ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, തുകകളുടെ കൃതിയുടെ വികസിത രൂപം തരുന്ന ഒരു പ്രധാനപ്പെട്ട സമവാക്യമാണ് ദ്വിപദപ്രമേയം. ഇതിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപം താഴെപറയുന്നതാണ്.
![{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57d80d4ca1a3144c8aba185931651657ab3c8bc)
x, y എന്നിവ രേഖീയ സംഖ്യയോ മിശ്ര സംഖ്യയോ n ഋണേതര പൂർണ സംഖ്യയുമായിരിക്കണം. ഈ സമവാക്യത്തിലെ ദ്വിവർഗ്ഗ ഗുണാങ്കം ഫാക്ടോറിയൽ n!-നെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കാം.
![{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae6159fa838435bfa133ed13146e270ae4c4d39)
പാസ്കൽ ത്രികോണം ഉപയോഗിച്ചും ഈ ഗുണാങ്കം കണ്ടെത്താവുന്നതാണ്.
2 ≤ n ≤ 5 ആയ ഉദാഹരണങ്ങൾ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു:
![{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e52720a3279a1252f0b68c19477e068c14707d)
![{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83abe29ae9f5b0b7fef3c08438cf1c4a3f7cb46)
![{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245a0078f350439cb01c573802a982514288f7d5)
![{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c68330b062b296108cc6984de4be680f564101f)