വക്രതാവ്യാസാർദ്ധം

ഒരു വക്രവുമായി പരമാവധി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന വൃത്തചാപത്തിന്റെ ആരമാണ് വക്രത്തിന്റെ ആ ബിന്ദുവിലെ വക്രതയുടെ ആരം അഥവാ വക്രതാവ്യാസാർദ്ധം (Radius of Curvature $R$ ) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. പ്രതലങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചടത്തോളം ഇത് ഒരു നിശ്ചിതബിന്ദുവിലെ ആ പ്രതലത്തിന്റെ ലംബപരിച്ഛേദവുമായി നന്നായി സമരസപ്പെടുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ്.. ^[1] ^[2] ^[3]

നിർവചനം തിരുത്തുക

ഒരു ത്രിമാന ഇടത്തിലെ വക്രത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, വക്രതയുടെ ദൂരം വക്ര സദിശത്തിന്റെ നീളമാണ്.

ഒരു സമതലീയ വക്രത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, $R$ ൻ്റെ കേവലമൂല്യം എന്നത് ^[4]

R\equiv \left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|={\frac {1}{\kappa }},

ഇവിടെ $s$ എന്നത് വക്രത്തിലെ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള ചാപ നീളം $φ$ സ്പർശരേഖാ കോൺ, $κ$ വക്രത എന്നിവയാണ് .

ഫോർമുല തിരുത്തുക

ദ്വിമാനത്തിൽ തിരുത്തുക

വക്രത്തെ $y (x)$ എന്ന് നിർദ്ദേശാങ്കരൂപത്തിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, വക്രതയുടെ ആരം (രണ്ടാം കൃതി വരെ വക്രത്തെ അവകലനം ചെയ്യാമെന്ന് കരുതുക):

R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|,\qquad {\mbox{where}}\quad y'={\frac {dy}{dx}},\quad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},

$| z |$ എന്നത് $z$ ന്റെ കേവല മൂല്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

$x (t)$ , $y (t)$ എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വക്രത്തെ പരാമിതീയമായി നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, വക്രതയുടെ ആരം,

ഈ ഫലത്തെ സ്വാഭാവികമായി ഇങ്ങനെ വ്യാഖ്യാനിക്കാം ^[5]

R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}},\qquad {\mbox{where}}\quad \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}.

ഉദാഹരണങ്ങൾ തിരുത്തുക

അർദ്ധവൃത്തങ്ങളും വൃത്തങ്ങളും തിരുത്തുക

മുകളിലെ അർദ്ധതലത്തിൽ ആരം $a$ ആയ ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിന്,

y={\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad y'={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},\quad y''={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad R=|-a|=a.

ഒരു ദീർഘവൃത്തവും (ചുവപ്പ്) അതിന്റെ പരിണാമവും (നീല). കുത്തുകൾ ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ എറ്റവും കൂടിയതും കുറഞ്ഞതുമായ വക്രതകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ശീർഷങ്ങളാണ്. .

താഴത്തെ അർദ്ധ-തലത്തിലെ ആരം $a$ ആയ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്,

y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad R=|a|=a.

ആരം $a$ ആയ വൃത്തത്തിന്റെ വക്രതാവ്യാസാർദ്ധം $a$ തന്നെയാണ്.

ഉപയോഗങ്ങൾ തിരുത്തുക

അവകലന ജ്യാമിതിയിലെ ഉപയോഗത്തിന്, സെസോറോ സമവാക്യം കാണുക.
ഭൂമിയുടെ വക്രതയുടെ ആരം കണക്കാക്കുന്നതിന്
ബീമുകളുടെ വളവ് സംബന്ധമായ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക്
പ്രകാശികത്തിലെ വക്രതയുടെ ആരം
നേർത്ത ഫിലിം സാങ്കേതികവിദ്യകൾ
മുദ്രണം ചെയ്ത ഇലക്ട്രോണിക സർക്യൂട്ട്.

ഇതും കാണുക തിരുത്തുക

അവലംബം തിരുത്തുക

കൂടുതൽ വായനയ്ക്ക് തിരുത്തുക

do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.

ബാഹ്യ കണ്ണികൾ തിരുത്തുക

ജ്യാമിതി കേന്ദ്രം: പ്രധാന വക്രതകൾ Archived 2022-01-23 at the Wayback Machine.
15.3 വക്രതയുടെ വക്രതയും ദൂരവും Archived 2021-04-29 at the Wayback Machine.
വെയ്സ്സ്റ്റൈൻ, എറിക് ഡബ്ല്യൂ. "പ്രിൻസിപ്പൽ കർവച്ചേഴ്സ്" . മാത്ത് വേൾഡ് .
വെയ്സ്സ്റ്റൈൻ, എറിക് ഡബ്ല്യൂ. "പ്രിൻസിപ്പൽ റേഡിയസ് ഓഫ് കർവച്ചർ" . മാത്ത് വേൾഡ് .

↑ Weisstien, Eric. "Radius of Curvature". Wolfram Mathworld. Retrieved 15 August 2016.
↑ Kishan, Hari (2007). Differential Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്). Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.
↑ Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്) (Sixth ed.). New York: MacMillan.
↑ Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്) (Sixth ed.). New York: MacMillan.Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (Sixth ed.). New York: MacMillan.
↑ Kishan, Hari (2007). Differential Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്). Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.Kishan, Hari (2007). Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.

[1] Weisstien, Eric. "Radius of Curvature". Wolfram Mathworld. Retrieved 15 August 2016.

[Radiu01-2] Kishan, Hari (2007). Differential Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്). Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.

[Radiu11-3] Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്) (Sixth ed.). New York: MacMillan.

[:1-4] Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്) (Sixth ed.). New York: MacMillan.Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (Sixth ed.). New York: MacMillan.

[:0-5] Kishan, Hari (2007). Differential Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്). Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.Kishan, Hari (2007). Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]