വിരൂപണം ചെയ്യപ്പെടുകയും ആയാസം പിൻവലിച്ചാൽ യഥാർത്ഥ ആകൃതിയിലേയ്ക്ക് മടങ്ങുകയും ചെയ്യും. വഴക്കബിന്ദു മറികടന്നാൽ വിരൂപണത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം സ്ഥിരമാകുകയും പശ്ചാത്പ്രക്രിയ സാധ്യമാകാതിരിക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതിനെ പ്ലാസ്തികവിരൂപണം എന്നുപറയുന്നു.

പദാർത്ഥം പ്ലാസ്തികമായി വിരൂപണം ചെയ്യപ്പെടാൻ തുടങ്ങുന്ന ബിന്ദുവായ വഴക്കബിന്ദുവിലെ ആയാസത്തെയാണ് വഴക്കപ്രബലത(yield strength) അഥവാ ''വഴക്കആയാസം''(yield stress) എന്ന പദാർത്ഥസവിശേഷതയായി വിവക്ഷിക്കുന്നത്. സ്ഥിരമായ പ്ലാസ്തികവിരൂപണം ഉണ്ടാകാതെ വസ്തുക്കളിൽ പ്രയോഗിക്കാവുന്ന ബലത്തിന്റെ ഉച്ചപരിധിയെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, യാന്ത്രികഭാഗങ്ങളിൽ പ്രയോഗിക്കാവുന്ന പരമാവധി അനുവദനീയ ലോഡ് എത്രയെന്ന് നിർണയിക്കുന്നതിന് വഴക്കപ്രബലത സാധാരണയായി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. അലൂമിനിയം പോലത്തെ ചില പദാർത്ഥങ്ങളിൽ അരേഖീയ(nonlinear) സ്വഭാവങ്ങളുടെ ക്രമേണയുളള അതിപ്രസരം ഉണ്ടാകുന്നതിനാൽ സൂക്ഷ്മമായ വഴക്കബിന്ദു നിർണയിക്കുന്നതിന് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഇങ്ങനെയുളള സന്ദർഭത്തിൽ അവസ്ഥാനീയവഴക്കബിന്ദുവിലെ (offset yield point) ആയാസത്തെ കണക്കിലെടുക്കുന്നു. ഇത് 0.2% പ്ലാസ്തികവിരൂപണം സംഭവിക്കുമ്പോഴുളള ആയാസമാണ്. വഴക്കം(Yielding) എന്നാൽ ക്രമേണയുളള തകർച്ചാദശയാണ് എന്നാൽ അത് ഒരിക്കലും അന്തിമതകർച്ച (ultimate failure)പോലെ സംഹാരകമല്ല(catastrophic).

ഖരബലതന്ത്രത്തിൽ (Solid mechnanics) വഴക്കപ്രബലതയെ ഒരു വഴക്കപ്രതലത്തോടുകൂടിയ (yield surface) ത്രിമാനതലത്തിലെ മുഖ്യആയാസങ്ങളായോ ($\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$) വഴക്കമാനദണ്ഡങ്ങളായോ വിവക്ഷിക്കാവുന്നതാണ്. വിവിധ പദാർത്ഥങ്ങൾക്കായി വൈവിദ്ധ്യപരമായ വഴക്കമാനദണ്ഡങ്ങൾ ആവിഷ്കരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം

പദാർത്ഥം	Yield strength (MPa)	Ultimate strength (MPa)
ASTM A36 steel	250	400
സ്റ്റീൽ, API 5L X65	448	531
സ്റ്റീൽ, അതിപ്രബലസങ്കര ASTM A514	690	760
Steel, prestressing strands	1650	1860
പിയോനോ തന്തു		1740-3300
കാർബൺ ഫൈബർ (CF, CFK)		5650
അതിസാന്ദ‌്ര പോളിഎതിലീൻ(High-density polyethylene) (HDPE)	26–33	37
പോളിപ്രൊപ്പിലീൻ	12–43	19.7–80
Stainless steel AISI 302 – cold-rolled	520	860
വാർപ്പിരുമ്പ്(Cast iron) 4.5% C, ASTM A-48	172
ടൈറ്റാനിയം സങ്കരം(Titanium alloy) (6% Al, 4% V)	830	900
അലൂമിനിയം സങ്കരം(Aluminium alloy) 2014-T6	400	455
ചെമ്പ്(Copper) 99.9% Cu	70	220
Cupronickel 10% Ni, 1.6% Fe, 1% Mn, balance Cu	130	350
Brass	200+ ~	550
Spider silk	1150 (??)	1400
Silkworm silk	500
Aramid (Kevlar or Twaron)	3620	3757
UHMWPE	20	35
Bone (limb)	104–121	130
Nylon, type 6/6	45	75
Aluminium (annealed)	15–20	40–50
Copper (annealed)	33	210
Iron (annealed)	80–100	350
Nickel (annealed)	14–35	140–195
Silicon (annealed)	5000–9000
Tantalum (annealed)	180	200
Tin (annealed)	9–14	15–200
Titanium (annealed)	100–225	240–370
Tungsten (annealed)	550	550–620

യഥാർത്ഥ പദാർത്ഥങ്ങൾ വ്യത്യസ്തതരത്തിലുളള പല ആയാസആതാനവക്രങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനാൽ സൂക്ഷ്മതയാർന്ന രീതിയിൽ വഴക്കത്തെ നിർവ്വചിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. എന്നാലും വഴക്കത്തെ നിർവ്വചിക്കാൻ നിരവധി സാധ്യായ മാർഗ്ഗങ്ങളുണ്ട്:

നിജഇലാസ്തികപരിധി(True elastic limit)

സ്ഥാനഭ്രംശങ്ങൾ സഞ്ചലിക്കുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ആയാസം. സ്ഥാനഭ്രംശങ്ങൾ സഞ്ചലിക്കുന്നത് വളരെ താഴ്ന്ന ആയാസത്തിലായതിനാലും അത്തരം ചലനം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ബുദ്ധിമുട്ടായതിനാലും ഈ രീതി അപൂർവ്വമായി മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കാറുളളു.

അനുപാതത്വപരിധി(Proportionality limit)

ഈ ബിന്ദുവരെ ആയാസവും ആതാനവും നേർഅനുപാതത്തിലാണ്(ഹൂക്ക് നിയമം,Hooke's law), അതുകൊണ്ട് ആയാസആതാനരേഖം നേർവരയായിരിക്കും, അതിന്റെ ചരിവുമാനം ഇലാസ്തികമാപനാങ്കവും ആയിരിക്കും.

ഇലാസ്തികപരിധി (വഴക്കപ്രബലത, yield strength)

ഇലാസ്തികപരിധിക്കപ്പുറം സ്ഥിരമായ വിരൂപണം സംഭവിക്കും. സ്ഥിരവിരൂപണം അളക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ആയാസബിന്ദുവാണ് ഇലാസ്തികപരിധി(Elastic limit). ഇതിന‌് കൈകൊണ്ട് ചെയ്യേണ്ടതായ ബലമേറ്റൽ ഇറക്കൽ നടപടിക്രമങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്, കൂടാതെ അതിന്റ കൃത്യത യന്ത്രസാമഗ്രിയെയും

അത് പ്രവർത്തിപ്പിക്കുന്നയാളുടെ കഴിവിനെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. റബ്ബറുകൾ പോലെയുളള ഇലാസ്തോമറുകൾക്ക് ഇലാസ്തികപരിധി അനുപാതത്വപരിധിയെക്കാൾ വളരെ കൂടുതലാണ്. സൂക്ഷ്മതയോടെയുളള ആതാനഅളവുഫലങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, പ്ലാസ്തികആതാനം വളരെ കുറഞ്ഞ ആയാസത്തിൽ തന്നെ ആരംഭിക്കുന്നതായാണ്.

വഴക്കബിന്ദു (Yield point)

ആയാസആതാനവക്രത്തിൽ വക്രം നിരപ്പാകുകയും പ്ലാസ്തികവിരൂപണം ആരംഭിക്കുയും ചെയ്യുന്ന ബിന്ദു.

അവസ്ഥാനിയ വഴക്കബിന്ദു (Offset yield point) (proof stress)

ആയാസആതാനവക്രത്തിൽ നിന്നും കൃത്യമായ ഒരു വഴക്കബിന്ദു നിർണയിക്കാനാകാതെ വരുന്ന സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഒരു അവസ്ഥാനീയ വഴക്കബിന്ദു സ്വേച്ഛാപരമായി നിർണയിക്കുന്നു. 0.1% മുതൽ0.2% വരെ പ്ലാസ്തികആതാനം ആണ‌് സാധാരണയായി ഇതിനായി എടുക്കുന്നത്. അവസ്ഥാനീയവിലയെ ഒരു പാദാങ്കമായി നല്കുന്നു,ഉദാ., $R_{\text{p0.1}}=310$ MPa or $R_{\text{p0.2}}=350$ MPa. എല്ലാ പ്രായോഗിക എഞ്ചിനീയറിംഗ് ആവശ്യങ്ങൾക്കും, അവസ്ഥാനീയ വഴക്കബിന്ദുവിന്റെ കുറഞ്ഞമൂല്യം കിട്ടുന്നതിനായി $R_{\text{p0.2}}$ യെ ഒരു സുരക്ഷാഘടകം (factor of safety) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അതിപ്രബല സ്റ്റീലും അലൂമിനിയം സങ്കരങ്ങളും വഴക്കബിന്ദു പ്രകടിപ്പിക്കാറില്ല, അതുകൊണ്ട് അവയ്ക്ക് അവസ്ഥാനീയ വഴക്കബിന്ദു ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉയർന്നതും താണതുമായ വഴക്കബിന്ദുക്കൾ

ഇളംസ്റ്റീൽ (mild steel) പോലെയുളള ലോഹങ്ങൾ, താണ വഴക്കബിന്ദുവിലേയ‌്ക്ക് പതിക്കുന്നതിനു മുമ്പ് ഒരു ഉയർന്നവഴക്കബിന്ദുവിൽ എത്താറുണ്ട്. ഉയർന്ന വഴക്കബിന്ദുവിൽ എത്തുന്നതുവരെ പദാർത്ഥത്തിന്റെ പ്രതികരണം രേഖീയമായിരിക്കും. താണവഴക്കബിന്ദു ഘടനാവിന്യാസ എഞ്ചിനീയറിംഗിൽ(Strucural Engineering) ഒരു സുരക്ഷാമൂല്യമായാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ലോഹങ്ങൾക്ക് ഉയർന്ന വഴക്കബിന്ദുവിനപ്പുറം ആയാസം നല്കുകയാണെങ്കിൽ അവയിൽ ലൂഡർവലയങ്ങൾ (Lüders band) ഉണ്ടാകാനിടയാകും.

ഘടനാ എഞ്ചിനീയറിംഗിലെ ഉപയോഗം

വഴക്കിയ ഘടനകൾക്ക് കടുപ്പം (stiffness)കുറവായിരിക്കും, അതുമൂലം അവ കൂടുതൽ പുളയുന്നതിനും(deflections) കൂടാതെ കുറഞ്ഞ അവനതിക്കരുത്തിനും (buckling strength) കാരണമാകും. ലോഡ് പിൻവലിക്കുമ്പോൾ ഘടന സ്ഥിരവിരൂപണത്തിന് വിധേയമാകുകയും അവക്ഷിപ്തആയാസങ്ങൾ (residual stresses)ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ചെയ്യും. എഞ്ചിനീയറിംഗ് ലോഹങ്ങൾ ആതാനകഠിനീകരണം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, വഴങ്ങുന്ന അവസ്ഥയിൽ ലോഡ് പിൻവലിക്കുമ്പോൾ വഴക്കആയാസം വർദ്ധിക്കുന്നു എന്നാണിത് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

പരീക്ഷണം

നിശ്ചിത പരിച്ഛേദവിസ്തീർണത്തിലുളള ഒരു ചെറിയ സാമ്പിൾ എടുത്ത ശേഷം അതിന് ആകാരവ്യത്യാസം ഉണ്ടാകുന്നതുവരെയയോ പൊട്ടുന്നതുവരെയോ അതിനെ നിയന്ത്രിതമായ തോതിൽ ക്രമേണ വർദ്ധിക്കുന്ന ബലം ഉപയോഗിച്ച് വലിക്കുകയാണ് വഴക്കപ്രബലതാപരിശോധനയിൽ ചെയ്യുന്നത്. ഇതിന് വലിവുപരീക്ഷണം(Tensile Test) എന്നാണ് പറയുക. അനുദൈർഘ്യമോ അനുപ്രസ്ഥമോ ആയ ആതാനം രേഖപ്പെടുത്തുന്നത് യാന്തികമോ പ്രകാശീയമോ ആയ ദീർഘനമാപികൾ (extensometers)ഉപയോഗിച്ചാണ്.

മിക്ക സ്റ്റീലുകൾക്കും കുതയ്ക്കൽ കാഠിന്യം Indentation hardnessവലിവുപ്രബലതയുമായി tensile strength ഏതാണ്ട് രേഖീയമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഒരു പദാർത്ഥത്തിന്റെ അളവുകൾ മറ്റൊരു പദാർത്ഥത്തിന്റെ പ്രബലതകൾ അളക്കാനുളള തോത് ആയി ഉപയോഗിക്കാനാകില്ല.. അതുകൊണ്ടുതന്നെ വലിവുപരീക്ഷണത്തിന് പകരമുളള ലാഭകരമായ ഒരു ബദൽ ആണ് കാഠിന്യപരീക്ഷണം, മാത്രവുമല്ല അത് കൂട്ടിവിളക്കലോ(welding) രൂപാന്തരണമോ(forming) പോലുളള സംക്രിയകളിൽ വഴക്കപ്രബലതയ്ക്കുണ്ടാകുന്ന വ്യതിയാനങ്ങളും ലഭ്യമാക്കുന്നു. എന്നാൽ നിർണായകസന്ദർഭങ്ങളിൽ അവ്യക്തത ഒഴിവാക്കുന്നതിനായി വലിവുപരീക്ഷണം നടത്തേണ്ടിവരും.

പ്രബലീകരണ യന്ത്രവിധാനങ്ങൾ (Strengthening mechanisms)

ക്രിസ്റ്റലീയവും(crystalline) അക്രിസ്റ്റലീയവുമായ(amorphous) പദാർത്ഥങ്ങളെ അവയുടെ വഴക്കപ്രബലത വർദ്ധിക്കുംവിധം പരുവപ്പെടുത്തുന്നതിന് നിരവധി മാർഗ്ഗങ്ങളുണ്ട്. സ്ഥാനഭ്രംശസാന്ദ്രത (dislocation density), കലർപ്പുനില(impurity levels), തരിവലുപ്പം (grain size)എന്നിവയിൽ മാറ്റം വരുത്തിക്കൊണ്ട് പദാർത്ഥങ്ങളെ നന്നായി പരുവപ്പെടുത്താൻ കഴിയും. പദാർത്ഥങ്ങൾക്കുളളിൽ കലർപ്പുകളുടെ സ്ഥാനഭ്രംശം (impurities dislocations) പോലെയുളള ന്യൂനതകൾ വരുത്തിയാണ് സാധാരണയായി ഇതു സാധ്യമാക്കുന്നത്. ഈ ന്യൂനത നീക്കുന്നതിന് (പ്ലാസ്തികമായ വിരൂപണത്തിന് അഥവാ പദാർത്ഥത്തെ വഴക്കുന്നതിന്) ഒരു വലിയ ആയാസം (Stress) പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തന്മൂലം ആ പദാർത്ഥത്തിൽ ഒരു ഉയർന്ന വഴക്കപ്രബലത ഉണ്ടാകുന്നു. മിക്ക പദാർത്ഥസവിശേഷതകളും ഘനവസ്തുക്കളുടെ ഘടകപദാർത്ഥങ്ങളെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ വഴക്കപ്രബലത പദാർത്ഥസംസ്കരണത്തിൽ അത്യന്തം സംവേദനാത്മകമാണ്.

ക്രിസ്റ്റലീയ പദാർത്ഥങ്ങൾക്കുളള ഈ സംവിധാനങ്ങളിൽ താഴെപ്പറയുന്നവ ഉൾപ്പെടുന്നു

• വർത്തനകഠിനീകരണം (Work hardening)
• ഖരലായനി പ്രബലീകരണം (Solid solution strengthening)
• അവക്ഷിപ്ത കഠിനീകരണം (Precipitation strengthening)
• തരിസീമ കഠിനീകരണം (Grain boundary strengthening)

വർത്തന കഠിനീകരണം(Work hardening)

പദാർത്ഥങ്ങളെ വിരൂപണം ചെയ്യുന്നതുമൂലം അവയിലെ സ്ഥാനഭ്രംശങ്ങളുടെ സാന്ദ്രത വർദ്ധിക്കുന്നു. ഈ സ്ഥാനഭ്രംശങ്ങളെ ക്രിസ്റ്റൽജാലികകൾക്കിടയിലൂടെ നീക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ ആയാസം പ്രയോഗിക്കേണ്ടുന്നതിനാൽ പദാർത്ഥത്തിന്റെ വഴക്കപ്രബലത വർദ്ധിക്കുന്നു. സ്ഥാനഭ്രംശങ്ങൾക്ക് പരസ്പരം പ്രവർത്തിച്ച് കെട്ടുപിണയാനും സാധിക്കും.

ഈ സംവിധാനത്തെ നയിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഇതാണ്:

$\Delta \sigma _{y}=Gb{\sqrt {\rho }}$

ഇതിൽ, $\sigma _{y}$ എന്നാൽ വഴക്കപ്രബലത, G എന്നാൽ അപരൂപണ ഇലാസ്തികമാപനാങ്കം, b എന്നാൽ ബർഗർ സദിശത്തിന്റ(Burgers vector) അളവ്, $\rho$ എന്നാൽ സ്ഥാനഭ്രംശസാന്ദ്രത.

ഖരലായനി പ്രബലീകരണം (Solid solution strengthening)

പദാർത്ഥങ്ങളെ സങ്കരം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ കുറഞ്ഞ ഗാഢതയിലുളള അപദ്രവ്യആറ്റങ്ങൾ സ്ഥാനഭ്രംശത്തിന് നേരെ താഴെയുളള ഒരു ജാലികാസ്ഥാനം(lattice position) കൈവശപ്പെടുത്തുന്നു. ആ ജാലികയിലേയ്ക്ക് ഒരു അപദ്രവ്യആറ്റത്തെ(impurity atom) നിറച്ചുകൊണ്ട് വലിവ് ആതാനത്തെ മുക്തമാക്കുന്നു.

ഈ സംവിധാനത്തിന്റെ ബന്ധം കാണിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം:

$\Delta \tau =Gb{\sqrt {C_{s}}}\epsilon ^{\frac {3}{2}}$

ഇതിൽ $\tau$എന്നാൽ വഴക്കആയാസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അപരൂപണആയാസം(shear stress), $G$ and $b$ എന്നാൽ മുകളിലത്തെ ഉദാഹരണത്തിലേതുപോലെ, $C_{s}$ എന്നാൽ ലായനിയുടെ സാന്ദ്രത $\epsilon$ എന്നാൽ അപദ്രവ്യം(impurity) ചേർത്തതുകൊണ്ട് ജാലികയിൽ ഉണ്ടായ ആതാനം.

കണികാ/അവക്ഷിപ്ത പ്രബലീകരണം(Particle/precipitate strengthening)

ക്രിസ്റ്റലിനുളളിലെ സ്ഥാനഭ്രംശങ്ങളുടെ ചലനം തടഞ്ഞുകൊണ്ട് വഴക്കപ്രബലതയെ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു രണ്ടാം ഘട്ടമാണിത്. ഒരു നേർരേഖാന്യൂനത ജാലികയിലൂടെ സഞ്ചരിക്കുമ്പോൾ പദാർത്ഥത്തിന്റെ ഒരു കണികയിലേയ്ക്കോ അവക്ഷിപ്തത്തിലേയ്ക്കോ Where the presence of a secondary phase will increase yield strength by blocking the motion of dislocations within the crystal. A line defect that, while moving through the matrix, will be forced against a small particle or precipitate of the material. Dislocations can move through this particle either by shearing the particle or by a process known as bowing or ringing, in which a new ring of dislocations is created around the particle.

The shearing formula goes as:

$\Delta \tau ={\frac {r_{\text{particle}}}{l_{\text{interparticle}}}}\gamma _{\text{particle-matrix}}$

and the bowing/ringing formula:

$\Delta \tau ={\frac {Gb}{l_{\text{interparticle}}-2r_{\text{particle}}}}$

In these formulas, $r_{\text{particle}}\,$ is the particle radius, $\gamma _{\text{particle-matrix}}\,$ is the surface tension between the matrix and the particle, $l_{\text{interparticle}}\,$ is the distance between the particles.

Grain boundary strengthening

Where a buildup of dislocations at a grain boundary causes a repulsive force between dislocations. As grain size decreases, the surface area to volume ratio of the grain increases, allowing more buildup of dislocations at the grain edge. Since it requires a lot of energy to move dislocations to another grain, these dislocations build up along the boundary, and increase the yield stress of the material. Also known as Hall-Petch strengthening, this type of strengthening is governed by the formula:

$\sigma _{y}=\sigma _{0}+kd^{-{\frac {1}{2}}}\,$

where

$\sigma _{0}$ is the stress required to move dislocations,

$k$ is a material constant, and

$d$ is the grain size.

Theoretical yield strength

Material	Theoretical Shear Strength (GPa)	Experimental Shear Strength (GPa)
Ag	1.0	0.37
Al	0.9	0.78
Cu	1.4	0.49
Ni	2.6	3.2
α-Fe	2.6	27.5

The theoretical yield strength of a perfect crystal is much higher than the observed stress at the initiation of plastic flow.

That experimentally measured yield strength is significantly lower than the expected theoretical value can be explained by the presence of dislocations and defects in the materials. Indeed, whiskers with perfect single crystal structure and defect-free surfaces have been shown to demonstrate yield stress approaching the theoretical value. For example, nanowhiskers of copper were shown to undergo brittle fracture at 1 GPa, a value much higher than the strength of bulk copper and approaching the theoretical value.

The theoretical yield strength can be estimated by considering the process of yield at the atomic level. In a perfect crystal, shearing results in the displacement of an entire plane of atoms by one interatomic separation distance, b, relative to the plane below. In order for the atoms to move, considerable force must be applied to overcome the lattice energy and move the atoms in the top plane over the lower atoms and into a new lattice site. The applied stress to overcome the resistance of a perfect lattice to shear is the theoretical yield strength, τ_max.

The stress displacement curve of a plane of atoms varies sinusoidally as stress peaks when an atom is forced over the atom below and then falls as the atom slides into the next lattice point.

$\tau =\tau _{\max }\sin \left({\frac {2\pi x}{b}}\right)$

where $b$ is the interatomic separation distance. Since τ = G γ and dτ/dγ = G at small strains (ie. Single atomic distance displacements), this equation becomes:

$G={\frac {d\tau }{dx}}={\frac {2\pi }{b}}\tau _{\max }\cos \left({\frac {2\pi x}{b}}\right)={\frac {2\pi }{b}}\tau _{\max }$

For small displacement of γ=x/a, where a is the spacing of atoms on the slip plane, this can be rewritten as:

$G={\frac {d\tau }{d\gamma }}={\frac {2\pi a}{b}}\tau _{\max }$

Giving a value of $\tau _{\max }$τ_max equal to:

$\tau _{\max }={\frac {Gb}{2\pi a}}$

The theoretical yield strength can be approximated as $\tau _{\max }=G/30$.

Yield criterion

A yield criterion often expressed as yield surface, or yield locus, is a hypothesis concerning the limit of elasticity under any combination of stresses. There are two interpretations of yield criterion: one is purely mathematical in taking a statistical approach while other models attempt to provide a justification based on established physical principles. Since stress and strain are tensor qualities they can be described on the basis of three principal directions, in the case of stress these are denoted by $\sigma _{1}\,\!$, $\sigma _{2}\,\!$, and $\sigma _{3}\,\!$.

The following represent the most common yield criterion as applied to an isotropic material (uniform properties in all directions). Other equations have been proposed or are used in specialist situations.

Isotropic yield criteria

Maximum Principal Stress Theory – by W.J.M Rankine(1850). Yield occurs when the largest principal stress exceeds the uniaxial tensile yield strength. Although this criterion allows for a quick and easy comparison with experimental data it is rarely suitable for design purposes. This theory gives good predictions for brittle materials.

$\sigma _{1}\leq \sigma _{y}\,\!$

Maximum Principal Strain Theory – by St.Venant. Yield occurs when the maximum principal strain reaches the strain corresponding to the yield point during a simple tensile test. In terms of the principal stresses this is determined by the equation:

$\sigma _{1}-\nu \left(\sigma _{2}+\sigma _{3}\right)\leq \sigma _{y}.\,\!$

Maximum Shear Stress Theory – Also known as the Tresca yield criterion, after the French scientist Henri Tresca. This assumes that yield occurs when the shear stress $\tau \!$ exceeds the shear yield strength $\tau _{y}\!$:

$\tau ={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}\leq \tau _{y}.\,\!$

Total Strain Energy Theory – This theory assumes that the stored energy associated with elastic deformation at the point of yield is independent of the specific stress tensor. Thus yield occurs when the strain energy per unit volume is greater than the strain energy at the elastic limit in simple tension. For a 3-dimensional stress state this is given by:

$\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-2\nu \left(\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{1}\sigma _{3}\right)\leq \sigma _{y}^{2}.\,\!$

Maximum Distortion Energy Theory (von Mises yield criterion) – This theory proposes that the total strain energy can be separated into two components: the volumetric (hydrostatic) strain energy and the shape (distortion or shear) strain energy. It is proposed that yield occurs when the distortion component exceeds that at the yield point for a simple tensile test. This theory is also known as the von Mises yield criterion.

Based on a different theoretical underpinning this expression is also referred to as octahedral shear stress theory.

Other commonly used isotropic yield criteria are the

• von Mises yield criterion
• Mohr-Coulomb yield criterion
• Drucker-Prager yield criterion
• Bresler-Pister yield criterion
• Willam-Warnke yield criterion

The yield surfaces corresponding to these criteria have a range of forms. However, most isotropic yield criteria correspond to convex yield surfaces.

Anisotropic yield criteria

When a metal is subjected to large plastic deformations the grain sizes and orientations change in the direction of deformation. As a result, the plastic yield behavior of the material shows directional dependency. Under such circumstances, the isotropic yield criteria such as the von Mises yield criterion are unable to predict the yield behavior accurately. Several anisotropic yield criteria have been developed to deal with such situations. Some of the more popular anisotropic yield criteria are:

• Hill's quadratic yield criterion
• Generalized Hill yield criterion
• Hosford yield criterion

See also

• Specified minimum yield strength
• Ultimate tensile strength
• Yield curve (physics)
• Yield surface

References

Bibliography

• Avallone, Eugene A.; Baumeister III, Theodore (1996). Mark's Standard Handbook for Mechanical Engineers (8th ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-004997-0. {{cite book}}: Unknown parameter |last-author-amp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)
• Avallone, Eugene A.; Baumeister, Theodore; Sadegh, Ali; Marks, Lionel Simeon (2006). Mark's Standard Handbook for Mechanical Engineers (11th, Illustrated ed.). McGraw-Hill Professional. ISBN 978-0-07-142867-5. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help).
• Beer, Ferdinand P.; Johnston, E. Russell; Dewolf, John T. (2001). Mechanics of Materials (3rd ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-365935-0. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help).
• Boresi, A. P., Schmidt, R. J., and Sidebottom, O. M. (1993). Advanced Mechanics of Materials, 5th edition John Wiley & Sons. ISBN 0-471-55157-0
• Degarmo, E. Paul; Black, J T.; Kohser, Ronald A. (2003). Materials and Processes in Manufacturing (9th ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-65653-1. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help).
• Oberg, E., Jones, F. D., and Horton, H. L. (1984). Machinery's Handbook, 22nd edition. Industrial Press. ISBN 0-8311-1155-0
• Ross, C. (1999). Mechanics of Solids. City: Albion/Horwood Pub. ISBN 978-1-898563-67-9.
• Shigley, J. E., and Mischke, C. R. (1989). Mechanical Engineering Design, 5th edition. McGraw Hill. ISBN 0-07-056899-5
• Young, Warren C.; Budynas, Richard G. (2002). Roark's Formulas for Stress and Strain, 7th edition. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-072542-3. {{cite book}}: Unknown parameter |last-author-amp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)
• Engineer's Handbook