ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രയോഗത്തിലുള്ള ഒരു സമാകലന പരിവർത്തന(Integral Transform)മാണ് ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം(Laplace Transform). $\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം ഒരു രേഖീയ ഓപ്പറേറ്റർ ആണ്. ഇത് ഒരു real argument t യുടെ ഫലനമായ f(t)യെ s എന്ന complex argument ന്റെ ഫലനമായ F(s) ആക്കി മാറ്റുന്നു.സാധാരണഗതിയിൽ ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം ബൈജക്ടീവ് ആണ്. അതായത് ഒരു ഫലനത്തിന് ഒരു ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം മാത്രമേ ഉണ്ടാകുകയുള്ളു. സങ്കീർണമായ ഘടനയുള്ള പല ഫലനങ്ങളുടെയും ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം താരതമ്യേന ലളിതമായിരിക്കും. അതുകൊണ്ടുതന്നെ പല ശാസ്ത്രശാഖകളിലും ഈ പരിവർത്തനം പ്രധാനമാണ്. പിയറെ സൈമൺ ലാപ്ലേസ് എന്ന ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് ഇത് ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചത്.

ഫൊറിയർ പരിവർത്തനം പോലെ തന്നെ ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനവും സമകലന-അവകലന സമവാക്യങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യാൻ ഉപയോഗിക്കാം. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും എഞ്ചിനീയറിംഗിലും ഇലക്ട്രിക്കൽ സർക്യൂട്ടുകൾ,ഹാർമോണിക് ഓസിലേറ്ററുകൾ തുടങ്ങിയവയുടെ പഠനത്തിന് ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.ഇത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, time-domainൽ നിന്നും(അതായത് ഇൻപുട്ടും ഔട്ട്പുട്ടും സമയത്തിന്റെ ഫലനമായവ)frequency-domain(ഇൻപുട്ടും ഔട്ട്പുട്ടും ആവൃത്തിയുടെ ഫലനമായവ)ലേക്കുള്ള പരിവർത്തനമായി ഇതിനെ നിർവചിക്കാം.

നിർവചനം

എല്ലാ വാസ്തവിക സംഖ്യകളിലും( t ≥ 0) നിർവ്വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന f(t) എന്ന ഫലനത്തിന്റെ ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം F(s) താഴെക്കാണുന്ന വിധം നിർവചിക്കാം:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

ഇവിടെ s ഒരു മിശ്രസംഖ്യയാണ്.

$s=\sigma +i\omega ,\,$ ,

σ ,ω എന്നിവ വാസ്തവിക സംഖ്യകളും.