അധികതമം, അല്പതമം

ഗണിതത്തിൽ, ഒരു വക്രരേഖയുടെ ഉന്നതിബിന്ദുവിൽ ആ രേഖയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ അധികതമം എന്നോ മഹിഷ്ഠമെന്നോ പറയുന്നു; നിമ്നബിന്ദുവിലുള്ള ഫലനമൂല്യത്തെ അല്പതമം അഥവാ അല്പിഷ്ഠമെന്നും പറയുന്നു.

ഗണിതത്തിൽ, അവകലനം ഉപയോഗിച്ച് അവിച്ഛിന്ന ഫലനത്തിന്റെ (continuous function) ഏറ്റമിറക്കങ്ങളും വഴിത്തിരിവുകളും തിട്ടപ്പെടുത്താം. ഒരു സ്പർശക(tangent)ത്തിന്റെ ചരിവ് 0^o ആണെങ്കിൽ ചരിവുമാനം (ചായ്‌വ്) 0 ആണ്. 0^0 മുതൽ 90^0 വരെ ചരിവുള്ള സ്പർശകത്തിന്റെ ചരിവുമാനം ധനസംഖ്യയും 90^oയിൽ കവിഞ്ഞാൽ ഋണസംഖ്യയുമായിരിക്കും. ഉയർന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഒരു വക്രരേഖയ്ക്ക് അതിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിൽക്കൂടി വരയ്ക്കുന്ന സ്പർശകത്തിന്റെ ചരിവുമാനം ധനസംഖ്യയും, താഴ്ന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്നതിന് ചരിവുമാനം ന്യൂനസംഖ്യയുമാണ്. y-ഫലനഗ്രാഫിന്റെ പൊതു സ്പർശകത്തിന് ചരിവുമാനം dy/dx(=y')എന്ന അവകലനഗുണോത്തരമാണ്. വക്രം ഒരു പരിസരത്തിൽ ഉയർന്ന് ഒരു ഉന്നതിയിലെത്തി താഴുമ്പോൾ y'-ന്റെ മൂല്യം ധനസംഖ്യയിൽനിന്ന് അവിച്ഛിന്നമായി ഋണസംഖ്യയിലെത്തുന്നു. ധാരമുറിയാത്ത ഈ നീക്കത്തിൽ y'-ന്റെ മൂല്യത്തിന് പൂജ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകാതെ തരമില്ല.

ഇതിൽനിന്നു രണ്ടു കാര്യങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്. ഒന്ന്, ഉന്നതിയിൽ y' പൂജ്യമാണ്. രണ്ട്, y = f(x) ന്റെ അധികതമ പരിസരത്തിൽ y' ഫലനത്തിന് മൂല്യശോഷണം വന്നുകൊണ്ടിരിക്കും. മുമ്പു പറഞ്ഞ ന്യായത്തിൽതന്നെ, ഈ പരിസരത്തിൽ y' ഫലനത്തിന്റെ ചരിവുമാനം d^2y/d^x2(=y")ഒരു ന്യൂനസംഖ്യ ആയിരിക്കും. അങ്ങനെ y-യുടെ അധികതമമുണ്ടാകുന്നത് y' പൂജ്യവും y" ന്യൂനസംഖ്യയും ആകുമ്പോഴാണ്. ഈ വ്യവസ്ഥകളുപയോഗിച്ച് y = f(X) ഫലനത്തിന്റെ അധികതമങ്ങൾ കണക്കാക്കാം. അല്പതമത്തെക്കുറിച്ച് ഇങ്ങനെ ചർച്ച ചെയ്യുമ്പോൾ, y' പൂജ്യവും y" ധനസംഖ്യയും ആയിരിക്കുമ്പോഴാണ് അല്പതമങ്ങൾ കിട്ടുന്നതെന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു.

കടപ്പാട്: കേരള സർക്കാർ ഗ്നൂ സ്വതന്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണാനുമതി പ്രകാരം ഓൺലൈനിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച മലയാളം സർ‌വ്വവിജ്ഞാനകോശത്തിലെ അധികതമം, അല്പതമം എന്ന ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഈ ലേഖനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. വിക്കിപീഡിയയിലേക്ക് പകർത്തിയതിന് ശേഷം പ്രസ്തുത ഉള്ളടക്കത്തിന് സാരമായ മാറ്റങ്ങൾ വന്നിട്ടുണ്ടാകാം.