ക്രമഗുണിതം
(ഫാക്റ്റോറിയൽ എന്ന താളിൽ നിന്നും തിരിച്ചുവിട്ടതു പ്രകാരം)
ഋണമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യയും അതിനേക്കാൾ ചെറിയ എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളും തമ്മിൽ ഗുണിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ഫലമാണ് ആ പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഫാക്ടോറിയൽ (Factorial) അഥവാ ക്രമഗുണിതം. ഗണിതത്തിൽ n എന്ന സംഖ്യയുടെ ഫാക്ടോറിയലിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് n! എന്നാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ:
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5,040 |
8 | 40,320 |
9 | 362,880 |
10 | 3,628,800 |
11 | 39,916,800 |
12 | 479,001,600 |
13 | 6,227,020,800 |
14 | 87,178,291,200 |
15 | 1,307,674,368,000 |
20 | 2,432,902,008,176,640,000 |
25 | 15,511,210,043,330,985,984,000,000 |
50 | 3.04140932... × 1064 |
70 | 1.19785717... × 10100 |
450 | 1.73336873... × 101,000 |
1754 | 1.979262... × 104,930 |
3,249 | 6.41233768... × 1010,000 |
25,206 | 1.205703438... × 10100,000 |
47,176 | 8.4485731495... × 10200,001 |
100,000 | 2.8242294079... × 10456,573 |
1,000,000 | 8.2639316883... × 105,565,708 |
9.99... × 10304 | 1 × 103.045657055180967... × 10307 |
നിർവ്വചനം
തിരുത്തുകഫാക്ടോറിയലിന്റെ ഔപചാരിക നിർവ്വചനം
അല്ലെങ്കിൽ തുടർച്ചയായുള്ള നിർവ്വചനം
രണ്ട് നിർവ്വചനങ്ങളിലും ഇതുകൂടി ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു
ശൂന്യമായ സംഖ്യകളുടെ തുക 1 ആണെന്ന വസ്തുത ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഫാക്ടോറിയലിന് പ്രയോജനപ്രദമാണ് ഈ വസ്തുത, കാരണം:
- എന്ന ആവർത്തന ബന്ധം (recurrence relation) എന്നതിന് (പൂജ്യത്തിനു മുകളിലുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകൾക്കും) സാധ്യമാകുന്നു;
- അനന്ത ബഹുപദങ്ങൾക്കുള്ള (polynomials) വ്യഞ്ജകങ്ങളുടെ (expressions) ലളിതമായ രൂപവത്കരണത്തിനി ഇത് സഹായിക്കുന്നു, ഉദാ: ;
- കോമ്പിനേറ്റോറിക്സിലെ പല സമകങ്ങളേയും (identities) പൂജ്യം വലിപ്പങ്ങളിലും ഇത് സാധൂകരിക്കുന്നു. ഒരു ശൂന്യഗണത്തിൽ നിന്ന് 0 അംഗങ്ങളെ എടുക്കാവുന്ന വഴി നോക്കുക: .