സീ പരിവർത്തനം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സീ പരിവർത്തനം ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് സിഗ്നലിനെ സമയമണ്ഡലതിൽ നിന്നും മിശ്രസംഖ്യാ ആവൃത്തിമണ്ഡലത്തിലേക്കു മാറ്റുന്നു. ഡിസ്ക്രീറ്റ് സമയമണ്ഡലത്തിൽ ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനതിന്നു സമാനമാകുന്നു.

പുരാവൃത്തം

സീ പരിവർത്തനതിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയം പിയറെ സൈമൺ ലാപ്ലേസ് എന്ന ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് അറിയുമായിരുന്നു, 1947 ഹുർവിക്സ് എന്ന ശാസ്‌ത്രജ്ഞൻ ഇത് പുനഃരവതരിപ്പിചു.. ഇതിന്നു സീ പരിവർത്തനം (Z-Transform) എന്ന നാമം നൽകിയതു 1952 ൽ രഗാസ്സിനിയും സാദെയും ആണു.

നിർവചനം

എതൊരു സമാകലനപരിവർത്തനം പോലെ സീ പരിവർത്തനം എകദിശയൊ ദ്വയദിശയൊ ആകാം.

ദ്വയദിശാ സീ പരിവർത്തനം

x[n] എന്ന സിഗ്നലിന്റെ ദ്വയദിശാ സീ പരിവർത്തനതിനെ ഇങ്ങനെ സൂചിപിക്കുന്നു

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും z ഒരു മിശ്രസംഖ്യയും ആകുന്നു

$z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,$.

എകദിശാപരിവർത്തനം

x[n] എന്ന സിഗ്നൽ പൂജ്യത്തൽ ആരംഭികുന്ന സിഗ്നൽ ആണ് എങ്കിൽ എകദിശാ സീ പരിവർത്തനതിനെ ഇങ്ങനെ സൂചിപിക്കുന്നു

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$

n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും z ഒരു മിശ്രസംഖ്യയും ആകുന്നു

$z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,$.

പ്രതിലോമ സീ പരിവർത്തനം

പ്രതിലോമ സീ പരിവർത്തനതിനെ ഇങ്ങനെ നിർവചികുന്നു

$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

C അടഞ്ഞ,മൂലബിന്ദുവിനെ ഉൾകൊള്ളുന്ന, ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരണ മേഖലയിൽ പൂർണ്ണമയും ഉൾകൊള്ളുന്ന അപ്രദക്ഷിണദിശചലനങ്ങളുടെ ശൃംഖല ആകൂന്നു.

ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരണ മേഖല

സീ പരിവർത്തനസങ്കലനം ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരിക്കുന്ന ബിന്ദുസമൂഹമാന്നു ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരണ മേഖല

$ROC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$

ഗുണവിശേഷങ്ങൾ

Properties of the z-transform

	സമയമണ്‌ഡലം	Z-മണ്‌ഡലം	തെളിവ്	ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരണ മേഖല
Notation	$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$		$r_{2}<|z|<r_{1}$
രേഖീയത	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)$	${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}$	Contains ROC1 ∩ ROC2
സമയവികാസം	$x_{(k)}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rk\\0,&n\not =rk\end{cases}}$ $r\in \mathbb {Z}$	$X(z^{k})$	${\begin{aligned}X_{k}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{k}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rk}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{k})^{-r}\\&=X(z^{k})\end{aligned}}$	$R^{\frac {1}{k}}$
സമയവ്യതിയാനം	$x[n-k]$	$z^{-k}X(z)$	${\begin{aligned}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}$	ROC, except z = 0 if k > 0 and z = ∞ if k < 0
സീ മണ്‌ഡലവികാസം	$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}$	$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}$
സമയവിപരീതനം	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}$	${\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}$
Complex conjugation	$x^{*}[n]$	$X^{*}(z^{*})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}$
വാസ്തവികസംഖ്യ ഭാഗം	$\operatorname {Re} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$
സാങ്കൽപിക സംഖ്യാ ഭാഗം	$\operatorname {Im} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$
അവകലനം	$nx[n]$	$-z{\frac {dX(z)}{dz}}$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}$
Convolution	$x_{1}[n]*x_{2}[n]$	$X_{1}(z)X_{2}(z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}$	Contains ROC1 ∩ ROC2
പരസ്‌പരബന്ധനിരൂപണം(Cross-Correlation)	$r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)$		Contains the intersection of ROC of $X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})$ and $X_{2}(z)$
സംഭരണം	$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$	${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X[z]\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}$
ഗുണനം	$x_{1}[n]x_{2}[n]$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v$		-

പാർസിവൽ സിദ്ധാന്തം

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v$

ആരംഭമൂല്യ സിദ്ധാന്തം $x[n]=0\forall n<0$

$x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).$

അന്തിമമൂല്യ സിദ്ധാന്തം (z-1)X(z) ന്റെ പൊൾസ് |Z| =1 എന്ന വൃത്തതിന്നു അകത്തങ്കിൽ

$x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).$

ചില സീ പരിവർത്തനജോടികൾ

$u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$

$\delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$

	സിഗ്നൽ , $x[n]$	സീ പരിവർത്തനം, $X(z)$	ഏകത്ര കേന്ദ്രീകരണ മേഖല
1	$\delta [n]$	1	എല്ലായിടവും
2	$\delta [n-n_{0}]$	$z^{-n_{0}}$	$z\neq 0$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1$
4	$e^{-\alpha n}u[n]$	$1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}$	$|z|>|e^{-\alpha }|\,$
5	$-u[-n-1]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|<1$
6	$nu[n]$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|>1$
7	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|<1$
8	$n^{2}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|>1\,$
9	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|<1\,$
10	$n^{3}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|>1\,$
11	$-n^{3}u[-n-1]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|<1\,$
12	$a^{n}u[n]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|$
13	$-a^{n}u[-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|$
14	$na^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|$
15	$-na^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|$
16	$n^{2}a^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|>|a|$
17	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|<|a|$
18	$\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
19	$\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
20	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$
21	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$

ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനവുമ്മായുള്ളബന്ധം

ലാപ്ലേസ് മണ്‌ഡലതിൽ നിന്നും സീ മണ്‌ഡലതിലെക്ക് മാറാൻ X(s) -ഇൽ

$s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}$ -യെന്നു ആക്കുക (റ്റുസ്റ്റിൻ പരിവർത്തനം).

സീ മണ്‌ഡലതിൽ നിന്നും ലാപ്ലേസ് മണ്‌ഡലതിലെക്ക് മാറാൻ X(z) -ഇൽ

$z={\frac {2+sT}{2-sT}}$ -യെന്നു ആക്കുക