ബ്രാ-കെറ്റ് ചിഹ്നനങ്ങൾ

ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രത്തിൽ ക്വാണ്ടം അവസ്ഥകളെ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥയാണ് ആണ് ബ്രാ-കെറ്റ് ചിഹ്നനങ്ങൾ. ഗണിതത്തിലെ അമൂർത്തമായ സദിശങ്ങളേയും രേഖീയ ഫങ്ക്ഷണലുകളെയും രേഖപ്പെടുത്താനും ഈ ചിഹ്നനങ്ങൾ ഉപയോഗിയ്ക്കാറുണ്ട്. കോണീയ ബ്രാക്കറ്റുകളും ( ⟨ , ⟩ എന്നിവ) നേർവരയും ( | ) ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇത് ഉണ്ടാക്കുന്നത്. ഇതിനോട് ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റൊരു ചിഹ്നനം ഉപയോഗിച്ചാണ് സദിശങ്ങളുടെ അദിശഗുണനം സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നത്. ഇത് താഴെക്കൊടുക്കുന്ന പ്രകാരമാണ്:

$\langle \phi {\mid }\psi \rangle .$

ഇതിന്റെ വലതുവശത്തെ പകുതിയെ കെറ്റ് /kɛt//kɛt/; ഇതൊരു സദിശം ആണ്, സാധാരണയായി ഇതൊരു കോളം സദിശം ആയാണ് എഴുതുന്നത്:

$|\psi \rangle .$

ഇടത്തെ പകുതിയെ ബ്രാ, /brɑː//brɑː/ എന്ന് വിളിയ്ക്കുന്നു; ഇതും ഒരു സദിശം ആണെങ്കിലും കെറ്റ് സദിശത്തിന്റെ മിശ്രസംയുഗ്മിയ്ക്ക് (conjugate) തത്തുല്യമായ ഒരു തരം സദിശമാണിത്. (ഹെർമീഷ്യൻ കോഞ്ചുഗേറ്റ് എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഇത് ഒരു കോളം സദിശത്തെ പക്ഷാന്തരിതം (ട്രാൻസ്പോസ്) ചെയ്ത് അതിലെ അംഗങ്ങളെ കോഞ്ചുഗേറ്റ് ചെയ്തെടുക്കുന്നതാണ്. പക്ഷാന്തരിതം ചെയ്യപ്പെടുന്നത് കൊണ്ട് ഇതൊരു റോ സദിശം ആയിരിയ്ക്കും):

$\langle \phi |.$

ഹിൽബെർട് സ്പേസ് എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഇടത്തിൽ (സ്പേസ്) സദിശങ്ങളാൽ അടയാളപ്പെടുത്തുന്ന ക്വാണ്ടം അവസ്ഥകളെ രൂപാന്തരം ചെയ്യുന്ന സംഗതികളാണ് രേഖീയസംകാരകങ്ങൾ (ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർസ്, linear operators). രേഖീയസംകാരകങ്ങൾ ചതുരമൂശകളായാണ് (matrix) അടയാളപ്പെടുത്തുന്നത്.

ഒരു പ്രത്യക ക്വാണ്ടം അവസ്ഥയിലുള്ള ക്വാണ്ടം കണികയെ ഇത്തരം ഭൗതിക മാറ്റങ്ങൾക്ക് വിധേയമാക്കുമ്പോൾ അത് മറ്റൊരു അവസ്ഥയിലേയ്ക്ക് മാറുന്നു. അതായത് ഒരു പ്രത്യേക കെറ്റ്'നെ ഒരു രേഖീയസംകാരകം കൊണ്ട് ഓപ്പറേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ അത് വേറൊരു കെറ്റ് ആയി മാറുന്നു. അതായത് ഒരു സദിശത്തെ ഒരു ചതുരമൂശ കൊണ്ട് ഗുണിയ്ക്കുമ്പോൾ അത് വേറൊരു സദിശമായി മാറുന്നു.

ഈ മൂന്ന് പ്രസ്താവനകളും ഒരേ ആശയത്തെ പ്രതിനിധീകരിയ്ക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ ആശയം അനുസരിച്ചുള്ള ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രത്തിന്റെ വിശദീകരണം മാട്രിക്സ് മെക്കാനിക്സ് അഥവാ ചതുരമൂശ ബലതന്ത്രം എന്നറിയപ്പെടുന്നു..

1939 ൽ പോൾ ഡിറാക് ആണ് ബ്രാ-കെറ്റ് ചിഹ്നനസമ്പ്രദായം തുടങ്ങിവെച്ചത് അതിനാൽ ഈ സമ്പ്രദായത്തെ ഡിറാക് ചിഹ്നനസമ്പ്രദായം എന്നും വിളിയ്ക്കുന്നുണ്ട്.

ഏതാണ്ട് 100 വർഷങ്ങൾക്കു മുൻപ് ഹെർമാൻ ഗ്രാസ്മാൻ $[\phi {\mid }\psi ]$ എന്ന ചിഹ്നനം ഉപയോഗിച്ച് അദിശഗുണനത്തെ സൂചിപ്പിച്ചതാണ് ബ്രാ-കെറ്റ് ചിഹ്നനങ്ങളുടെ ആദ്യരൂപം.

Discrete components A_k of a complex vector |A⟩ = ∑_k A_k |e_k⟩, which belongs to a countably infinite-dimensional Hilbert space; there are countably infinitely many k values and basis vectors |e_k⟩.

Continuous components ψ(x) of a complex vector |ψ⟩ = ∫ dx ψ(x)|x⟩, which belongs to an uncountably infinite-dimensional Hilbert space; there are infinitely many x values and basis vectors |x⟩.

വിഭിന്നമായ (discrete) ഹിൽബെർട് സ്പേസും അനുസ്യൂതമായ (continuous) ഹിൽബെർട് സ്പേസും. വിഭിന്നമായ സ്പേസിൽ സദിശങ്ങളും (k) അവയുടെ ഘടകങ്ങളും കാണിച്ചിരിയ്ക്കുന്നു. അനുസ്യൂത സ്പേസിൽ തെരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു സദിശം (x) മാത്രം അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

എന്നാൽ എപ്പോഴും ബ്രാ-കെറ്റ് ചിഹ്നനങ്ങളെ ഒരു സദിശം ആയി അതിന്റെ എല്ലാ ഘടകസംഖ്യകളും നിരത്തി എഴുതാൻ പറ്റിയെന്ന് വരില്ല. കാരണം ഹിൽബെർട് സ്പേസ് എപ്പോഴും പരിമിതം ആകണമെന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന് സ്ഥാനത്തിന്റെ (position) ഹിൽബെർട് സ്പേസ് അസംഖ്യേയമായി അനന്തം (uncountably infinite) ആണ്. അതുപോലെ തന്നെ ഒരു സദിശത്തിന്റെ ഘടകസംഖ്യകളെ നിരത്തി എഴുതണമെങ്കിൽ അത് ഒരു ബേസിസിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വേണം. എന്നാൽ പലപ്പോഴും ക്വാണ്ടം അളക്കൽ നടത്തുമ്പോൾ അത് സൗകര്യത്തിനനുസരിച്ചുള്ള വ്യത്യസ്ത ബേസിസുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വേണ്ടി വരും (ഉദാ: ഒരു ക്വാണ്ടം അൽഗോരിതം ഓടുമ്പോൾ ഒരേ ക്വാണ്ടം കണികയെ വ്യത്യസ്ത ബേസിസുകളിൽ അളക്കേണ്ടി വരും). അതിനാൽ ഒരു പ്രത്യേക ബേസിസിനെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തി ഘടകസംഖ്യകളായി നിരത്തി എഴുതാതെ തന്നെയാണ് ബ്രാ-കെറ്റ് ചിഹ്നനങ്ങളെ ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രത്തിൽ ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നത്.