അസമത (ഗണിതശാസ്ത്രം)

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ രണ്ട് സംഖ്യകളോ മറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്ര പദപ്രയോഗങ്ങളോ തമ്മിൽ തുല്യതയില്ലാത്ത താരതമ്യം ചെയ്യുന്ന ഒരു ബന്ധമാണ് അസമത. സംഖ്യാസരേഖയിലെ രണ്ട് സംഖ്യകളെ അവയുടെ വലിപ്പം കൊണ്ട് താരതമ്യം ചെയ്യാൻ ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അങ്കനം

വിവിധ തരത്തിലുള്ള അസമത്വങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ വ്യത്യസ്ത അങ്കനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• a < b അർത്ഥമാക്കുന്നത് a, b നേക്കാൾ ചെറുതാണ് എന്നാണ്.
• a > b അർത്ഥമാക്കുന്നത് a, b നേക്കാൾ വലുതാണ് എന്നാണ്.

രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും a b നോട് തുല്യമല്ല. ഇത്തരം ബന്ധങ്ങളെ കർശന അസമതകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത് a എന്നത് b യെക്കാൾ കർശനമായി കുറവോ കർശനമായി വലുതോ അണ്.

കർശന അസമതകൾക്ക് വിപരീതമായി, കർശനമല്ലാത്ത രണ്ട് തരം അസമത ബന്ധങ്ങളുണ്ട്:

• ${\textstyle a\leq b}$ അല്ലെങ്കിൽ ${\textstyle a\leqslant b}$ അല്ലെങ്കിൽ ${\textstyle a\leqq b}$ അർത്ഥമാക്കുന്നത് a, b നേക്കാൾ ചെറുതോ അതിന് തുല്യമോ അണ്.
• ${\textstyle a\geq b}$ അല്ലെങ്കിൽ ${\textstyle a\geqslant b}$ അല്ലെങ്കിൽ ${\textstyle a\geqq b}$ അർത്ഥമാക്കുന്നത് a, b നേക്കാൾ വലുതോ അതിന് തുല്യമോ അണ്.

17, 18 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ വ്യക്തിഗത അങ്കനങ്ങളോ അച്ചടി ചിഹ്നങ്ങളോ ആണ് അസമതകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, 1670-ൽ ജോൺ വാലിസ് ≤ ൽ തിരശ്ചീനമായ രേഖ < ന് താഴെ ഇടുന്നതിന് പകരം മുകളിലാണ് ഇട്ടിരുന്നത്. പിന്നീട് 1734-ൽ പിയറി ബുഗേറിന്റെ കൃതിയിൽ ≦, ≧ എന്നീ ചിഹ്നങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു (ഇവയെ "less than(greater-than) over equal to" അല്ലെങ്കിൽ "less than(greater-than) or equal to with double horizontal bars" എന്ന് പറയും). അതിനുശേഷം, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ബുഗേറിന്റെ ചിഹ്നങ്ങളെ ≤, ≥, ⩽, ⩾ എന്നിങ്ങനെയായി ലഘൂകരിച്ചു.

$a\ngtr b$ എന്നതുകൊണ്ട് a, b നേക്കാൾ "വലുതല്ല" എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. അതുപോലെ $a\nless b$ വച്ച് a, b നേക്കാൾ "ചെറുതല്ല" എന്നും സൂചിപ്പിക്കാം.

a ≠ b എന്ന അങ്കനം അർത്ഥമാക്കുന്നത് a, b ന് തുല്യമല്ല എന്നാണ്, ഈ അസമത ചിലപ്പോൾ കർശന അസമതയുടെ ഒരു രൂപമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഒന്ന് മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ വലുതാണെന്ന് ഇത് പറയുന്നില്ല; ഇതിന് a, b ഒരു ക്രമീകൃത ഗണത്തിന്റെ അംഗമാകേണ്ടതില്ല.

എഞ്ചിനീയറിംഗ് ശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു അളവ് മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ വളരെ വളരെ വലുതാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുകതിനും ഈ ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

• a ≪ b എന്നതുകൊണ്ട് അർത്ഥമാക്കുന്നത് a, b യെക്കാൾ വളരെ ചെറുതാണ് എന്നാണ്.
• a ≫ b എന്നതുകൊണ്ട് അർത്ഥമാക്കുന്നത് a, b യെക്കാൾ വളരെ വലുതാണ് എന്നാണ്.

ഇതുകൊണ്ട് ഒരു വ്യഞ്ജകത്തിന്റെ മൂല്യത്തിൽ വലിയ വ്യത്യാസം വരാതെ സ്ഥൂലമായി എഴുതുമ്പോൾ ചെറിയ മൂല്യങ്ങളെ അവഗണിക്കാം

സംഖ്യാരേഖയിലെ ഗുണങ്ങൾ

അസമതകൾ ചുവടെ പറയുന്ന ഗുണങ്ങളാൽ നിയന്ത്രിക്കപ്പെടുന്നു. കർശനമല്ലാത്ത എല്ലാ അസമതകങ്ങളും (≤, ≥) അവയുടെ അനുബന്ധ കർശന അസമതകങ്ങളാൽ (<, >) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിലും കൂടാടെതെ ഏകതാന ഫലനങ്ങളെ കർശന ഏകതാന ഫലനങ്ങളായി പരിമിതപ്പെടുത്തിയാലും ചുവടെ പറടെ പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ ശരിയായിരിക്കും.