ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം

അഭിന്നമായ ബോസോണുകളുടെ ക്വാണ്ടം വ്യവസ്ഥയിലെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന ഊർജ്ജമുള്ള സ്ഥിതിയുടെ (ground state) വേവ് ഫങ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരം നൽകുന്ന സമവാക്യമാണ്‌ ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം. ആകെ വേവ് ഫങ്ഷനെ കണികകളുടെ വേവ് ഫങ്ഷനുകളുടെ ഉൽപന്നമായി കണക്കാക്കുന്ന ഹാർട്രീ-ഫോക്ക് അപ്രോക്സിമേഷൻ, ബോസോണുകൾ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനത്തിന്‌ മാതൃകയായി സ്യൂഡോപോട്ടൻഷ്യൽ പ്രതിപ്രവർത്തനമാതൃക എന്നിവ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ബോസ്-ഐൻസ്റ്റൈൻ കണ്ടൻസേറ്റുകളുടെ വേവ് ഫങ്ഷൻ വിശദീകരിക്കാൻ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. ഗിൻസ്ബർഗ്-ലാൻഡൗ സമവാക്യത്തിന്‌ സമാനമായ ഇതിനെ അരേഖീയ ഷ്രോഡിങർ സമവാക്യം എന്നും വിളിക്കാറുണ്ട്.

കണികകൾ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനം മൂലമാണ്‌ ഈ സമവാക്യം അരേഖീയമാകുന്നത്. പ്രതിപ്രവർത്തനമില്ലെങ്കിൽ ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം ഒരു കണികയുടെ ഷ്രോഡിങർ സമവാക്യത്തിന്‌ സമമാകുന്നതാണ്‌. അരേഖീയമായ Partial differential equation ആണ്‌ ഇത് എന്നതിനാൽ ഇതിന്‌ കൃത്യമായ നിർദ്ധാരണം കണ്ടെത്താൻ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്‌. തോമസ്-ഫെർമി അപ്രോക്സിമേഷൻ, ബൊഗോല്യുബോവ് അപ്രോക്സിമേഷൻ മുതലായവയുപയോഗിച്ചും കം‌പ്യൂട്ടറുകളിൽ സാംഖ്യികമായ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചുമാണ്‌ സാധരണ നിർദ്ധാരണങ്ങൾ കണ്ടെത്താറ്.

സമവാക്യം

കണികകളുടെ എണ്ണത്തിൽ മാറ്റം വരാത്ത ക്വാണ്ടം വ്യവസ്ഥയിലെ സമയനിരപേക്ഷ ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം (time-independent Gross–Pitaevskii equation) ഇതാണ്‌:

$\mu \Psi (\mathbf {r} )=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g\vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} )$

ഇവിടെ

• $\mu$ = കെമിക്കൽ പൊട്ടൻഷ്യൽ
• $\Psi$ = വേവ് ഫങ്ഷൻ
• $\hbar$ = റെഡ്യൂസ്ഡ് പ്ലാങ്ക് സ്ഥിരാങ്കം
• $m$ = കണികയുടെ പിണ്ഡം
• $g={\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{s}}{m}}$. ഇവിടെ $a_{s}$ വിസരണദൈർഘ്യമാണ്‌ (scattering length)

സമയാധിഷ്ഠിത ഗ്രോസ്-പിതാവ്സ്കി സമവാക്യം (time-dependent Gross–Pitaevskii equation) ഇതാണ്‌:

$i\hbar {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} )}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )+g\vert \Psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} )$.