രേഖീയസഞ്ചയം

ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളെ ഓരോ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെക്കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അവയുടെ തുക കാണുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന വ്യഞ്ജകത്തെ ഗണിതത്തിൽ അവയുടെ രേഖീയസഞ്ചയം (linear combination) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി, x, y എന്നിവയുടെ രേഖീയസഞ്ചയത്തിന്റെ സാമാന്യരൂപം ax + by ആണ് (ഇവിടെ a, b എന്നിവ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്). രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിലും ബന്ധപ്പെട്ട ഗണിതശാഖകളിലും ഈ സംക്രിയ പ്രധാന പങ്കു വഹിക്കുന്നു.

നിർവചനം

ഒരു ക്ഷേത്രത്തിനു മേലുള്ള സദിശസമഷ്ടിയിലെ രേഖീയസഞ്ചയത്തിന്റെ നിർവചനം നോക്കാം. K ഒരു ക്ഷേത്രവും (ഉദാ: വാസ്തവികസംഖ്യകൾ) V അതിനുമേലുള്ള ഒരു സദിശസമഷ്ടിയും ആണെന്ന് കരുതുക. V യിലെ അംഗങ്ങളെ സദിശങ്ങൾ എന്നും K യിലെ അംഗങ്ങളെ അദിശങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. v₁,...,v_n എന്നിവ സദിശങ്ങളും a₁,...,a_n എന്നിവ അദിശങ്ങളുമാണെങ്കിൽ ഈ അദിശങ്ങൾ ഗുണോത്തരങ്ങളായുള്ള സദിശങ്ങളുടെ രേഖീയസഞ്ചയം

$a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+a_{3}{\vec {v}}_{3}+\cdots +a_{n}{\vec {v}}_{n}$

ആണ്. ഈ വ്യഞ്ജകത്തെത്തന്നെയോ അതിന്റെ വിലയെയോ രേഖീയസഞ്ചയം എന്ന വാക്കുകൊണ്ട് അർത്ഥമാക്കാം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

യൂക്ലിഡിയൻ സദിശങ്ങൾ

K എന്ന ക്ഷേത്രം വാസ്തവികസംഖ്യകളുടെ ഗണമായ R ആണെന്നും V എന്ന സദിശസമഷ്ടി R³ എന്ന ത്രിമാന യൂക്ലിഡിയൻ സമഷ്ടി ആണെന്നുമിരിക്കട്ടെ. e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0), e₃ = (0,0,1) എന്ന മൂന്ന് സദിശങ്ങളെടുക്കുക. R³ യിലെ ഏത് സദിശത്തെയും e₁, e₂, e₃ എന്നിവയുടെ രേഖീയസഞ്ചയമായി എഴുതാൻ സാധിക്കും. (a₁,a₂,a₃) എന്ന സദിശത്തെ എഴുതുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം:

$(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})\,$

$=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\,$

$=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}.\,$

ഫലനങ്ങൾ

K മിശ്രസംഖ്യകളുടെ ഗണമായ C യും V വാസ്തവികസംഖ്യകളിൽ നിന്ന് മിശ്രസംഖ്യകളിലേക്കുള്ള continuous ഫലനങ്ങളുടെ ഗണമായ C_C(R) ഉമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. f(t) := e^it, g(t) := e^−it എന്ന സദിശങ്ങളെടുക്കുക. (ഇവിടെ e സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ ആധാരവും i എന്നത് -1 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലമായ സാങ്കല്പിക ഏകകവുമാണ്.) താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രണ്ട് ഫലനങ്ങൾ f, g എന്നിവയുടെ രേഖീയസഞ്ചയങ്ങളാണ്:

• $\cos t={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}e^{it}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}e^{-it}\,$
• $2\sin t=(-i)e^{it}+(i)e^{-it}.\,$

എന്നാൽ സ്ഥിരാങ്കഫലനമായ 3 ഈ വിധത്തിൽ രേഖീയസഞ്ചയമായി എഴുതാനാവില്ല.