പീരിയോഡിക് ഫങ്‌ഷൻ

ആവർത്തക ഏകദം കൃത്യമായ ഇടവേളകളിൽ അതിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ഏകദമാണ്‌. ഉദാഹരണത്തിന്, $2\pi$ റേഡിയനുകളുടെ ഇടവേളകളിൽ ആവർത്തിക്കുന്ന ത്രികോണമിതി ഏകദങ്ങൾ ആവർത്തക ഏകദങ്ങളാണ്. ആന്ദോളനങ്ങൾ, തരംഗങ്ങൾ, ആനുകാലികത പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന മറ്റ് പ്രതിഭാസങ്ങൾ എന്നിവ വിവരിക്കാൻ ശാസ്ത്രത്തിലുടനീളം ആവർത്തക ഏകദങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആനുകാലികമല്ലാത്ത ഏതൊരു ഏകദത്തെയും അനാവർത്തക എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

P കാലഘട്ടമുള്ള ആവർത്തകഫലനത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രം.

നിർവ്വചനം

പൂജ്യമല്ലാത്ത സ്ഥിരാങ്കമായ P ക്ക്,

$f(x+P)=f(x)$

ശരിയാണെങ്കിൽ, മണ്ഡലത്തിന്റെ എല്ലാം മൂല്യങ്ങൾക്ക് വേണ്ടി f ഒരു ആവർത്തക ഏകദമാണ്. ഇവിടെ, പൂജ്യമല്ലാത്ത സ്ഥിരാങ്കമായ P ഏകദമിന്റെ കാലഘട്ടം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ സവിശേഷതയുള്ള കുറഞ്ഞത് ഒരു അധിസ്ഥിരാങ്കം P നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ അടിസ്ഥാനകാലഘട്ടം എന്ന വിളിക്കപ്പെടുന്നു. പലപ്പോഴും, ഒരു ഏകദമിന്റെ കാലയളവ് അതിന്റെ അടിസ്ഥാന കാലഘട്ടത്തെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. P കാലയളവിലുള്ള ഒരു ഏകദം P ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ഇടവേളകളിൽ ആവർത്തിക്കും, ഈ ഇടവേളകളെ ചിലപ്പോൾ ഏകദമിന്റെ കാലഘട്ടങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ജ്യാമിതീയമായി, ഒരു ആവർത്തന ഏകദമിനെ അതിന്റെ രേഖാരൂപം സ്ഥാനാന്തരണ സമമിതി കാണിക്കുന്ന ഒരു ഏകദമായി നിർവചിക്കാം, അതായത്, x-ദിശയിൽ P യുടെ അകലത്തിൽ വിവർത്തനം ചെയ്യുമ്പോൾ ഏകദം f ന്റെ രേഖാരൂപം മാറ്റമില്ലാത്തതാണെങ്കിൽ, f P കാലയളവിനൊപ്പം ആനുകാലികമാണ്. ആനുകാലികതയുടെ ഈ നിർവചനം മറ്റ് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിക്കാം, കൂടാതെ തലത്തിന്റെ ആനുകാലിക ഓട് പൂരിപ്പിക്കൽ പോലുള്ള ഉയർന്ന മാനങ്ങളിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും ചെയ്യാം. ഒരു സംഖ്യാശ്രേണിയെ എണ്ണൽസംഖ്യകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഏകദമായി കാണാനും കഴിയും, കൂടാതെ ഒരു ആനുകാലിക ക്രമത്തിന് ഈ ആശയങ്ങൾ അതിനനുസരിച്ച് നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

സൈൻ ഏകദമിന്റെ ഒരു രേഖാരൂപം, ഇത് രണ്ട് പൂർണ്ണ കാലഘട്ടങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു

യഥാർത്ഥസംഖ്യ ഉദാഹരണങ്ങൾ

സൈൻ ഏകദം $2\pi$ കാലയളവിനൊപ്പം ആനുകാലികമാണ് , കാരണം $x$ ന്റെ എല്ലാം മൂല്യങ്ങൾക്കുവേണ്ടി

$\sin(x+2\pi )=\sin x$

ഈ ഏകദം ദൈർഘ്യം $2\pi$ യുടെ ഇടവേളകളിൽ ആവർത്തിക്കുന്നു (വലതുവശത്തുള്ള രേഖാരൂപം കാണുക).

ചരം സമയമാകുമ്പോൾ ദൈനംദിന ഉദാഹരണങ്ങൾ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു; ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു ഘടികാരത്തിന്റെ കൈകൾ അല്ലെങ്കിൽ ചന്ദ്രന്റെ ഘട്ടങ്ങൾ ആനുകാലിക സ്വഭാവം കാണിക്കുന്നു. ആനുകാലിക ചലനം എന്നത് ഒരു തരം ചലനമാണ്, അവിടെ വ്യവസ്ഥയുടെ സ്ഥാനം(കൾ) ഒരേ കാലയളവിൽ ആനുകാലിക ഏകദങ്ങളായി പ്രകടിപ്പിക്കാം,