ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നം

സാധാരണ ബലതന്ത്രത്തിൽ, ഗുരുത്വാകർഷണവിധേയമായി പരസ്പരം ബന്ധിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന രണ്ടേ രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ അന്യോനാപേക്ഷിതമായ ചലനം കണക്കുകൂട്ടുവാനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ക്രിയകളേയും അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന കാഠിന്യത്തേയുമാണു് ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നം (Two-body problem) എന്നു വിളിക്കുന്നതു്. ഒരു ഗ്രഹം സൂര്യനെ ചുറ്റുന്നതും ഉപഗ്രഹം ഗ്രഹത്തെ ചുറ്റുന്നതും ഇരട്ടനക്ഷത്രങ്ങളിൽ അവ അന്യോന്യം ചുറ്റുന്നതും എല്ലാം ഇത്തരം പ്രശ്നത്തിനു് ഉദാഹരണങ്ങളാണു്. ഇലൿട്രോൺ പരമാണുവിന്റെ മർമ്മത്തെ ചുറ്റിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നതും ഇതിനു സമാനമാണെങ്കിലും ഇക്കാര്യത്തിൽ കൃത്യമായ ഉത്തരം നിർണ്ണയിക്കാൻ ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രത്തിന്റെ തനതുനിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ടു്.

ഏകദേശം തുല്യമായ രണ്ടു ഖഗോളവസ്തുക്കൾ അവയുടെ പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിനുചുറ്റും ഒരു ദീർഘവൃത്താകാരഭ്രമണപഥത്തിൽ പ്രദക്ഷിണം ചെയ്യുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രം ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുന്നത് അവയെ സ്വതന്ത്രമായ ഒരു ജോടി ഏകവസ്തുപ്രശ്നങ്ങൾ ആക്കി പുനർനിർമ്മിച്ചുകൊണ്ടാണു്. ഏകവസ്തുപ്രശ്നങ്ങൾ താരതമ്യേന ലളിതവും സാധാരണ ഗുരുത്വാകർഷണനിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഉത്തരം കണ്ടെത്താനാവുന്നവയുമാണു്.

ഇപ്രകാരം ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നങ്ങൾ നിർദ്ധാരണം ചെയ്യാൻ സാധിക്കുമെങ്കിലും മൂന്നോ അതിൽ കൂടുതലോ വസ്തുക്കൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ബഹുവസ്തുഗുരുത്വചലനപ്രശ്നങ്ങൾ അത്യന്തം സങ്കീർണ്ണമാണു്.

നിർദ്ധാരണരീതി

ഒന്നാം ഘട്ടം (ഗുരുത്വബലം കണക്കാക്കുന്നതു്)

ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നത്തിലെ ജക്കോബി നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ; രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ പിണ്ഡങ്ങൾ m₁, m₂ എന്നിവയും പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നു് അവയിലേക്കുള്ള ദൂരം x₁, x₂ എന്നിവയും $M=m_{1}+m_{2}\$ ആണെങ്കിൽ, ജക്കോബിയൻ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ ${\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}$, ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$ എന്നിവയായിരിക്കും.

x₁, x₂ ഇവ രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ സ്ഥാനങ്ങളും 'm₁, m₂ എന്നിവ അവയുടെ പിണ്ഡങ്ങളും ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. ദ്വിവസ്തുപ്രശ്നത്തിന്റെ കാതൽ, തന്നിട്ടുള്ള ഒരു സമയത്തു് (t), ഈ രണ്ടു വസ്തുക്കളുടേയും (എപ്പോഴും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന) സ്ഥാനങ്ങൾ (x₁(t) and x₂(t)) എവിടെയൊക്കെ എന്നു കൃത്യമായി കണ്ടുപിടിക്കുക എന്നതാണു്. ഫലത്തിൽ ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ സമയാംശങ്ങൾക്കുമുള്ള ഈ സ്ഥാനമൂല്യങ്ങൾ, അതായതു് ആ വസ്തുക്കളുടെ ഭ്രമണപഥങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയും എന്നതാണു്.

ഇതിനാവശ്യമായി നമുക്കാവശ്യമുള്ള ആദ്യവിവരങ്ങൾ അവയുടെ പ്രാരംഭസ്ഥാനങ്ങളും(x₁(t = 0) and x₂(t = 0)) പ്രാരംഭപ്രവേഗങ്ങളും (₁(t = 0) and v₂(t = 0)) ആണു്.

ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം ചലനനിയമം അനുസരിച്ച്, ഈ രണ്ടു പിണ്ഡങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ഗുരുത്വാകർഷണബലങ്ങൾ ഇങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കാം:

$\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}\quad \quad \quad (\mathrm {Equation} \ 1)$

$\mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}\quad \quad \quad (\mathrm {Equation} \ 2)$

(ഇതിൽ F₁₂ എന്നതു് ഒന്നാമത്തെ പിണ്ഡത്തിന്മേൽ രണ്ടാമത്തെ പിണ്ഡം ചെലുത്തുന്നതും F₂₁ എന്നതു് തിരിച്ച് രണ്ടാമത്തെ പിണ്ഡത്തിന്മേൽ ഒന്നാമത്തെ പിണ്ഡം ചെലുത്തുന്നതുമായ ബലങ്ങളാണു്.

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ടും കൂടി കൂട്ടിയാൽ പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിന്റെ സ്ഥാനവും (position of barycenter) ആദ്യത്തേതിൽനിന്നും രണ്ടാമത്തേതു കുറച്ചാൽ പിണ്ഡങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള നൈമിഷികസ്ഥാനാന്തരണവും (r = x₁ − x₂) (displacement vector) രണ്ടു സ്വതന്ത്രസമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ലഭിയ്ക്കും. ഇവ നിർദ്ധാരണം ചെയ്താൽ നമുക്കാവശ്യമുള്ള ഉത്തരമായ ഭ്രമണപഥനിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങളും ലഭിയ്ക്കും.

രണ്ടാം ഘട്ടം: പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്

മുകളിലെ സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ടും സങ്കലനം ചെയ്താൽ ഇങ്ങനെ ലഭിയ്ക്കും:

$m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$

ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാം ചലനനിയമപ്രകാരം ബലപ്രയോഗവും പ്രതിപ്രയോഗവും തുല്യമായിരിക്കും. അതിനാൽ, F₁₂ = −F₂₁. (ഇതിൽ $\mathbf {R}$ എന്നതു് പിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിന്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.)

മുകളിലെ സമവാക്യം \mathbf{R}</math>നെ കർത്താവാക്കി (ഒറ്റപ്പെടുത്തി)മാറ്റിയെഴുതാം.

${\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

ഫലമായി ലഭിക്കുന്നതു്: The resulting equation: :${\ddot {\mathbf {R} }}=0$

ഇതിന്റെ അർത്ഥം, പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിന്റെതന്നെ പ്രവേഗം (V = dR/dt) ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയായിരിക്കുമെന്നാണു്. മാത്രമല്ല, ഗതിമാത്രാസംരക്ഷണനിയമം (conservation of momentum)അനുസരിച്ച് ഇവയുടെ മൊത്തം ഗതിമാത്രയും(ആക്കം)(momentum) m₁ v₁ + m₂ v₂ ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയായിരിക്കും. അതിനാൽ, രണ്ടു പിണ്ഡങ്ങളുടേയും പ്രാരംഭസ്ഥാനങ്ങളും പ്രാരംഭപ്രവേഗങ്ങളും അറിഞ്ഞാൽ ഏതു സമയാംശത്തിലേയും അവയുടെ പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രസ്ഥാനവും അറിയാം.

മൂന്നാം ഘട്ടം: വസ്തുക്കളുടെ സ്ഥാനാന്തരണം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്

ആദ്യത്തെ രണ്ടു സമവാക്യങ്ങളേയും അതതിലെ പിണ്ഡം കൊണ്ടു് ഹരിച്ച് ഒന്നിൽനിന്നു് മറ്റേതു് കുറച്ചാൽ,

${\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}$

ഇതിൽ r എന്നതു് രണ്ടാമത്തെ വസ്തുവിനു് ഒന്നാമത്തെ വസ്തുവിനെ അപേക്ഷിച്ചുള്ള സദിശമായ ദൂരമാണു് (displacement vector). F₁₂ = −F₂₁ ആണെന്നു ശ്രദ്ധിക്കുക. ന്യൂട്ടന്റെ മൂന്നാം ചലനനിയമമാണു് കാരണം.

ബലതന്ത്രനിയമങ്ങളനുസരിച്ചു്, ഏതു രണ്ടു വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുമുള്ള ആകർഷണബലവും അവ തമ്മിലുള്ള അകലത്തെ മാത്രമാണു് ആശ്രയിക്കുന്നതു്; അവയുടെ കേവലമായ സ്ഥാനത്തെയല്ല. അതുകൊണ്ടു് മുകളിലെ ബന്ധത്തെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

$\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )$

ഇതിൽ $\mu$ എന്നതിനെ ലഘൂകൃതപിണ്ഡം എന്നു വിളിക്കാം. ലഘൂകരിച്ച സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്നിൽ ഈ മൂല്യത്തിനേയും മറ്റേതിൽ പൂജ്യവും പിണ്ഡത്തിനു പകരം വെയ്ക്കാം.

ലഘൂകൃതപിണ്ഡം $\mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$

ഇതിൽ നിന്നും R (t), r(t) എന്നിവ കണ്ടുപിടിക്കാം.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ

അന്യോന്യം ഭ്രമണം ചെയ്യുന്ന രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ ഭ്രമണപഥങ്ങളുടെ ആകൃതി അവയുടെ പിണ്ഡങ്ങളുടെ അനുപാതത്തെയും ടെ പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നും അവയ്ക്കോരോന്നിനുമുള്ള അകലത്തേയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

തുല്യപിണ്ഡമുള്ളതും പരസ്പരം വളരെ അടുത്തതുമായ രണ്ടു ഖഗോളവസ്തുക്കൾ. സൗരയൂഥത്തിൽ ഇത്തരത്തിൽ നിലനിൽക്കുന്ന ക്ഷുദ്രഗ്രഹഇരട്ടകളാണു് 90 ആന്റ്യാപീ(90 Antiope). അതുവരെ ഒറ്റയ്ക്കൊരു വസ്തുവായി കരുതിയിരുന്ന 90 ആന്റ്യാപീ ശരിക്കും രണ്ടു വ്യത്യസ്ത പിണ്ഡങ്ങളാണെന്നു് തിരിച്ചറിഞ്ഞതു് 2000 ഓഗസ്റ്റ് 10നു മാത്രമാണു്. 120 കി.മീ. വ്യാസമുള്ള ഒറ്റ ഗോളത്തിനു പകരം അന്യോന്യം വെറും 171 കി.മീ. അകലവും, എന്നാൽ ഓരോന്നിനും 86±1 കി.മീ. വ്യാസവുമുള്ള രണ്ടു വസ്തുക്കളാണു് ഇവയെന്നു് കണ്ടെത്തി.)

തമ്മിൽ വ്യത്യാസമുള്ള പിണ്ഡങ്ങളുള്ള രണ്ടു വസ്തുക്കളുടെ ഭ്രമണപഥങ്ങൾ. പ്ലൂട്ടോ-ഷാരോൺ യുഗ്മങ്ങൾ ഇതുപോലുള്ളവയാണു്. ബാരിസെന്റർ (പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രം) പ്ലൂട്ടോയുടെ അകത്തു പെടാത്തതുകൊണ്ടു് ഷാരോണിനെ പ്ലൂട്ടോയുടെ ഉപഗ്രഹമായി കണക്കാക്കുന്നതിൽ ഇപ്പോഴും തർക്കങ്ങളുണ്ടു്.

രണ്ടു പിണ്ഡങ്ങളും തമ്മിൽ സാരമായ വ്യത്യാസമുള്ള അവസ്ഥ. ഭൂമിയും ചന്ദ്രനും ഈ തരത്തിൽ ഭ്രമണം ചെയ്യുന്നവയാണു്. പൊതുപിണ്ഡകേന്ദ്രം ഭൂമിയുടെ അന്തർഭാഗത്തു് കഷ്ടിയായി ഉൾപ്പെടുന്നു എന്നതു് ശ്രദ്ധിക്കുക.)

രണ്ടു പിണ്ഡങ്ങളും തമ്മിൽ അതിഭീമമായ വ്യത്യാസമുള്ള അവസ്ഥ. സൂര്യനും ഭൂമിയും തമ്മിൽ (സൂര്യനും മറ്റു ഗ്രഹങ്ങൾ ഓരോന്നും തമ്മിലും) ഇത്തരം ഭ്രമണപഥങ്ങളാണു് പങ്കുവെക്കുന്നതു്. ബാരിസെന്റർ സൂര്യന്റെതന്നെ കേന്ദ്രത്തിനോടു വളരെ അടുത്താണെന്നതു ശ്രദ്ധിക്കുക. ഫലത്തിൽ, സൂര്യൻ ഏറെക്കുറെ നിശ്ചലമായി സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ അതിനെ അപേക്ഷിച്ച് ഭൂമി അതിവിശാലമായ ഒരു പഥത്തിലൂടെ ചലിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു.)