ഫെർമയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം

aⁿ + bⁿ = cⁿ എന്ന സമവാക്യത്തിൽ n ന്റെ മൂല്യം രണ്ടിൽ കൂടുതലായ പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഈ സമവാക്യത്തിനു നിർദ്ധാരണമായി 'a', 'b', 'c' എന്ന മൂന്നു ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാവുക അസാധ്യമാണ് എന്ന സിദ്ധാന്തമാണ് ഫെർമയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം എന്ന പേരിൽ അറിയപ്പെടുന്നത്. ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനായി മൂന്ന് നൂറ്റാണ്ടിലേറെയായി നടന്ന ശ്രമങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പല മുന്നേറ്റങ്ങൾക്കും വഴിയൊരുക്കി.

ചരിത്രം

ഡയോഫാന്റസിന്റെ അരിത്തമെറ്റിക്ക എന്ന പുസ്തകത്തിന്റെ 1670 ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഒരു പതിപ്പ്. ഇതിൽ ഫെർമായുടെ കുറിപ്പുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ളതായി കാണാം

1637 ൽ ഡയോഫാന്റസിന്റെ അരിത്തമെറ്റിക്ക എന്ന പുസ്തകത്തിന്റെ മാർജിനിൽ സുപ്രസിദ്ധ സംഖ്യാസിദ്ധാന്തികനായ പിയർ ഡി ഫെർമ എഴുതിവെച്ച ഒരു കുറിപ്പിനെയാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രകാരന്മാർ ഫെർമായുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത്. ലത്തീൻ ഭാഷയിൽ എഴുതിയ ഈ കുറിപ്പിന്റെ ഉള്ളടക്കം ഇപ്രകാരമാണ് :

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

മലയാളം തർജിമ :

ഒരു ഘനമൂല്യത്തെ (cube) രണ്ട് പൂർണ്ണ ഘനമൂല്യങ്ങളായി വേർതിരിക്കുക അസാധ്യമാണ്. അതുപോലെ രണ്ട് ചതുർവർഗ്ഗങ്ങളെ (fourth power) രണ്ട് പൂർണ്ണ ചതുർവർഗ്ഗങ്ങളായി വേർതിരിക്കുക അസാധ്യമാണ്. എന്ന് വച്ചാൽ പൊതുവെ വർഗ്ഗ ശക്തി രണ്ടിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ അതിന്റെ അതേ വർഗ്ഗത്തിലുള്ള രണ്ട് വർഗ്ഗ രൂപത്തിലുള്ള സംഖ്യകളായി വേർതിരിക്കുക അസാധ്യമാണ്. ഇതിന് അത്ഭുതപൂർവമായ ഒരു ഒരു തെളിവു ഞാൻ കണ്ട് പിടിച്ചിട്ടുണ്ട്. പക്ഷെ ഈ മാർജിനിൽ അതെഴുതുവാൻ സ്ഥലമില്ല

ഇതിന്റെ ഔപചാരിക നിർവചനമിപ്രകാരമാണ് (formal definition) : aⁿ + bⁿ = cⁿ എന്ന സമവാക്യത്തിൽ n ന്റെ മൂല്യം രണ്ടിൽ കൂടുതലായ പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഈ സമവാക്യത്തിനു ചേരുന്ന 'a', 'b', 'c' എന്ന മൂന്നു ധനപൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാവുക അസാധ്യമാണ്.

ഫെർമാ 1665- ൽ മരണമടഞ്ഞു. അതിനു മുൻപ് അദ്ദേഹം n = 4 എന്ന മൂല്യത്തിനുള്ള ഒരു തെളിവല്ലാതെ വേറെ തെളിവൊന്നും പ്രസിദ്ധീകരിച്ചില്ല. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവു എന്തായിരിക്കും എന്ന ചിന്ത പിന്നീട് മുന്നൂറ്റമ്പത് വർഷത്തോളം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരുടെ ജിജ്ഞാസയെ ഉണർത്തി. ഒറ്റ നോട്ടത്തിൽ ലളിതമായ ഈ പ്രശ്നത്തിന് ലളിതമായ പരിഹാരം എവിടെയോ ഒളിഞ്ഞിരിക്കുന്നു എന്ന് പലരും വിശ്വസിച്ചു, അത് കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ശ്രമം സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിൽ മറ്റ് പല കണ്ടു പിടിത്തങ്ങൾക്കും വഴി തെളിച്ചു. ഒടുവിൽ 1995- ൽ ഇംഗ്ലണ്ടിലെ ഒരു ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞനായ സർ ആൻഡ്രൂ വൈൽസ് (Andrew Wiles) ഇതിന് ഒരു സമ്പൂർണ്ണമായ തെളിവ് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. വൈൽസിന്റെ തെളിവ് നൂറ് പേജിലേറെ ദൈർഘ്യമുള്ളതും ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷമുണ്ടായ പല ഗണിത ശാസ്ത്ര കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെ അവലംബിച്ചതുമായിരുന്നു. ഇക്കാരണങ്ങളാൽ ഫെർമായുടെ കൈയിൽ വ്യക്തമായ തെളിവ് ഇല്ലായിരുന്നു എന്നും, ഒരു തെറ്റിദ്ധാരണയുടെ പുറത്താവാം ആ കുറിപ്പെഴുതിയതെന്നും പല ഗണിത ശാസ്ത്ര ചരിത്രകാരന്മാർക്ക് അഭിപ്രായമുണ്ട്.

പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ

• Introduction to Modern Number Theory: Fundamental Problems, Ideas and Theories . I. Manin, Yuri Ivanovic Manin, Alexei A Panchishkin