ബെസു അനന്യത

സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ ഒരു പ്രമേയമാണ് ബെസു അനന്യത (Bézout's identity) അഥവാ ബെസു പ്രമേയിക (Bézout's lemma).

ബെസു അനന്യത — a, b എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഉസാഘ d ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. എങ്കിൽ ax + by = d എന്ന സമവാക്യമനുസരിക്കുന്ന x, y എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും. കൂടുതൽ സാമാന്യവൽക്കരിച്ചാൽ, ax + by എന്ന രൂപത്തിലെഴുതാവുന്ന സംഖ്യകൾ കൃത്യം d യുടെ ഗുണിതങ്ങൾ തന്നെയാണ്.

x, y എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ (a, b) യുടെ ബെസു ഗുണോത്തരങ്ങൾ എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഇവ അനന്യമല്ല. ഒരു ജോടി ബെസു ഗുണോത്തരങ്ങളെ വികസിത യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം. a, b എന്നിവ പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ $|x|\leq \left|{\frac {b}{d}}\right|$ , $|y|\leq \left|{\frac {a}{d}}\right|$ എന്ന അസമതകളനുസരിക്കുന്ന രണ്ട് ജോടികളിലൊന്നാണ് വികസിത യൂക്ലിഡിയൻ അൽഗൊരിതം വഴി ലഭിക്കുക. സംഖ്യകളിലൊന്ന് മറ്റേതിന്റെ ഗുണിതമാണെങ്കിൽ തുല്യത വരാം.

പ്രാഥമിക സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ യൂക്ലിഡിന്റെ പ്രമേയിക, ചൈനീസ് ശിഷ്ട പ്രമേയം മുതലായവ പ്രമേയങ്ങൾ അനന്യതയുടെ ഫലമായി വരും. ബെസു അനന്യത അനുസരിക്കുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യാ മണ്ഡലങ്ങളെ ബെസു മണ്ഡലങ്ങൾ എന്നു വിളിക്കുന്നു. പ്രിൻസിപൽ ഗുണജ മണ്ഡലങ്ങളെല്ലാം ഇങ്ങനെ ബെസു അനന്യത അനുസരിക്കുന്നവയാണ്. ബെസു അനന്യതയുപയോഗിച്ച് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് തെളിയിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളൊക്കെ ഈ മണ്ഡലങ്ങളിലും സാധുവാകുന്നു.

ചരിത്രം

ബഹുപദങ്ങൾക്ക് ഈ അനന്യത തെളിയിച്ച ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ എറ്റിയെൻ ബെസുവിന്റെ (1730–1783) പേരിലാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്.^[1] എന്നാൽ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഈ പ്രസ്താവന മുമ്പുതന്നെ മറ്റൊരു ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ക്ലോദ് ഗസ്പാർദ് ബാഷെ ദെ മെസിരിയാക് (1581–1638) പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിരുന്നു.^[2]^[3]^[4]

അവലംബം

↑ Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.
↑ Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.
↑ Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (2nd ed.). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. pp. 18–33. On these pages, Bachet proves (without equations) "Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Given two numbers [which are] relatively prime, find the lowest multiple of each of them [such that] one multiple exceeds the other by unity (1).) This problem (namely, ax - by = 1) is a special case of Bézout's equation and was used by Bachet to solve the problems appearing on pages 199 ff.
↑ See also: Maarten Bullynck (February 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009.

ഗണിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈ ലേഖനം അപൂർണ്ണമാണ്‌. ഇതു വികസിപ്പിക്കുവാൻ സഹായിക്കുക.

[1] Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.

[2] Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.

[3] Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (2nd ed.). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. pp. 18–33. On these pages, Bachet proves (without equations) "Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Given two numbers [which are] relatively prime, find the lowest multiple of each of them [such that] one multiple exceeds the other by unity (1).) This problem (namely, ax - by = 1) is a special case of Bézout's equation and was used by Bachet to solve the problems appearing on pages 199 ff.

[4] See also: Maarten Bullynck (February 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009.

[1]

[2]

[3]

[4]