ബ്രക്കിസ്റ്റോക്രോൺ പ്രശ്നം

ലംബപ്രതലത്തിലെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കൾക്കിടയിൽ ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ മാത്രം സ്വാധീനത്തിൽ ഏറ്റവും കുറച്ചു സമയം കൊണ്ട് സഞ്ചരിക്കുന്ന വസ്തുവിന്റെ സഞ്ചാരപാത ഏതായിരിക്കും എന്ന ചോദ്യമാണ് ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ ബ്രക്കിസ്റ്റോക്രോൺ പ്രശ്നം എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. ഈ സഞ്ചാരപാത ഒരു ചക്രാഭം (സൈക്ലോയിഡ്)ആണ്.ഹ്രസ്വം എന്നർത്ഥം വരുന്ന ബ്രക്കിസ്(Brachis),സമയം എന്നർത്ഥം വരുന്ന ക്രോണോസ്(Chronos) എന്നീ ഗ്രീക്ക് പദങ്ങളാണ് പേരിനു പിന്നിൽ.

ചരിത്രം

1638-ൽ ഗലീലിയോ ഈ സമസ്യക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ നിരവധി പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തിയിരുന്നുവെങ്കിലും അവയൊന്നും ശരിയായ ഉത്തരം നൽകിയില്ല. ജർമനിയിലെ ആദ്യ ശാസ്ത്രപ്രസിദ്ധീകരണമായ ആക്ട എരുഡിറ്റോറിയ(Acta Eroditorum)ത്തിൽ 1696 ജനുവരി ഒന്നിന് ജൊഹാൻ ബെർണോളി ഈ പ്രശ്നം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ബെർണോളിയുടെ കുറിപ്പിന് അക്കാലത്തെ പ്രമുഖ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞരായിരുന്ന സർ ഐസക് ന്യൂട്ടൺ, എൽ ഹോസ്പിറ്റൽ,ജേക്കബ് ബർണോളി,ഗോട്ട്ഫ്രൈഡ് ലെയ്ബ്നിസ് എന്നിവർ മറുപടി നൽകി. തൊട്ടടുത്ത മെയ് മാസത്തിൽ ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രതികരണവും പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരവും ബർണോളി പ്രസിദ്ധപ്പെടുത്തി.ഈ പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചർച്ചകളാണ് പിൽക്കാലത്ത് വ്യതിയാനങ്ങളുടെ കലനം(Calculus of variations)എന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര രീതിയുടെ വളർച്ചയ്ക്കും ഓയിലർ സമവാക്യ(Euler Equation)ത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തത്തിനും വഴിയൊരുക്കിയത്.

പ്രശ്നം

ബ്രക്കിസ്റ്റോക്രോൺ പ്രശ്നം വിശദമാക്കുന്ന ചിത്രം

ഒരു ലംബപ്രതലത്തിൽ A,B എന്നിങ്ങനെ രണ്ടു ബിന്ദുക്കളുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ. ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ മാത്രം സ്വാധീനത്തിൽ Aയിൽ നിന്നും യാത്രയാരംഭിക്കുന്ന ഒരു വസ്തു ഏറ്റവും ചുരുങ്ങിയ സമയം കൊണ്ട് Bയിലെത്തണമെങ്കിൽ വസ്തു ഏത് പാത സ്വീകരിക്കണം?

ഉത്തരം

ഒരു വളരെച്ചെറിയ ദൂരം സഞ്ചരിക്കാൻ വസ്തു എടുക്കുന്ന സമയം കണ്ടെത്തി സമാകലനം നടത്തിയാൽ ആകെ ദൂരം സഞ്ചരിക്കാൻ വസ്തു എടുക്കുന്ന സമയം ലഭിക്കും. ഈ സമാകലനസമവാക്യത്തിന് ഏറ്റവും ചെറിയ ഉത്തരം ലഭിക്കത്തക്കവിധം വസ്തു സഞ്ചരിക്കുന്ന പാതയാണ് കണ്ടെത്തേണ്ടത്.

അതായത്, ആകെ സമയം , $T=\int {dt}=\int {\frac {ds}{v}}$
ഇവിടെ v വസ്തുവിന്റെ പ്രവേഗം ആണ്. വസ്തു സ്ഥിരാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് യാത്രയാരംഭിക്കുന്നു എന്ന് അനുമാനിച്ചാൽ y=0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ v=0 ആയിരിക്കും.

വസ്തു ഏറ്റവും കുറച്ചു സമയമെടുക്കുന്ന പാതയിൽ ഈ സമാകാലത്തിന്റെ വില ഏറ്റവും ചെറുതായിരിക്കും.

ഊർജ്ജ സംരക്ഷണനിയമപ്രകാരം;

${\frac {1}{2}}mv^{2}=mgy$

$\therefore v={\sqrt {2gy}}$

അപ്പോൾ ആകെ സമയം ; $T=\int {\sqrt {\frac {1+{\dot {y}}^{2}}{2gy}}}dx=\int Fdx$

ഇവിടെ $F={\sqrt {\frac {1+{\dot {y}}^{2}}{2gy}}}$ ആണ്.

സമാകലം ഏറ്റവും ചെറുതാകുന്നത് $F$ ഓയിലർ സമവാക്യം അനുസരിക്കുമ്പോഴാണ്.അതായത്,
${\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial {\dot {y}}}}\right)-{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$ ആയിരിക്കണം

അങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന അവകലനസമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണമൂല്യം;

${\frac {y}{a}}=1-\operatorname {Cos} \left({\frac {x+{\sqrt {y(2a-y)}}}{a}}\right)$എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കും.ഇത് ഒരു സൈക്ലോയിഡിന്റെ സമവാക്യമാണ്.