ആർക്കിമിഡീസിന്റെ കന്നുകാലിപ്രശ്നം

എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ ബീജമൂല്യങ്ങളായുള്ള ബഹുപദങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രപ്രശ്നമാണു് ആർക്കിമിഡീസിന്റെ കന്നുകാലി പ്രശ്നം അഥവാ കന്നുകാലിപ്രശ്നം അഥവാ ആർക്കിമെഡീസ് പ്രശ്നം. ഹീലിയോസ് എന്ന സൂര്യദേവന്റെ കന്നുകാലിക്കൂട്ടത്തിൽ എത്ര കന്നുകൾ ഉണ്ടെന്നു്, തന്നിട്ടുള്ള ഒരു പറ്റം നിബന്ധനകൾ അനുസരിക്കുന്നവിധം, കണക്കുകൂട്ടിയെടുക്കുക എന്നതാണു് ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം. ജർമ്മനിയിലെ വോൾഫെൻബൂട്ടൽ എന്ന പട്ടണത്തിലെ ഹെർസോഗ് ഓഗസ്റ്റ് എന്ന ഗ്രന്ഥശാലയിലെ ഒരു കൈയെഴുത്തുപ്രതിയിൽ നിന്നും ഗോട്ട്‌ഹോൾഡ് എഫ്രേയ്മ് ലെസ്സിങ്ങ് 1773-ൽ കണ്ടെടുത്ത നാൽപ്പതിനാലു വരികളുള്ള പുരാതന ഗ്രീക്ക് കവിതയിലാണു് ഈ പ്രശ്നം ആദ്യം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതു്.

ഭീമസംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന കണക്കുകൾ കൂട്ടുവാനുള്ള അതിക്ലേശം മൂലം നൂറിലധികം വർഷത്തേക്കു് ഈ ചോദ്യത്തിനു് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാൻ ആർക്കും കഴിഞ്ഞിരുന്നില്ല.ഒടുവിൽ 1880-ൽ ആംതോർ എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണു് കൃത്യങ്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നിർദ്ധാരണം അവതരിപ്പിച്ചതു്. കന്നുകാലികളുടെ എണ്ണം ഏകദേശം $7.76\times 10^{206544}$ ആയിരിക്കണമെന്നും അത്രയും എണ്ണം കന്നുകാലികളുടേതു് ഈ ദൃശ്യപ്രപഞ്ചത്തിൽ തന്നെ ഒതുങ്ങാത്തത്ര വലിയൊരു കൂട്ടമായിരിക്കുമെന്നും അദ്ദേഹം ചൂണ്ടിക്കാണിച്ചു.

കന്നുകാലിപ്രശ്നത്തിന്റെ ശരിയും കൃത്യവുമായ, ദശാംശസംഖ്യകളായി എഴുതാവുന്ന ഉത്തരം മനുഷ്യബുദ്ധി മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു് എളുപ്പമല്ല. എന്നാൽ ആധുനികകാലത്തു് പ്രത്യേകം എഴുതിയുണ്ടാക്കിയ പ്രോഗ്രാമുകൾ (Multiple precision Arithmetic Tools) ഉപയോഗിച്ച് ഇതു സാദ്ധ്യമാണു്.

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവതരണം

ജർമ്മൻ ഭാഷയിൽ സംക്ഷിപ്തമായി തർജ്ജമ ചെയ്ത ഒരു രൂപത്തിൽ (ജോർജ്ജ് നെസ്സെൽമാൻൻ 1842; ക്രംബിയേഗെൽ 1880) പ്രശ്നം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

"സുഹൃത്തേ, സിസിലിയി ലെമൈതാങ്ങളിൽ മേഞ്ഞുനടന്നിരുന്ന സൂര്യദേവന്റെ കന്നുകാലികളുടെ എണ്ണം കണക്കുകൂട്ടി കണ്ടുപിടിക്കൂ; അവ നാലു നിറങ്ങളിലുണ്ടു്; വെളുപ്പ്, കറുപ്പ്, മഞ്ഞ, മിശ്രവർണ്ണമായ പാണ്ടുകളോടുകൂടിയതു്; പശുക്കളേക്കാൾ കൂടുതൽ കാളകളുണ്ടു്; പിന്നെ,

മഞ്ഞക്കാളകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ കൂടെ കറുത്ത കാളകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ രണ്ടിലൊന്നും മൂന്നിലൊന്നും കൂട്ടിയാൽ വെളുത്ത കാളകളുടെ എണ്ണം കിട്ടും.

മഞ്ഞക്കാളകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ കൂടെ പാണ്ടുള്ള കാളകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ നാലിലൊന്നും അഞ്ചിലൊന്നും കൂട്ടിയാൽ കറുത്ത കാളകളുടെ എണ്ണം കിട്ടും.

മഞ്ഞക്കാളകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ കൂടെ വെള്ളക്കാളകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ആറിലൊന്നും ഏഴിലൊന്നും കൂട്ടിയാൽ പാണ്ടുള്ള കാളകളുടെ എണ്ണം കിട്ടും.

കൂടാതെ,

കറുത്ത കന്നുകാലികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ മൂന്നിലൊന്നും നാലിലൊന്നും കൂട്ടിയാൽ വെളുത്ത പശുക്കളുടെ എണ്ണത്തിനു് സമമാണു്.

പാണ്ടുള്ള കന്നുകാലികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ നാലിലൊന്നും അഞ്ചിലൊന്നും കൂട്ടിയാൽ കറുത്ത പശുക്കളുടെ എണ്ണത്തിനു് സമമാണു്.

മഞ്ഞ കന്നുകാലികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അഞ്ചിലൊന്നും ആറിലൊന്നും കൂട്ടിയാൽ പാണ്ടുള്ള പശുക്കളുടെ എണ്ണത്തിനു് സമമാണു്.

വെളുത്ത കന്നുകാലികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ആറിലൊന്നും ഏഴിലൊന്നും കൂട്ടിയാൽ മഞ്ഞ പശുക്കളുടെ എണ്ണത്തിനു് സമമാണു്.

ഇതിൽ ഓരോ നിറത്തിലുമുള്ള കാളകളുടേയും പശുക്കളുടേയും എണ്ണം പറയാൻ കഴിഞ്ഞാൽ, താങ്കൾ കണക്കിൽ ഒരു തുടക്കക്കാരനല്ലെന്നു പറയാം. പക്ഷേ, വലിയൊരു വിദ്വാനാണെന്നു സമ്മതിക്കാൻ വയ്യ. എന്നാൽ ഇനി പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ കൂടി കണക്കിലെടുത്ത് ഒരുത്തരം കണ്ടുപിടിച്ചുതന്നാൽ, താങ്കളെ ഒരു ചക്രവർത്തിയെപ്പോലെ മാനിക്കാം. കാരണം, അങ്ങനെവന്നാൽ, താങ്കൾ സംഖ്യാശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും മിടുക്കനായ ഒരാളെന്നു സ്ഥാപിച്ചുകഴിഞ്ഞു!)

വെളുത്ത കാളകൾ + കറുത്ത കാളകൾ = ഒരു പൂർണ്ണവർഗ്ഗം,

പാണ്ടുള്ള കാളകൾ + മഞ്ഞ കാളകൾ = ഒരു ത്രികോണസംഖ്യ".