ഉപഗ്രൂപ്പ്

ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ അശൂന്യ ഉപഗണം മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ ദ്വയാങ്കസംക്രിയയുമായി ചേർത്തുനോക്കുമ്പോൾ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ സ്വയംപ്രമാണസിദ്ധാന്തങ്ങൾ പാലിക്കുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഉപഗണത്തെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പ് (subgroup) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത്, ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗണം സ്വയം ഒരു ഗ്രൂപ്പാണെങ്കിൽ (ഇവിടെ സംക്രിയ മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ തന്നെയാകണമെന്ന നിബന്ധനയുണ്ട്) ആ ഉപഗണം ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്.

ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പിനും തൽസമകം മാത്രമടങ്ങിയ ഗണം ഉപഗ്രൂപ്പായുണ്ട് - ഇതിനെ തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉപഗണം ഒരു ഉചിത ഉപഗണമാണെങ്കിൽ - അതായത്, മാതൃഗ്രൂപ്പിലെ ഒരംഗമെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പിൽ ഇല്ലാതുണ്ടെങ്കിൽ - ഉപഗ്രൂപ്പിനെ ഉചിത ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു

സവിശേഷതകൾ

• ഉപഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം മാതൃഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം തന്നെയാണ്
• ഉപഗ്രൂപ്പിലെ ഓരോ അംഗത്തിന്റെയും വിപരിത അംഗം മാതൃഗ്രൂപ്പിലെ വിപരിത അംഗം തന്നെയാണ്
• രണ്ട് ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ സംഗമവും ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്
• രണ്ട് ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ യോഗം ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാവണമെങ്കിൽ ഒന്ന് മറ്റൊന്നിന്റെ ഉപഗണമായിരിക്കണം
• ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയുടെ ഘടകമായിരിക്കും. മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയെ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയെ സൂചകാങ്കം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ സഹഗണങ്ങളുടെ എണ്ണമാണിത്

ഉദാഹരണം

S₄ ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പ് ജാലികയുടെ ഹാസെ ഡയഗ്രം

സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S₄ ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ ഇവയാണ്:

• തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പ് { e }
• ചാക്രികഗ്രൂപ്പായ Z₂ ന് സമരൂപമായ 9 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
• ചാക്രികഗ്രൂപ്പായ Z₃ ന് സമരൂപമായ 4 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
• ചാക്രികഗ്രൂപ്പായ Z₄ ന് സമരൂപമായ 3 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
• ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പിന് സമരൂപമായ 4 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
• സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S₃ ന് സമരൂപമായ 4 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
• ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D₄ ന് സമരൂപമായ 3 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
• പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പായ A₄
• മാതൃഗ്രൂപ്പായ S₄ തന്നെ

അവലംബം

• http://mathworld.wolfram.com/Subgroup.html