1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു അനന്ത ശ്രേണിയാണ് 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·. തുടർച്ചയായ നിസർഗ അധിസംഖ്യകൾക്ക് ഒന്നിടവിട്ട് അധിചിഹ്നവും ന്യൂനചിഹ്നവും നൽകിയാണ് ഈ ശ്രേണി രൂപം കൊണ്ടിട്ടുള്ളത്. സിഗ്മ തുക പ്രതിനിധാന രീതിയനുസരിച്ച് ഈ ശ്രേണിയെ ഇപ്രകാരം സൂചിപ്പിക്കാം:

0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ... എന്ന ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 15,000 പദങ്ങളുടെ തുകയുടെ ചിത്രീകരണം.

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

ഈ അനന്ത ശ്രേണി വിവ്രജ ശ്രേണി വിഭാഗത്തിലാണ് ഉൾപ്പെടുന്നത്. അതായത് നിശ്ചിത എണ്ണം പദങ്ങളുടെ തുക ഒരു മൂല്യത്തിലേക്കും അടുക്കുന്നില്ല. എങ്കിലും പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ പകുതിയിൽ ലിയോണാർഡ് ഓയ്ലർ ഇത്തരത്തിലൊരു വിരോധാഭാസ സമവാക്യം നൽകി:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

വിവ്രജത

ഈ ശ്രേണി (1 − 2 + 3 − 4 + · · ·) പൂജ്യത്തിലേക്ക് അടുക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ ടേം പരീക്ഷണം പ്രകാരം വിവ്രജിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാന നിലയിലുള്ള വിവ്രജതയാണിതെന്ന് നമുക്ക് കാണാവുന്നതാണ്. നിർവചന പ്രകാരം ഒരു അനന്ത ശ്രേണി വിവ്രജിക്കുകയാണോ അഭിസാരിക്കുകയാണോ എന്നറിയാൻ നിശ്ചിത എണ്ണം പദങ്ങളുടെ തുകയുടെ വിവ്രജിക്കുകയാണോ അഭിസാരിക്കുകയാണോ എന്ന് നോക്കിയാൽ മതി. ഇപ്രകാരം ഈ ശ്രേണിയുടെ നിശ്ചിത പദങ്ങളുടെ തുക:

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

...