തുടർമാനബലതന്ത്രം

പദാർത്ഥങ്ങളെ വ്യതിരിക്തകണികകളായി(discrete particles) കാണാതെ ഒരേ പിണ്ഡത്തിന്റെ തന്നെ തുടർച്ചയായ പ്രതിമാനങ്ങളായി(models)കണക്കാക്കിക്കൊണ്ട് അവയുടെ യാന്ത്രിക സവിശേഷതകളെപ്പറ്റി പഠിക്കുന്ന ബലതന്ത്രശാഖയാണ് തുടർമാനബലതന്ത്രം (Continuum Mechanics). 19 ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതജ്ഞനായ അഗസ്റ്റിൻ ലൂയിസ് കാഷി ആണ‌് ആദ്യമായി ഇത്തരം പ്രതിമാനങ്ങളെ രൂപപ്പെടുത്തിയത്.

വിശദീകരണം

ഒരു വസ്തുവിനെ തുടർമാനത്തിലുളള ഒരു പ്രതിരൂപമാമാക്കുമ്പോൾ, പദാർത്ഥം ആ വസ്തു സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന സ്ഥൂലത(space)യിലുടനീളം നിറഞ്ഞുനില്ക്കുന്നതായാണ് കണക്കാക്കുന്നത്. ഇത്തരുണത്തിൽ പദാർത്ഥം ആറ്റങ്ങളാൽ നിർമ്മിതമാണെന്നും അതിനാൽ അവ തുടർച്ചയായ ഒന്നല്ലെന്നുമുളള വസ്തുത തൃണവത്ഗണിക്കുന്നു. ആറ്റങ്ങൾ തമ്മിലുളള അകലം പരിഗണിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ലാത്ത വലിയ അളവുതോതുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന അവസരങ്ങളിൽ ഇത്തരം പ്രതിമാനങ്ങൾ (Models) വളരെ സൂക്ഷ്മഫലങ്ങൾ നല്കുന്നു. ദ്രവ്യസംരക്ഷണനിയമം, ആക്കസംരക്ഷണനിയമം, ഊർജ്ജസംരക്ഷണനിയമം എന്നിവ പോലുളള മൗലികഭൗതികശാസ്ത്രനിയമങ്ങൾ ഇത്തരം പ്രതിമാനങ്ങളിൽ പ്രയോഗിച്ച് ആ വസ്തുക്കളുടെ സ്വഭാവവിശേഷതകളെ സംബന്ധിക്കുന്ന അവകലനസമവാക്യങ്ങൾ(differential equations) ഉണ്ടാക്കി അവയെപ്പറ്റി വിവരങ്ങൾ സമാഹരിച്ച് മുതൽക്കൂട്ടാൻ കഴിയും.

ഖര-ദ്രവപദാർത്ഥങ്ങളെ അവ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന നിർദ്ദേശാങ്കവ്യവസ്ഥ(coordinate system)ബാധകമാകാതെയുളള അവയുടെ ഭൗതികസവിശേഷതകളെ കുറിച്ച് പ്രദിപാതിക്കുന്ന പഠനമാണ് തുടർമാനബലതന്ത്രം (Continumm Mechanics). ഈ ഭൗതികസവിശേഷതകളെ പിന്നീട് സ്വതന്ത്രനിർദ്ദേശാങ്കവ്യവസ്ഥയോടുകൂടിയ നിർദ്ദിഷ്ട സ്വഭാവവിശേഷതകളുളള പ്രദിശങ്ങൾ(tensor ) ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇത്തരം പ്രദിശങ്ങളെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് എളുപ്പമായ രീതിയിൽ നിർദ്ദേശാങ്കവ്യവസ്ഥയിൽ എഴുതാൻ സാധിക്കും.

തുടർമാനം എന്ന ആശയം

എല്ലാ ഖര, ദ്രവ, വാതക പദാർത്ഥങ്ങളും ഇടവിട്ടുളള തന്മാത്രകളാൽ നിർമ്മിതമാണ്. സൂക്ഷ്മമായ തോതിൽ പദാർത്ഥങ്ങളിൽ വിള്ളലുകളും തുടർച്ചയില്ലായ്മയും ഉണ്ട്. എന്നാൽ ദ്രവ്യം അത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന സ്ഥൂലത(space)യിലുടനീളം വ്യാപിച്ചുനിൽക്കുന്ന ഒരു തുടർമാനം ആണെന്ന് സങ്കല്പിച്ചുകൊണ്ട് ചില ഭൗതികപ്രമാണങ്ങൾക്ക് പ്രതിരൂപം(modelled) നല്കാവുന്നതാണ്. ഘനവസ്തുവിനെ അതിന്റെ അതേ സവിശേഷതകളുളള അനന്തസൂക്ഷ്മമായ സത്തകളായി തുടർച്ചയായി വിഭജനം ചെയ്യപ്പെടാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ആ വസ്തുവിനെ തുടർമാനം എന്നുപറയാം.

വാഹനഗതാഗതം ഒരു പ്രാരംഭ ഉദാഹരണം

ഒറ്റവരിയായ വാഹനഗതാഗതം പരിഗണിക്കുക. തുടർമാനബലതന്ത്രം വാഹനങ്ങളുടെ ചലനത്തെ ഭാഗികഅവകലനസമവാക്യങ്ങളുപയോഗിച്ച് പ്രതിരൂപങ്ങൾ (Model) സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഈ സന്ദർഭത്തെ പരിചയപ്പെടുന്നതിലൂടെ തുടർമാനവും വ്യതിരിക്തമാനവും (Continuum- descrete) വ്യത്യാസങ്ങളെപ്പറ്റി കൂടുതൽ അറിയാൻ കഴിയും.

പ്രതിരൂപനത്തിനായി, ആദ്യം ഇപ്രകാരം നിർവചിക്കുക: ഹൈവേയിലുടെയുളള ദൂരം $x$ കി.മീ. ആണ്.; സമയം $t$ മിനിട്ടുകൾ ആണ്. $\rho (x,t)$ വാഹനങ്ങളുടെ നിബിഢത(Density)യാണ്. $x$ എന്ന സ്ഥാനത്തുളള വാഹനങ്ങളുടെ പ്രവാഹവേഗത (ശരാശരിവേഗത) $u(x,t)$ ആണ്.

കവചനം (Conservation) ഒരു ഭാഗിക അവകലസമവാക്യം (Conservation Partial Differential Equation) ഉണ്ടാക്കുന്നു.

വാഹനങ്ങൾ പുതുതായി പ്രത്യക്ഷമാകുകയോ അപ്രത്യക്ഷമാകുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല. ഏതെങ്കിലും ഒരു ഗണം വാഹനങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക: $x=a(t)$ എന്നയിടത്തുളള വാഹനത്തിന്റെ പിൻവശത്തുനിന്നും $x=b(t)$ എന്നയിടത്തുളള വാഹനത്തിന്റെ മുൻവശം വരെ. ആ ഗണത്തിലെ ആകെ കാറുകളുടെ എണ്ണം $N=\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx$. കാറുകൾ സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതിനാൽ $dN/dt=0$. എന്നാൽ, ലൈബ്നിറ്റ്സ് സമാകലനനിയമപ്രകാരം,

${\begin{aligned}{}{\frac {dN}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t){\frac {db}{dt}}-\rho (a,t){\frac {da}{dt}}\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t)u(b,t)-\rho (a,t)u(a,t)\\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)\right]dx\end{aligned}}$

ഈ സമാകലജം എല്ലാ ഗണത്തിനും പൂജ്യം ആയിരിക്കും. അതായത് $[a,b]$ ലെ എല്ലാ ഇടവേളകൾക്കും. എല്ലാ ഇടവേളകൾക്കും ഒരു സമാകലം പൂജ്യമാകുന്നതിനുളള ഒരേ ഒരു വഴി സമാകല്യം എല്ലാ $x$ നും പൂജ്യം ആകുകയാണ്. കവചനം ഒരു ഒന്നാംകൃതി അരേഖീയ അവകലസമവാക്യം ഉണ്ടാക്കുന്നു

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0$. ഹൈവേയിലെ ഏതൊരു സ്ഥാനത്തിനും ഇത് ബാധകമാണ്.

ഈ സമവാക്യം വാഹനഗതാഗതത്തിനുമാത്രമല്ല ദ്രവങ്ങൾക്കും ഖരങ്ങൾക്കും ആൾക്കൂട്ടത്തിനും സസ്യങ്ങൾക്കും കാട്ടുതീയ്ക്കും വാണിജ്യങ്ങൾക്കും എല്ലാം ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ്.