അവകലസമവാക്യം

ഏകദങ്ങളും അവയുടെ അവകലജങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ കുറിക്കുന്ന സമവാക്യമാണ് അവകലസമവാക്യം. സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ, ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ എന്നീ വിഭാഗങ്ങളായി അവകല സമവാക്യങ്ങളെ തരം തിരിക്കാവുന്നതാണ്. എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം എന്നീ മേഖലകളിൽ വളരെയധികം പ്രായോകിഗ സാധ്യതയുള്ളവയാണ് അവകലസമവാക്യങ്ങൾ.

y = f(x) അഥവാ u = f(x,y,.....t) എന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ ചരങ്ങളുടെ ഒരു ഫലനം നേരിട്ടറിവില്ല; എന്നാൽ അവയുടെ അവകലജങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം അനുസരിക്കുന്നു എന്നറിയാം; ഈ നിലയിൽ ഫലനം കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട ആവശ്യം ശുദ്ധഗണിതത്തിലും പ്രയുക്തഗണിതത്തിലും പലപ്പോഴും ഉദ്ഭവിക്കുന്നു. ഉദാ: ഒരു വക്രത്തിന്റെ വക്രതാ ആരം തന്നിരുന്നാൽ വക്രം കാണുക; ഒരു വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനവും പ്രവേഗവും ത്വരണവും തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തിൽനിന്നും അതിന്റെ ഗതി നിർണയിക്കുക; ഒരു റേഡിയോ ആക്ടീവ് പദാർഥത്തിന്റെ ക്ഷയനിരക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ അർധായൂസ് കാണുക; തുടങ്ങിയ പ്രശ്നങ്ങൾ നിർധാരണം ചെയ്യാൻ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ പ്രയോജനപ്പെടുന്നു.

നാമകരണം

സാധാരണ, ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ

• ഒരു സ്വതന്ത്രചരം മാത്രമുള്ള അവകല സമവാക്യങ്ങളെ സാധാരണ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ എന്നു പറയുന്നു.
• രണ്ടോ അതിൽ കൂടുതലോ സ്വതന്ത്ര ചരങ്ങളുള്ള അവകല സമവാക്യങ്ങളെ ആംശിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ എന്നാണ് പറയുന്നത്.

രേഖീയ, അരേഖീയ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ

• കൃതി ഒന്നായതും അവകലജങ്ങൾ പരസ്പരം ഗുണിക്കപ്പെടാതെയും ഉള്ള രൂപത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നവയാണ് രേഖീയ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ.
• രേഖീയം അല്ലാത്ത എല്ലാ അവകല സമവാക്യങ്ങളും അരേഖീയമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

u എന്നത് xന്റെ ഏകദവും c, ω എന്നിവ സ്ഥിരസംഖ്യകളും ആണെന്ന് കരുതുക.

• ഏകാത്മകമല്ലാത്ത കോടി ഒന്നായ രേഖീയ സ്ഥിര ഗുണക സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:

${\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.$

• കോടി രണ്ടായ ഏകാത്മക രേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.$

• ക്രമാവർത്തന ദോലനം കുറിക്കുന്ന കോടി രണ്ടായ ഏകാത്മക രേഖീയ സ്ഥിര ഗുണക സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.$

• ഏകാത്മകമല്ലാത്ത കോടി ഒന്നായ അരേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:

${\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.$

• L നീളമുള്ള പെൻഡുലത്തിന്റെ സഞ്ചാരത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന കോടി രണ്ടായ അരേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം:

$L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.$

u എന്നത് x, t എന്നിവയുടേതോ x, y എന്നിവയുടേതോ ഏകദമാണെന്ന് കരുതുക.

• ഏകാത്മക രേഖീയ ആംശിക അവകല സമവാക്യം:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$

• എലിപ്റ്റിക് രൂപത്തിലുള്ള കോടി രണ്ടായ ഏകാത്മക രേഖീയ രേഖീയ സ്ഥിര ഗുണക ആംശിക അവകല സമവാക്യം, ലാപ്ലേസ് സമവാക്യം:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$

• കോടി മൂന്നായ അരേഖീയ സാധാരണ അവകല സമവാക്യം, കോർട്വെഗ്–ഡി വ്രീസ് സമവാക്യം:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.$